{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"33","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Bok kwadratu ABCD ma długość równą 12 . Punkt S jest środkiem boku BC tego kwadratu. Na odcinku AS leży punkt P taki, że odcinek BP jest prostopadły do odcinka AS . Oblicz długość odcinka BP.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(BP = \\dfrac{12\\sqrt{5}}{5}\\)\n\n## Sposób 1 - Układ współrzędnych + prostopadłość wektorów\n\n**Ustawiamy układ współrzędnych** z wierzchołkiem \\(A\\) w początku:\n\n\\[A = (0, 0),\\quad B = (12, 0),\\quad C = (12, 12),\\quad D = (0, 12)\\]\n\nPunkt \\(S\\) - środek \\(BC\\):\n\n\\[S = \\left(12,\\ 6\\right)\\]\n\n**Wyznaczamy prostą \\(AS\\)** (parametrycznie):\n\n\\[\\vec{AS} = (12, 6) \\implies \\text{wektor kierunkowy: } (2, 1)\\]\n\n\\[(x, y) = t \\cdot (12, 6) = (12t,\\ 6t), \\quad t \\in [0, 1]\\]\n\n**Warunek prostopadłości** \\(BP \\perp AS\\): wektor \\(\\vec{BP}\\) musi być prostopadły do \\((2, 1)\\), czyli musi mieć kierunek \\((1, -2)\\).\n\nProsta \\(BP\\) przez \\(B = (12, 0)\\):\n\n\\[(x, y) = (12, 0) + s \\cdot (1, -2) = (12 + s,\\ -2s)\\]\n\n**Szukamy punktu przecięcia** \\(P\\):\n\n\\[\\begin{cases} 12t = 12 + s \\\\ 6t = -2s \\end{cases}\\]\n\nZ drugiego równania: \\(s = -3t\\). Podstawiamy:\n\n\\[12t = 12 + (-3t) \\implies 15t = 12 \\implies t = \\frac{4}{5}\\]\n\nZatem: \\(s = -\\dfrac{12}{5}\\)\n\n**Obliczamy \\(|BP|\\)**:\n\n\\[P = \\left(\\frac{48}{5},\\ \\frac{24}{5}\\right), \\quad B = \\left(\\frac{60}{5},\\ 0\\right)\\]\n\n\\[|BP| = \\sqrt{\\left(\\frac{60}{5} - \\frac{48}{5}\\right)^2 + \\left(0 - \\frac{24}{5}\\right)^2} = \\sqrt{\\left(\\frac{12}{5}\\right)^2 + \\left(\\frac{24}{5}\\right)^2}\\]\n\n\\[= \\sqrt{\\frac{144 + 576}{25}} = \\sqrt{\\frac{720}{25}} = \\frac{\\sqrt{720}}{5} = \\frac{12\\sqrt{5}}{5}\\]\n\n\\[\\boxed{|BP| = \\frac{12\\sqrt{5}}{5}}\\]\n\n## Sposób 2 - Pole trójkąta (metoda wysokości)\n\n**Kluczowa obserwacja:** W trójkącie \\(ABS\\) mamy:\n- \\(AB = 12\\) (bok kwadratu, poziomy),\n- \\(BS = 6\\) (połowa boku \\(BC\\), pionowy),\n- kąt \\(\\angle ABSs = 90°\\) (bo \\(AB \\perp BC\\) - boki kwadratu!).\n\nTrójkąt \\(ABS\\) jest **prostokątny przy \\(B\\)**.\n\n**Pole trójkąta \\(ABS\\)** obliczamy z przyprostokątnych:\n\n\\[P_{ABS} = \\frac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot |BS| = \\frac{1}{2} \\cdot 12 \\cdot 6 = 36\\]\n\n**Długość \\(AS\\)** (z Pitagorasa):\n\n\\[|AS| = \\sqrt{12^2 + 6^2} = \\sqrt{144 + 36} = \\sqrt{180} = 6\\sqrt{5}\\]\n\n**To samo pole** wyrazimy inaczej: \\(BP\\) jest wysokością trójkąta \\(ABS\\) opuszczoną z \\(B\\) na \\(AS\\) (bo \\(BP \\perp AS\\)):\n\n\\[P_{ABS} = \\frac{1}{2} \\cdot |AS| \\cdot |BP|\\]\n\n\\[36 = \\frac{1}{2} \\cdot 6\\sqrt{5} \\cdot |BP| = 3\\sqrt{5} \\cdot |BP|\\]\n\n\\[|BP| = \\frac{36}{3\\sqrt{5}} = \\frac{12}{\\sqrt{5}} = \\frac{12\\sqrt{5}}{5}\\]\n\n\\[\\boxed{|BP| = \\frac{12\\sqrt{5}}{5}}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - Twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy do obliczenia \\(|AS| = \\sqrt{12^2 + 6^2} = 6\\sqrt{5}\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - Pole trójkąta:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]\nW Sposobie 2 obliczyliśmy pole na dwa różne sposoby i przyrównaliśmy - to klasyczna technika wyznaczania wysokości z pola.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wiele osób oblicza \\(|AS|\\) poprawnie jako \\(6\\sqrt{5}\\), ale potem zapomina, że \\(P\\) leży **na \\(AS\\)**, nie że \\(BP = AS\\). To dwa różne odcinki!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kluczowe jest dostrzeżenie, że kąt \\(\\angle ABSs = 90°\\) (bo \\(AB\\) i \\(BS\\) są fragmentami prostopadłych boków kwadratu). Bez tego Sposób 2 nie zadziała.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(\\dfrac{12}{\\sqrt{5}}\\) i \\(\\dfrac{12\\sqrt{5}}{5}\\) to **to samo** - zawsze racjonalizujemy mianownik, mnożąc licznik i mianownik przez \\(\\sqrt{5}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(|BP| = \\dfrac{12\\sqrt{5}}{5}\\).\n\n### Sposób 1 - Wysokość w trójkącie prostokątnym\n\\(S\\) środek \\(BC\\), więc \\(|BS|=6\\). Trójkąt \\(ABS\\) prostokątny przy \\(B\\) (bok kwadratu ⊥ bok kwadratu).\nZ twierdzenia Pitagorasa: \\(|AS|^2 = 12^2 + 6^2 = 180 \\Rightarrow |AS| = 6\\sqrt{5}\\).\nOdcinek \\(BP\\) to wysokość trójkąta \\(ABS\\) opuszczona na przeciwprostokątną \\(AS\\). Ze wzoru \\(P = \\tfrac{1}{2}\\cdot\\text{przyp.}_1\\cdot\\text{przyp.}_2 = \\tfrac{1}{2}\\cdot\\text{przeciwpr.}\\cdot h\\):\n\\[|BP| = \\dfrac{|AB|\\cdot|BS|}{|AS|} = \\dfrac{12\\cdot 6}{6\\sqrt{5}} = \\dfrac{12}{\\sqrt{5}} = \\dfrac{12\\sqrt{5}}{5}.\\]\n\n### Sposób 2 - Podobieństwo trójkątów\n\\(\\triangle ABS\\) i \\(\\triangle BPS\\) podobne (kąt prosty + wspólny \\(\\angle S\\)). Stąd \\(\\tfrac{BP}{AB} = \\tfrac{BS}{AS}\\):\n\\[|BP| = 12\\cdot \\dfrac{6}{6\\sqrt{5}} = \\dfrac{12}{\\sqrt{5}} = \\dfrac{12\\sqrt{5}}{5}.\\]\n\n### CKE - Zasady punktacji\n- **2 pkt**: poprawny wynik \\(\\tfrac{12\\sqrt{5}}{5}\\).\n- **1 pkt**: \\(|AS| = 6\\sqrt{5}\\) ALBO równość \\(|AP|=2|BP|\\) lub podobnej relacji.\n\n**Trik:** w trójkącie prostokątnym \\(h = \\tfrac{a\\cdot b}{c}\\), gdzie \\(c\\) - przeciwprostokątna.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Bok kwadratu ABCD ma długość równą 12 . Punkt S jest środkiem boku BC tego kwadratu. Na odcinku AS leży punkt P taki, że odcinek BP jest prostopadły do odcinka AS . Oblicz długość odcinka BP.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(BP = \\dfrac{12\\sqrt{5}}{5}\\)

\n

Sposób 1 - Układ współrzędnych + prostopadłość wektorów

\n

Ustawiamy układ współrzędnych z wierzchołkiem \\(A\\) w początku:

\n

\\[A = (0, 0),\\quad B = (12, 0),\\quad C = (12, 12),\\quad D = (0, 12)\\]

\n

Punkt \\(S\\) - środek \\(BC\\):

\n

\\[S = \\left(12,\\ 6\\right)\\]

\n

Wyznaczamy prostą \\(AS\\) (parametrycznie):

\n

\\[\\vec{AS} = (12, 6) \\implies \\text{wektor kierunkowy: } (2, 1)\\]

\n

\\[(x, y) = t \\cdot (12, 6) = (12t,\\ 6t), \\quad t \\in [0, 1]\\]

\n

Warunek prostopadłości \\(BP \\perp AS\\): wektor \\(\\vec{BP}\\) musi być prostopadły do \\((2, 1)\\), czyli musi mieć kierunek \\((1, -2)\\).

\n

Prosta \\(BP\\) przez \\(B = (12, 0)\\):

\n

\\[(x, y) = (12, 0) + s \\cdot (1, -2) = (12 + s,\\ -2s)\\]

\n

Szukamy punktu przecięcia \\(P\\):

\n

\\[\\begin{cases} 12t = 12 + s \\\\ 6t = -2s \\end{cases}\\]

\n

Z drugiego równania: \\(s = -3t\\). Podstawiamy:

\n

\\[12t = 12 + (-3t) \\implies 15t = 12 \\implies t = \\frac{4}{5}\\]

\n

Zatem: \\(s = -\\dfrac{12}{5}\\)

\n

Obliczamy \\(|BP|\\):

\n

\\[P = \\left(\\frac{48}{5},\\ \\frac{24}{5}\\right), \\quad B = \\left(\\frac{60}{5},\\ 0\\right)\\]

\n

\\[|BP| = \\sqrt{\\left(\\frac{60}{5} - \\frac{48}{5}\\right)^2 + \\left(0 - \\frac{24}{5}\\right)^2} = \\sqrt{\\left(\\frac{12}{5}\\right)^2 + \\left(\\frac{24}{5}\\right)^2}\\]

\n

\\[= \\sqrt{\\frac{144 + 576}{25}} = \\sqrt{\\frac{720}{25}} = \\frac{\\sqrt{720}}{5} = \\frac{12\\sqrt{5}}{5}\\]

\n

\\[\\boxed{|BP| = \\frac{12\\sqrt{5}}{5}}\\]

\n

Sposób 2 - Pole trójkąta (metoda wysokości)

\n

Kluczowa obserwacja: W trójkącie \\(ABS\\) mamy:

\n\n

Trójkąt \\(ABS\\) jest prostokątny przy \\(B\\).

\n

Pole trójkąta \\(ABS\\) obliczamy z przyprostokątnych:

\n

\\[P_{ABS} = \\frac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot |BS| = \\frac{1}{2} \\cdot 12 \\cdot 6 = 36\\]

\n

Długość \\(AS\\) (z Pitagorasa):

\n

\\[|AS| = \\sqrt{12^2 + 6^2} = \\sqrt{144 + 36} = \\sqrt{180} = 6\\sqrt{5}\\]

\n

To samo pole wyrazimy inaczej: \\(BP\\) jest wysokością trójkąta \\(ABS\\) opuszczoną z \\(B\\) na \\(AS\\) (bo \\(BP \\perp AS\\)):

\n

\\[P_{ABS} = \\frac{1}{2} \\cdot |AS| \\cdot |BP|\\]

\n

\\[36 = \\frac{1}{2} \\cdot 6\\sqrt{5} \\cdot |BP| = 3\\sqrt{5} \\cdot |BP|\\]

\n

\\[|BP| = \\frac{36}{3\\sqrt{5}} = \\frac{12}{\\sqrt{5}} = \\frac{12\\sqrt{5}}{5}\\]

\n

\\[\\boxed{|BP| = \\frac{12\\sqrt{5}}{5}}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-16) - Twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2\\]
Użyliśmy do obliczenia \\(|AS| = \\sqrt{12^2 + 6^2} = 6\\sqrt{5}\\).

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-16) - Pole trójkąta:
\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]
W Sposobie 2 obliczyliśmy pole na dwa różne sposoby i przyrównaliśmy - to klasyczna technika wyznaczania wysokości z pola.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Wiele osób oblicza \\(|AS|\\) poprawnie jako \\(6\\sqrt{5}\\), ale potem zapomina, że \\(P\\) leży na \\(AS\\), nie że \\(BP = AS\\). To dwa różne odcinki!
\n
⚠️ Uwaga: Kluczowe jest dostrzeżenie, że kąt \\(\\angle ABSs = 90°\\) (bo \\(AB\\) i \\(BS\\) są fragmentami prostopadłych boków kwadratu). Bez tego Sposób 2 nie zadziała.
\n
⚠️ Uwaga: Wynik \\(\\dfrac{12}{\\sqrt{5}}\\) i \\(\\dfrac{12\\sqrt{5}}{5}\\) to to samo - zawsze racjonalizujemy mianownik, mnożąc licznik i mianownik przez \\(\\sqrt{5}\\).
\n

Poprawna odpowiedź: \\(|BP| = \\dfrac{12\\sqrt{5}}{5}\\).

\n
Sposób 1 - Wysokość w trójkącie prostokątnym
\n

\\(S\\) środek \\(BC\\), więc \\(|BS|=6\\). Trójkąt \\(ABS\\) prostokątny przy \\(B\\) (bok kwadratu ⊥ bok kwadratu).
Z twierdzenia Pitagorasa: \\(|AS|^2 = 12^2 + 6^2 = 180 \\Rightarrow |AS| = 6\\sqrt{5}\\).
Odcinek \\(BP\\) to wysokość trójkąta \\(ABS\\) opuszczona na przeciwprostokątną \\(AS\\). Ze wzoru \\(P = \\tfrac{1}{2}\\cdot\\text{przyp.}_1\\cdot\\text{przyp.}_2 = \\tfrac{1}{2}\\cdot\\text{przeciwpr.}\\cdot h\\):
\\[|BP| = \\dfrac{|AB|\\cdot|BS|}{|AS|} = \\dfrac{12\\cdot 6}{6\\sqrt{5}} = \\dfrac{12}{\\sqrt{5}} = \\dfrac{12\\sqrt{5}}{5}.\\]

\n
Sposób 2 - Podobieństwo trójkątów
\n

\\(\\triangle ABS\\) i \\(\\triangle BPS\\) podobne (kąt prosty + wspólny \\(\\angle S\\)). Stąd \\(\\tfrac{BP}{AB} = \\tfrac{BS}{AS}\\):
\\[|BP| = 12\\cdot \\dfrac{6}{6\\sqrt{5}} = \\dfrac{12}{\\sqrt{5}} = \\dfrac{12\\sqrt{5}}{5}.\\]

\n
CKE - Zasady punktacji
\n\n

Trik: w trójkącie prostokątnym \\(h = \\tfrac{a\\cdot b}{c}\\), gdzie \\(c\\) - przeciwprostokątna.

"}]}