{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"34","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Trzywyrazowy ciąg (\\(4x^{2}\\) -1, \\(2x^{2}\\) + 1, 1 -x) jest arytmetyczny. Oblicz x.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = -2\\)\n\n## Sposób 1 - Warunek ciągu arytmetycznego (równe różnice)\n\nW ciągu arytmetycznym każda kolejna różnica jest taka sama:\n\n\\[a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\]\n\nPodstawiamy wyrazy:\n\n\\[(2x^2 + 1) - (4x^2 - 1) = (1 - x) - (2x^2 + 1)\\]\n\nUpraszczamy obie strony:\n\n\\[-2x^2 + 2 = -2x^2 - x\\]\n\nDodajemy \\(2x^2\\) do obu stron:\n\n\\[2 = -x\\]\n\n\\[\\boxed{x = -2}\\]\n\n**Sprawdzenie** (podstawiamy \\(x = -2\\)):\n- \\(a_1 = 4 \\cdot 4 - 1 = 15\\)\n- \\(a_2 = 2 \\cdot 4 + 1 = 9\\)\n- \\(a_3 = 1 - (-2) = 3\\)\n\nRóżnica: \\(9 - 15 = -6\\), \\(3 - 9 = -6\\). ✓ Ciąg \\((15, 9, 3)\\) jest arytmetyczny z różnicą \\(r = -6\\).\n\n## Sposób 2 - Środkowy wyraz jako średnia arytmetyczna sąsiadów\n\nW ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest **średnią arytmetyczną** dwóch sąsiednich wyrazów:\n\n\\[a_2 = \\frac{a_1 + a_3}{2}\\]\n\n\\[2x^2 + 1 = \\frac{(4x^2 - 1) + (1 - x)}{2}\\]\n\n\\[2x^2 + 1 = \\frac{4x^2 - x}{2}\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(2\\):\n\n\\[4x^2 + 2 = 4x^2 - x\\]\n\n\\[2 = -x\\]\n\n\\[\\boxed{x = -2}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - definicja ciągu arytmetycznego:\n\n\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \\quad \\text{(dla } n \\geq 2\\text{)}\\]\n\nczyli środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów - tego użyliśmy w Sposobie 2.\n\nRównoważnie: stała różnica \\(a_n - a_{n-1} = r\\) - tego użyliśmy w Sposobie 1.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to zapisanie warunku jako \\(a_1 - a_2 = a_2 - a_3\\) (odwrócona kolejność odjemnika) - wtedy dostajemy tę samą równanie, więc wynik i tak jest dobry, ALE jeśli wyrażenia są bardziej złożone, pomylenie kolejności może dać błąd znaku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy upraszczaniu \\(-2x^2 + 2 = -2x^2 - x\\) - uczeń często boi się, że „\\(x^2\\) się nie upraszcza\" i szuka delty. Tu \\(x^2\\) **odejmuje się** z obu stron i zostaje równanie liniowe!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj wynik - podstaw \\(x\\) i oblicz wszystkie trzy wyrazy. Ciąg arytmetyczny jest poprawny tylko gdy obie różnice są **dokładnie równe**.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(x = -2\\).\n\n### Sposób 1 - Własność środkowego wyrazu\nW ciągu arytmetycznym \\(a_2 = \\tfrac{a_1 + a_3}{2}\\):\n\\[2x^2 + 1 = \\dfrac{(4x^2 - 1) + (1 - x)}{2} = \\dfrac{4x^2 - x}{2}.\\]\n\\[2(2x^2 + 1) = 4x^2 - x\\]\n\\[4x^2 + 2 = 4x^2 - x \\Rightarrow x = -2.\\]\n\n### Sposób 2 - Równe różnice\n\\(a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\):\n\\[(2x^2+1) - (4x^2-1) = (1-x) - (2x^2+1)\\]\n\\[-2x^2 + 2 = -2x^2 - x\\]\n\\[2 = -x \\Rightarrow x = -2.\\]\n\n### Weryfikacja\n\\(x=-2\\): ciąg \\((15, 9, 3)\\) - różnica \\(-6\\) ✓.\n\n### CKE - Zasady punktacji\n- **2 pkt**: \\(x = -2\\).\n- **1 pkt**: zapisanie równania \\(\\tfrac{4x^2-1+1-x}{2} = 2x^2+1\\) albo \\((2x^2+1)-(4x^2-1) = (1-x)-(2x^2+1)\\).\n\n**Trik:** ciąg arytmetyczny → środkowy wyraz = średnia dwóch pozostałych.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Trzywyrazowy ciąg (\\(4x^{2}\\) -1, \\(2x^{2}\\) + 1, 1 -x) jest arytmetyczny. Oblicz x.</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(x = -2\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Warunek ciągu arytmetycznego (równe różnice)</h4>\n<p>W ciągu arytmetycznym każda kolejna różnica jest taka sama:</p>\n<p>\\[a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\]</p>\n<p>Podstawiamy wyrazy:</p>\n<p>\\[(2x^2 + 1) - (4x^2 - 1) = (1 - x) - (2x^2 + 1)\\]</p>\n<p>Upraszczamy obie strony:</p>\n<p>\\[-2x^2 + 2 = -2x^2 - x\\]</p>\n<p>Dodajemy \\(2x^2\\) do obu stron:</p>\n<p>\\[2 = -x\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{x = -2}\\]</p>\n<p><strong>Sprawdzenie</strong> (podstawiamy \\(x = -2\\)):</p>\n<ul><li>\\(a_1 = 4 \\cdot 4 - 1 = 15\\)</li><li>\\(a_2 = 2 \\cdot 4 + 1 = 9\\)</li><li>\\(a_3 = 1 - (-2) = 3\\)</li></ul>\n<p>Różnica: \\(9 - 15 = -6\\), \\(3 - 9 = -6\\). ✓ Ciąg \\((15, 9, 3)\\) jest arytmetyczny z różnicą \\(r = -6\\).</p>\n<h4>Sposób 2 - Środkowy wyraz jako średnia arytmetyczna sąsiadów</h4>\n<p>W ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest <strong>średnią arytmetyczną</strong> dwóch sąsiednich wyrazów:</p>\n<p>\\[a_2 = \\frac{a_1 + a_3}{2}\\]</p>\n<p>\\[2x^2 + 1 = \\frac{(4x^2 - 1) + (1 - x)}{2}\\]</p>\n<p>\\[2x^2 + 1 = \\frac{4x^2 - x}{2}\\]</p>\n<p>Mnożymy obie strony przez \\(2\\):</p>\n<p>\\[4x^2 + 2 = 4x^2 - x\\]</p>\n<p>\\[2 = -x\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{x = -2}\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - definicja ciągu arytmetycznego:</p>\n<p>\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \\quad \\text{(dla } n \\geq 2\\text{)}\\]</p>\n<p>czyli środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów - tego użyliśmy w Sposobie 2.</p>\n<p>Równoważnie: stała różnica \\(a_n - a_{n-1} = r\\) - tego użyliśmy w Sposobie 1.</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to zapisanie warunku jako \\(a_1 - a_2 = a_2 - a_3\\) (odwrócona kolejność odjemnika) - wtedy dostajemy tę samą równanie, więc wynik i tak jest dobry, ALE jeśli wyrażenia są bardziej złożone, pomylenie kolejności może dać błąd znaku.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy upraszczaniu \\(-2x^2 + 2 = -2x^2 - x\\) - uczeń często boi się, że „\\(x^2\\) się nie upraszcza&quot; i szuka delty. Tu \\(x^2\\) <strong>odejmuje się</strong> z obu stron i zostaje równanie liniowe!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zawsze sprawdzaj wynik - podstaw \\(x\\) i oblicz wszystkie trzy wyrazy. Ciąg arytmetyczny jest poprawny tylko gdy obie różnice są <strong>dokładnie równe</strong>.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź:</strong> \\(x = -2\\).</p>\n<h5>Sposób 1 - Własność środkowego wyrazu</h5>\n<p>W ciągu arytmetycznym \\(a_2 = \\tfrac{a_1 + a_3}{2}\\):<br>\\[2x^2 + 1 = \\dfrac{(4x^2 - 1) + (1 - x)}{2} = \\dfrac{4x^2 - x}{2}.\\]<br>\\[2(2x^2 + 1) = 4x^2 - x\\]<br>\\[4x^2 + 2 = 4x^2 - x \\Rightarrow x = -2.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Równe różnice</h5>\n<p>\\(a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\):<br>\\[(2x^2+1) - (4x^2-1) = (1-x) - (2x^2+1)\\]<br>\\[-2x^2 + 2 = -2x^2 - x\\]<br>\\[2 = -x \\Rightarrow x = -2.\\]</p>\n<h5>Weryfikacja</h5>\n<p>\\(x=-2\\): ciąg \\((15, 9, 3)\\) - różnica \\(-6\\) ✓.</p>\n<h5>CKE - Zasady punktacji</h5>\n<ul><li><strong>2 pkt</strong>: \\(x = -2\\).</li><li><strong>1 pkt</strong>: zapisanie równania \\(\\tfrac{4x^2-1+1-x}{2} = 2x^2+1\\) albo \\((2x^2+1)-(4x^2-1) = (1-x)-(2x^2+1)\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> ciąg arytmetyczny → środkowy wyraz = średnia dwóch pozostałych.</p>"}]}