{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/35","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"35","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że w pierwszym rzucie wypadnie większa liczba oczek niż w drugim rzucie.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\frac{5}{12}\\)\n\n## Sposób 1 - Zliczanie bezpośrednie (przestrzeń zdarzeń)\n\n**Przestrzeń zdarzeń** to wszystkie możliwe wyniki dwukrotnego rzutu kostką.\n\nKażdy rzut daje 6 możliwości, więc łącznie:\n\\[|\\Omega| = 6 \\cdot 6 = 36\\]\n\n**Szukamy zdarzeń, gdzie pierwszy rzut > drugi rzut.**\n\nUkładamy tablicę korzystną (pierwsza liczba > druga):\n\n| Pierwszy rzut | Drugi rzut (możliwe) | Liczba par |\n| 1 | - (brak) | 0 |\n| 2 | 1 | 1 |\n| 3 | 1, 2 | 2 |\n| 4 | 1, 2, 3 | 3 |\n| 5 | 1, 2, 3, 4 | 4 |\n| 6 | 1, 2, 3, 4, 5 | 5 |\n\nŁączna liczba wyników korzystnych:\n\\[|A| = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15\\]\n\n**Prawdopodobieństwo zdarzenia \\(A\\):**\n\\[\\boxed{P(A) = \\frac{15}{36} = \\frac{5}{12}}\\]\n\n## Sposób 2 - Argument symetrii (elegancki trick)\n\nZamiast liczyć wprost, korzystamy z **symetrii doświadczenia**.\n\nDla każdej pary \\((i, j)\\) gdzie \\(i \\neq j\\), dokładnie jedno z dwóch zdarzeń zachodzi:\n- albo \\(i > j\\) (pierwszy rzut większy),\n- albo \\(i < j\\) (drugi rzut większy).\n\nPonieważ kostka jest **symetryczna**, te dwa zdarzenia mają jednakowe prawdopodobieństwa:\n\\[P(\\text{pierwszy} > \\text{drugi}) = P(\\text{pierwszy} < \\text{drugi})\\]\n\nTrzecia możliwość to remis (\\(i = j\\)):\n\\[P(\\text{remis}) = \\frac{6}{36} = \\frac{1}{6}\\]\n\n(Remis to pary: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6).)\n\nZ zasady prawdopodobieństwa całkowitego:\n\\[P(A) + P(\\text{remis}) + P(\\text{drugi} > \\text{pierwszy}) = 1\\]\n\\[2P(A) + \\frac{1}{6} = 1\\]\n\\[2P(A) = \\frac{5}{6}\\]\n\\[\\boxed{P(A) = \\frac{5}{12}}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - **potwierdzenie poprawności**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1: liczymy liczbę wyników korzystnych \\(|A| = 15\\) i dzielimy przez liczbę wszystkich wyników \\(|\\Omega| = 36\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zakładaj, że przestrzeń zdarzeń ma \\(6 + 6 = 12\\) elementów - dwa rzuty dają \\(6 \\times 6 = 36\\) par, bo **kolejność ma znaczenie** (rzut pierwszy i drugi to różne zdarzenia).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zapomnieć o parach z remisem i błędnie liczyć \\(\\frac{15}{30} = \\frac{1}{2}\\). Pary \\(i = j\\) też wchodzą do przestrzeni zdarzeń i **redukują** prawdopodobieństwo poniżej \\(\\frac{1}{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Argument symetrii działa tylko dlatego, że kostka jest **symetryczna** (każdy wynik jednakowo prawdopodobny). Dla kostki obciążonej ta metoda zawodzi.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(P(A) = \\dfrac{15}{36} = \\dfrac{5}{12}\\).\n\n### Sposób 1 - Zliczanie zdarzeń sprzyjających\n\\(|\\Omega| = 6\\cdot 6 = 36\\). Zdarzenia \\(A\\): pierwszy wynik > drugi. Liczba par z \\(a > b\\) to \\(\\binom{6}{2} = 15\\) (dla każdej pary cyfr istnieje dokładnie jedno ustawienie z większą pierwszą).\n\\[P(A) = \\dfrac{15}{36} = \\dfrac{5}{12}.\\]\n\n### Sposób 2 - Symetria\nZdarzenia: \\(a>b\\), \\(a=b\\), \\(ab) = P(aDoświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że w pierwszym rzucie wypadnie większa liczba oczek niż w drugim rzucie.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(\\frac{5}{12}\\)

\n

Sposób 1 - Zliczanie bezpośrednie (przestrzeń zdarzeń)

\n

Przestrzeń zdarzeń to wszystkie możliwe wyniki dwukrotnego rzutu kostką.

\n

Każdy rzut daje 6 możliwości, więc łącznie:
\\[|\\Omega| = 6 \\cdot 6 = 36\\]

\n

Szukamy zdarzeń, gdzie pierwszy rzut > drugi rzut.

\n

Układamy tablicę korzystną (pierwsza liczba > druga):

\n

| Pierwszy rzut | Drugi rzut (możliwe) | Liczba par |
| 1 | - (brak) | 0 |
| 2 | 1 | 1 |
| 3 | 1, 2 | 2 |
| 4 | 1, 2, 3 | 3 |
| 5 | 1, 2, 3, 4 | 4 |
| 6 | 1, 2, 3, 4, 5 | 5 |

\n

Łączna liczba wyników korzystnych:
\\[|A| = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15\\]

\n

Prawdopodobieństwo zdarzenia \\(A\\):
\\[\\boxed{P(A) = \\frac{15}{36} = \\frac{5}{12}}\\]

\n

Sposób 2 - Argument symetrii (elegancki trick)

\n

Zamiast liczyć wprost, korzystamy z symetrii doświadczenia.

\n

Dla każdej pary \\((i, j)\\) gdzie \\(i \\neq j\\), dokładnie jedno z dwóch zdarzeń zachodzi:

\n\n

Ponieważ kostka jest symetryczna, te dwa zdarzenia mają jednakowe prawdopodobieństwa:
\\[P(\\text{pierwszy} > \\text{drugi}) = P(\\text{pierwszy} < \\text{drugi})\\]

\n

Trzecia możliwość to remis (\\(i = j\\)):
\\[P(\\text{remis}) = \\frac{6}{36} = \\frac{1}{6}\\]

\n

(Remis to pary: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6).)

\n

Z zasady prawdopodobieństwa całkowitego:
\\[P(A) + P(\\text{remis}) + P(\\text{drugi} > \\text{pierwszy}) = 1\\]
\\[2P(A) + \\frac{1}{6} = 1\\]
\\[2P(A) = \\frac{5}{6}\\]
\\[\\boxed{P(A) = \\frac{5}{12}}\\]

\n

Oba sposoby dają ten sam wynik - potwierdzenie poprawności.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30) - prawdopodobieństwo klasyczne:
\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1: liczymy liczbę wyników korzystnych \\(|A| = 15\\) i dzielimy przez liczbę wszystkich wyników \\(|\\Omega| = 36\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie zakładaj, że przestrzeń zdarzeń ma \\(6 + 6 = 12\\) elementów - dwa rzuty dają \\(6 \\times 6 = 36\\) par, bo kolejność ma znaczenie (rzut pierwszy i drugi to różne zdarzenia).
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo zapomnieć o parach z remisem i błędnie liczyć \\(\\frac{15}{30} = \\frac{1}{2}\\). Pary \\(i = j\\) też wchodzą do przestrzeni zdarzeń i redukują prawdopodobieństwo poniżej \\(\\frac{1}{2}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Argument symetrii działa tylko dlatego, że kostka jest symetryczna (każdy wynik jednakowo prawdopodobny). Dla kostki obciążonej ta metoda zawodzi.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{15}{36} = \\dfrac{5}{12}\\).

\n
Sposób 1 - Zliczanie zdarzeń sprzyjających
\n

\\(|\\Omega| = 6\\cdot 6 = 36\\). Zdarzenia \\(A\\): pierwszy wynik > drugi. Liczba par z \\(a > b\\) to \\(\\binom{6}{2} = 15\\) (dla każdej pary cyfr istnieje dokładnie jedno ustawienie z większą pierwszą).
\\[P(A) = \\dfrac{15}{36} = \\dfrac{5}{12}.\\]

\n
Sposób 2 - Symetria
\n

Zdarzenia: \\(a>b\\), \\(a=b\\), \\(a<b\\). Z symetrii \\(P(a>b) = P(a<b)\\). \\(P(a=b) = \\tfrac{6}{36} = \\tfrac{1}{6}\\). Zatem \\(P(A) = \\tfrac{1}{2}\\left(1 - \\tfrac{1}{6}\\right) = \\tfrac{5}{12}\\).

\n
Sposób 3 - Drzewo stochastyczne
\n

Dla pierwszego rzutu \\(k \\in \\{2,3,4,5,6\\}\\), sprzyjająco w drugim \\(k-1\\) wartości:
\\[P(A) = \\dfrac{1}{6}\\left(\\dfrac{1}{6} + \\dfrac{2}{6} + \\dfrac{3}{6} + \\dfrac{4}{6} + \\dfrac{5}{6}\\right) = \\dfrac{15}{36} = \\dfrac{5}{12}.\\]

\n
CKE - Zasady punktacji
\n\n

Trik: przy dwóch niezależnych rzutach i nierówności surowej: \\(P = \\tfrac{1-P(\\text{równości})}{2}\\).

"}]}