{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/36","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"36","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"W układzie współrzędnych (x, y) dane są punkty A= (2, 8) oraz B= (10, 2) Symetralna odcinka AB przecina oś Ox układu współrzędnych w punkcie P . Oblicz współrzędne punktu P oraz obwód trójkąta ABP","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n\\(P = \\left(\\frac{9}{4},\\ 0\\right)\\), obwód trójkąta \\(ABP = 10 + \\frac{5\\sqrt{41}}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Środek odcinka + prosta prostopadła\n\n**Krok 1: Wyznaczamy środek odcinka AB**\n\nŚrodek \\(M\\) odcinka \\(AB\\):\n\\[M = \\left(\\frac{2+10}{2},\\ \\frac{8+2}{2}\\right) = (6,\\ 5)\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy nachylenie prostej AB**\n\n\\[k_{AB} = \\frac{2 - 8}{10 - 2} = \\frac{-6}{8} = -\\frac{3}{4}\\]\n\n**Krok 3: Nachylenie symetralnej**\n\nSymetralna jest prostopadła do \\(AB\\), więc:\n\\[k_s = -\\frac{1}{k_{AB}} = -\\frac{1}{-\\frac{3}{4}} = \\frac{4}{3}\\]\n\n**Krok 4: Równanie symetralnej**\n\nSymetralna przechodzi przez \\(M = (6, 5)\\) z nachyleniem \\(\\frac{4}{3}\\):\n\\[y - 5 = \\frac{4}{3}(x - 6)\\]\n\\[y = \\frac{4}{3}x - 8 + 5\\]\n\\[y = \\frac{4}{3}x - 3\\]\n\n**Krok 5: Punkt P - przecięcie z osią Ox**\n\nNa osi \\(Ox\\) mamy \\(y = 0\\):\n\\[0 = \\frac{4}{3}x - 3 \\implies \\frac{4}{3}x = 3 \\implies x = \\frac{9}{4}\\]\n\n\\[\\boxed{P = \\left(\\frac{9}{4},\\ 0\\right)}\\]\n\n**Krok 6: Obliczamy długości boków trójkąta**\n\n\\[|AB| = \\sqrt{(10-2)^2 + (2-8)^2} = \\sqrt{64 + 36} = \\sqrt{100} = 10\\]\n\nPonieważ \\(P\\) leży na symetralnej odcinka \\(AB\\), to \\(|PA| = |PB|\\) - wystarczy policzyć jeden z nich.\n\n\\[|PA| = \\sqrt{\\left(\\frac{9}{4} - 2\\right)^2 + (0 - 8)^2} = \\sqrt{\\left(\\frac{1}{4}\\right)^2 + 64} = \\sqrt{\\frac{1}{16} + \\frac{1024}{16}} = \\sqrt{\\frac{1025}{16}}\\]\n\n\\[1025 = 25 \\cdot 41 \\implies \\sqrt{\\frac{1025}{16}} = \\frac{5\\sqrt{41}}{4}\\]\n\n**Krok 7: Obwód trójkąta**\n\n\\[L = |AB| + |PA| + |PB| = 10 + \\frac{5\\sqrt{41}}{4} + \\frac{5\\sqrt{41}}{4} = 10 + \\frac{10\\sqrt{41}}{4}\\]\n\n\\[\\boxed{L = 10 + \\frac{5\\sqrt{41}}{2} = \\frac{20 + 5\\sqrt{41}}{2}}\\]\n\n## Sposób 2 - Równanie okręgu (metoda algebraiczna)\n\nSymetralna odcinka \\(AB\\) to zbiór punktów jednakowo oddalonych od \\(A\\) i \\(B\\). Punkt \\(P = (x, 0)\\) leży na osi \\(Ox\\), więc szukamy \\(x\\) takiego, że \\(|PA|^2 = |PB|^2\\):\n\n\\[(x-2)^2 + (0-8)^2 = (x-10)^2 + (0-2)^2\\]\n\\[x^2 - 4x + 4 + 64 = x^2 - 20x + 100 + 4\\]\n\\[-4x + 68 = -20x + 104\\]\n\\[16x = 36\\]\n\\[x = \\frac{36}{16} = \\frac{9}{4}\\]\n\nWynik taki sam: \\(P = \\left(\\frac{9}{4}, 0\\right)\\) ✓\n\n**Weryfikacja symetralnej:** \\(|PA|^2 = \\left(\\frac{1}{4}\\right)^2 + 64 = \\frac{1025}{16}\\), \\(|PB|^2 = \\left(\\frac{31}{4}\\right)^2 + 4 = \\frac{961}{16} + \\frac{64}{16} = \\frac{1025}{16}\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nDługość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyte do obliczenia \\(|AB|\\), \\(|PA|\\), \\(|PB|\\).\n\nŚrodek odcinka (w Sposobie 1):\n\\[x_M = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_M = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\n\nWarunek prostopadłości prostych (w Sposobie 1):\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\nUżyte do wyznaczenia nachylenia symetralnej z nachylenia \\(AB\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetralna to prosta **prostopadła do AB** przechodząca przez jego środek - nie mylić ze środkową trójkąta ani z prostą równoległą!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(1025 = 25 \\cdot 41\\), więc \\(\\sqrt{1025} = 5\\sqrt{41}\\) - zawsze szukaj czynnika będącego pełnym kwadratem, by uprościć pierwiastek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 można zaoszczędzić czas, korzystając z własności symetralnej (\\(|PA| = |PB|\\)) - nie trzeba liczyć obu odcinków osobno, wystarczy jeden. Skoro \\(P\\) leży na symetralnej, równość \\(|PA| = |PB|\\) jest gwarantowana z definicji.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(P = \\left(\\dfrac{9}{4}, 0\\right)\\), obwód \\(L = \\dfrac{5\\sqrt{41}}{2} + 10\\).\n\n### Sposób 1 - Równanie symetralnej\nŚrodek \\(M = \\left(\\tfrac{2+10}{2}, \\tfrac{8+2}{2}\\right) = (6, 5)\\).\nWspółczynnik kierunkowy \\(AB\\): \\(a_{AB} = \\tfrac{2-8}{10-2} = -\\tfrac{3}{4}\\). Symetralna ⊥ \\(AB\\), więc \\(a_k = \\tfrac{4}{3}\\).\nRównanie symetralnej: \\(y - 5 = \\tfrac{4}{3}(x - 6) \\Rightarrow y = \\tfrac{4}{3}x - 3\\).\nPrzecięcie z \\(Ox\\) (\\(y=0\\)): \\(0 = \\tfrac{4}{3}x - 3 \\Rightarrow x = \\tfrac{9}{4}\\). Zatem \\(P = \\left(\\tfrac{9}{4}, 0\\right)\\).\n\nDługości boków:\n\\(|AP| = |BP| = \\sqrt{\\left(\\tfrac{9}{4} - 2\\right)^2 + (0-8)^2} = \\sqrt{\\tfrac{1}{16} + 64} = \\sqrt{\\tfrac{1025}{16}} = \\tfrac{5\\sqrt{41}}{4}\\).\n\\(|AB| = \\sqrt{8^2 + 6^2} = 10\\).\n\\[L = 2\\cdot \\tfrac{5\\sqrt{41}}{4} + 10 = \\dfrac{5\\sqrt{41}}{2} + 10.\\]\n\n### Sposób 2 - \\(|AP| = |BP|\\)\nPunkt \\(P = (x_p, 0)\\) leży na osi \\(Ox\\) i jednakowo odległy od \\(A\\), \\(B\\):\n\\[(x_p - 2)^2 + 64 = (x_p - 10)^2 + 4\\]\n\\[-4x_p + 68 = -20x_p + 104 \\Rightarrow 16x_p = 36 \\Rightarrow x_p = \\tfrac{9}{4}.\\]\n\n### CKE - Zasady punktacji\n- **5 pkt**: \\(P = \\left(\\tfrac{9}{4}, 0\\right)\\) i \\(L = \\tfrac{5\\sqrt{41}}{2} + 10\\).\n- **4 pkt**: współrzędne \\(P\\) + jeden bok \\(AB\\) lub \\(AP\\).\n- **3 pkt**: \\(|AB|=10\\) + równanie symetralnej/warunek.\n- **2 pkt**: \\(|AB|=10\\) + jeden dodatkowy krok.\n- **1 pkt**: np. \\(|AB|=10\\) LUB \\(M=(6,5)\\) LUB \\(a_{AB}=-\\tfrac{3}{4}\\).\n\n**Trik:** symetralna = zbiór punktów równoodległych od końców odcinka; bezpośrednio daje równanie \\(|AP|=|BP|\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>W układzie współrzędnych (x, y) dane są punkty A= (2, 8) oraz B= (10, 2) Symetralna odcinka AB przecina oś Ox układu współrzędnych w punkcie P . Oblicz współrzędne punktu P oraz obwód trójkąta ABP</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź:</h4>\n<p>\\(P = \\left(\\frac{9}{4},\\ 0\\right)\\), obwód trójkąta \\(ABP = 10 + \\frac{5\\sqrt{41}}{2}\\)</p>\n<h4>Sposób 1 - Środek odcinka + prosta prostopadła</h4>\n<p><strong>Krok 1: Wyznaczamy środek odcinka AB</strong></p>\n<p>Środek \\(M\\) odcinka \\(AB\\):<br>\\[M = \\left(\\frac{2+10}{2},\\ \\frac{8+2}{2}\\right) = (6,\\ 5)\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyznaczamy nachylenie prostej AB</strong></p>\n<p>\\[k_{AB} = \\frac{2 - 8}{10 - 2} = \\frac{-6}{8} = -\\frac{3}{4}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Nachylenie symetralnej</strong></p>\n<p>Symetralna jest prostopadła do \\(AB\\), więc:<br>\\[k_s = -\\frac{1}{k_{AB}} = -\\frac{1}{-\\frac{3}{4}} = \\frac{4}{3}\\]</p>\n<p><strong>Krok 4: Równanie symetralnej</strong></p>\n<p>Symetralna przechodzi przez \\(M = (6, 5)\\) z nachyleniem \\(\\frac{4}{3}\\):<br>\\[y - 5 = \\frac{4}{3}(x - 6)\\]<br>\\[y = \\frac{4}{3}x - 8 + 5\\]<br>\\[y = \\frac{4}{3}x - 3\\]</p>\n<p><strong>Krok 5: Punkt P - przecięcie z osią Ox</strong></p>\n<p>Na osi \\(Ox\\) mamy \\(y = 0\\):<br>\\[0 = \\frac{4}{3}x - 3 \\implies \\frac{4}{3}x = 3 \\implies x = \\frac{9}{4}\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{P = \\left(\\frac{9}{4},\\ 0\\right)}\\]</p>\n<p><strong>Krok 6: Obliczamy długości boków trójkąta</strong></p>\n<p>\\[|AB| = \\sqrt{(10-2)^2 + (2-8)^2} = \\sqrt{64 + 36} = \\sqrt{100} = 10\\]</p>\n<p>Ponieważ \\(P\\) leży na symetralnej odcinka \\(AB\\), to \\(|PA| = |PB|\\) - wystarczy policzyć jeden z nich.</p>\n<p>\\[|PA| = \\sqrt{\\left(\\frac{9}{4} - 2\\right)^2 + (0 - 8)^2} = \\sqrt{\\left(\\frac{1}{4}\\right)^2 + 64} = \\sqrt{\\frac{1}{16} + \\frac{1024}{16}} = \\sqrt{\\frac{1025}{16}}\\]</p>\n<p>\\[1025 = 25 \\cdot 41 \\implies \\sqrt{\\frac{1025}{16}} = \\frac{5\\sqrt{41}}{4}\\]</p>\n<p><strong>Krok 7: Obwód trójkąta</strong></p>\n<p>\\[L = |AB| + |PA| + |PB| = 10 + \\frac{5\\sqrt{41}}{4} + \\frac{5\\sqrt{41}}{4} = 10 + \\frac{10\\sqrt{41}}{4}\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{L = 10 + \\frac{5\\sqrt{41}}{2} = \\frac{20 + 5\\sqrt{41}}{2}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Równanie okręgu (metoda algebraiczna)</h4>\n<p>Symetralna odcinka \\(AB\\) to zbiór punktów jednakowo oddalonych od \\(A\\) i \\(B\\). Punkt \\(P = (x, 0)\\) leży na osi \\(Ox\\), więc szukamy \\(x\\) takiego, że \\(|PA|^2 = |PB|^2\\):</p>\n<p>\\[(x-2)^2 + (0-8)^2 = (x-10)^2 + (0-2)^2\\]<br>\\[x^2 - 4x + 4 + 64 = x^2 - 20x + 100 + 4\\]<br>\\[-4x + 68 = -20x + 104\\]<br>\\[16x = 36\\]<br>\\[x = \\frac{36}{16} = \\frac{9}{4}\\]</p>\n<p>Wynik taki sam: \\(P = \\left(\\frac{9}{4}, 0\\right)\\) ✓</p>\n<p><strong>Weryfikacja symetralnej:</strong> \\(|PA|^2 = \\left(\\frac{1}{4}\\right)^2 + 64 = \\frac{1025}{16}\\), \\(|PB|^2 = \\left(\\frac{31}{4}\\right)^2 + 4 = \\frac{961}{16} + \\frac{64}{16} = \\frac{1025}{16}\\) ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong></p>\n<p>Długość odcinka:<br>\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]<br>Użyte do obliczenia \\(|AB|\\), \\(|PA|\\), \\(|PB|\\).</p>\n<p>Środek odcinka (w Sposobie 1):<br>\\[x_M = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_M = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]</p>\n<p>Warunek prostopadłości prostych (w Sposobie 1):<br>\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]<br>Użyte do wyznaczenia nachylenia symetralnej z nachylenia \\(AB\\).</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Symetralna to prosta <strong>prostopadła do AB</strong> przechodząca przez jego środek - nie mylić ze środkową trójkąta ani z prostą równoległą!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(1025 = 25 \\cdot 41\\), więc \\(\\sqrt{1025} = 5\\sqrt{41}\\) - zawsze szukaj czynnika będącego pełnym kwadratem, by uprościć pierwiastek.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W Sposobie 2 można zaoszczędzić czas, korzystając z własności symetralnej (\\(|PA| = |PB|\\)) - nie trzeba liczyć obu odcinków osobno, wystarczy jeden. Skoro \\(P\\) leży na symetralnej, równość \\(|PA| = |PB|\\) jest gwarantowana z definicji.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź:</strong> \\(P = \\left(\\dfrac{9}{4}, 0\\right)\\), obwód \\(L = \\dfrac{5\\sqrt{41}}{2} + 10\\).</p>\n<h5>Sposób 1 - Równanie symetralnej</h5>\n<p>Środek \\(M = \\left(\\tfrac{2+10}{2}, \\tfrac{8+2}{2}\\right) = (6, 5)\\).<br>Współczynnik kierunkowy \\(AB\\): \\(a_{AB} = \\tfrac{2-8}{10-2} = -\\tfrac{3}{4}\\). Symetralna ⊥ \\(AB\\), więc \\(a_k = \\tfrac{4}{3}\\).<br>Równanie symetralnej: \\(y - 5 = \\tfrac{4}{3}(x - 6) \\Rightarrow y = \\tfrac{4}{3}x - 3\\).<br>Przecięcie z \\(Ox\\) (\\(y=0\\)): \\(0 = \\tfrac{4}{3}x - 3 \\Rightarrow x = \\tfrac{9}{4}\\). Zatem \\(P = \\left(\\tfrac{9}{4}, 0\\right)\\).</p>\n<p>Długości boków:<br>\\(|AP| = |BP| = \\sqrt{\\left(\\tfrac{9}{4} - 2\\right)^2 + (0-8)^2} = \\sqrt{\\tfrac{1}{16} + 64} = \\sqrt{\\tfrac{1025}{16}} = \\tfrac{5\\sqrt{41}}{4}\\).<br>\\(|AB| = \\sqrt{8^2 + 6^2} = 10\\).<br>\\[L = 2\\cdot \\tfrac{5\\sqrt{41}}{4} + 10 = \\dfrac{5\\sqrt{41}}{2} + 10.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - \\(|AP| = |BP|\\)</h5>\n<p>Punkt \\(P = (x_p, 0)\\) leży na osi \\(Ox\\) i jednakowo odległy od \\(A\\), \\(B\\):<br>\\[(x_p - 2)^2 + 64 = (x_p - 10)^2 + 4\\]<br>\\[-4x_p + 68 = -20x_p + 104 \\Rightarrow 16x_p = 36 \\Rightarrow x_p = \\tfrac{9}{4}.\\]</p>\n<h5>CKE - Zasady punktacji</h5>\n<ul><li><strong>5 pkt</strong>: \\(P = \\left(\\tfrac{9}{4}, 0\\right)\\) i \\(L = \\tfrac{5\\sqrt{41}}{2} + 10\\).</li><li><strong>4 pkt</strong>: współrzędne \\(P\\) + jeden bok \\(AB\\) lub \\(AP\\).</li><li><strong>3 pkt</strong>: \\(|AB|=10\\) + równanie symetralnej/warunek.</li><li><strong>2 pkt</strong>: \\(|AB|=10\\) + jeden dodatkowy krok.</li><li><strong>1 pkt</strong>: np. \\(|AB|=10\\) LUB \\(M=(6,5)\\) LUB \\(a_{AB}=-\\tfrac{3}{4}\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> symetralna = zbiór punktów równoodległych od końców odcinka; bezpośrednio daje równanie \\(|AP|=|BP|\\).</p>"}]}