{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nKlient wpłacił do banku na trzyletnią lokatę kwotę w wysokości 𝐾0 zł. Po każdym rocznym\nokresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 6% od kwoty bieżącego kapitału\nznajdującego się na lokacie - zgodnie z procentem składanym.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPo trzech latach oszczędzania w tym banku kwota na lokacie (bez uwzględniania podatków)\njest równa\nA. 𝐾0 ⋅(1,06)3\nB. 𝐾0 ⋅(1,02)3\nC. 𝐾0 ⋅(1,03)6\nD. 𝐾0 ⋅1,18\n\nMMAP-P0_100\nKlient wpłacił do banku na trzyletnią lokatę kwotę w wysokości K_0 zł. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 6% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie - zgodnie z procentem składanym. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Po trzech latach oszczędzania w tym banku kwota na lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa A. K_0⋅(1,06)³ B. K_0⋅(1,02)³ C. K_0⋅(1,03)^6 D. K_0⋅1,18","answer":"A","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n2. Używanie języka matematycznego do\ntworzenia tekstów matematycznych, w tym\ndo opisu prowadzonych rozumowań\ni uzasadniania wniosków, a także do\nprzedstawiania danych.\nZdający:\nI.8) wykorzystuje własności potęgowania\ni pierwiastkowania w sytuacjach\npraktycznych, w tym do obliczania\nprocentów składanych z kapitalizacją\nroczną i zysków z lokat.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\nPole prostokąta \\(\\mathcal{P}_1\\) stanowi **\\(62{,}5\\%\\)** pola prostokąta \\(\\mathcal{P}_2\\).\n\n## Sposób 1 - bezpośrednie obliczenie stosunku pól\n\n**Obliczamy pola obu prostokątów:**\n\n\\[P_1 = a \\cdot b\\]\n\n\\[P_2 = 0{,}2a \\cdot 8b = 1{,}6ab\\]\n\n**Obliczamy, jaką część (procentowo) \\(P_1\\) stanowi z \\(P_2\\):**\n\n\\[\\frac{P_1}{P_2} = \\frac{ab}{1{,}6ab} = \\frac{1}{1{,}6} = \\frac{10}{16} = \\frac{5}{8} = 0{,}625\\]\n\n**Zatem \\(P_1 = 62{,}5\\% \\cdot P_2\\).**\n\n## Sposób 2 - podstawienie konkretnych liczb (weryfikacja)\n\nPrzyjmijmy \\(a = 10\\), \\(b = 1\\) (dowolne wartości, żeby sprawdzić).\n\n\\[P_1 = 10 \\cdot 1 = 10\\]\n\n\\[P_2 = 0{,}2 \\cdot 10 \\cdot 8 \\cdot 1 = 2 \\cdot 8 = 16\\]\n\nStosunek:\n\n\\[\\frac{P_1}{P_2} = \\frac{10}{16} = 0{,}625 = 62{,}5\\%\\]\n\nWynik zgodny z odpowiedzią B.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja pola prostokąta (\\(P = a \\cdot b\\)) i podstawowe działania arytmetyczne na ułamkach/procentach.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (\\(60\\%\\)) | Zaokrąglenie \\(\\frac{1}{1{,}6}\\) do \\(0{,}6\\) bez dokładnego liczenia; albo błędne uproszczenie \\(0{,}2 \\cdot 8 = 1{,}6\\) np. jako \\(\\frac{5}{3}\\) |\n| C (\\(160\\%\\)) | Odwrócenie stosunku - obliczono \\(\\frac{P_2}{P_1}\\) zamiast \\(\\frac{P_1}{P_2}\\) (czyli ile procent \\(\\mathcal{P}_2\\) stanowi z \\(\\mathcal{P}_1\\)) |\n| D (\\(162{,}5\\%\\)) | Analogiczne odwrócenie stosunku jak w C, ale z dodatkowym błędem rachunkowym |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to odwrócenie stosunku - uczeń oblicza \\(\\frac{P_2}{P_1}\\) zamiast \\(\\frac{P_1}{P_2}\\). Zawsze sprawdź, o który stosunek pyta zadanie: „\\(\\mathcal{P}_1\\) stanowi % \\(\\mathcal{P}_2\\)\" to \\(\\frac{P_1}{P_2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu \\(0{,}2 \\cdot 8\\) wynik to \\(1{,}6\\), a nie \\(1{,}8\\) ani \\(2\\). Warto to policzyć ostrożnie: \\(\\frac{2}{10} \\cdot 8 = \\frac{16}{10} = 1{,}6\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\frac{1}{1{,}6} = \\frac{10}{16} = \\frac{5}{8} = 0{,}625\\) - nie zaokrąglaj przedwcześnie do \\(0{,}6\\)!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Stosunek pól\n\\(P_1 = ab\\), \\(P_2 = 0{,}2a\\cdot 8b = 1{,}6ab\\).\n\\[\\dfrac{P_1}{P_2} = \\dfrac{ab}{1{,}6ab} = \\dfrac{1}{1{,}6} = \\dfrac{10}{16} = 0{,}625 = 62{,}5\\%.\\]\n\n### Sposób 2 - Liczby testowe\nNiech \\(a=b=1\\): \\(P_1 = 1\\), \\(P_2 = 1{,}6\\). \\(\\tfrac{1}{1{,}6} = 0{,}625\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(60\\%\\)** - błąd rachunkowy.\n- **C, D** (>100%) - błędna odwrotność stosunku.\n\n**Trik:** \\(0{,}2\\cdot 8 = 1{,}6\\); \\(\\tfrac{1}{1{,}6} = 0{,}625\\).","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"Procenty, ciagi","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 4. (0-1)
Klient wpłacił do banku na trzyletnią lokatę kwotę w wysokości 𝐾0 zł. Po każdym rocznym
okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 6% od kwoty bieżącego kapitału
znajdującego się na lokacie - zgodnie z procentem składanym.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Po trzech latach oszczędzania w tym banku kwota na lokacie (bez uwzględniania podatków)
jest równa
A. 𝐾0 ⋅(1,06)3
B. 𝐾0 ⋅(1,02)3
C. 𝐾0 ⋅(1,03)6
D. 𝐾0 ⋅1,18

\n

MMAP-P0_100
Klient wpłacił do banku na trzyletnią lokatę kwotę w wysokości K_0 zł. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 6% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie - zgodnie z procentem składanym. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Po trzech latach oszczędzania w tym banku kwota na lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa A. K_0⋅(1,06)³ B. K_0⋅(1,02)³ C. K_0⋅(1,03)^6 D. K_0⋅1,18

","answer_text_html":"

Zadanie 4. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.

\n
  1. Używanie języka matematycznego do
\n

tworzenia tekstów matematycznych, w tym
do opisu prowadzonych rozumowań
i uzasadniania wniosków, a także do
przedstawiania danych.
Zdający:
I.8) wykorzystuje własności potęgowania
i pierwiastkowania w sytuacjach
praktycznych, w tym do obliczania
procentów składanych z kapitalizacją
roczną i zysków z lokat.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
A
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-4.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B

\n

Pole prostokąta \\(\\mathcal{P}_1\\) stanowi \\(62{,}5\\%\\) pola prostokąta \\(\\mathcal{P}_2\\).

\n

Sposób 1 - bezpośrednie obliczenie stosunku pól

\n

Obliczamy pola obu prostokątów:

\n

\\[P_1 = a \\cdot b\\]

\n

\\[P_2 = 0{,}2a \\cdot 8b = 1{,}6ab\\]

\n

Obliczamy, jaką część (procentowo) \\(P_1\\) stanowi z \\(P_2\\):

\n

\\[\\frac{P_1}{P_2} = \\frac{ab}{1{,}6ab} = \\frac{1}{1{,}6} = \\frac{10}{16} = \\frac{5}{8} = 0{,}625\\]

\n

Zatem \\(P_1 = 62{,}5\\% \\cdot P_2\\).

\n

Sposób 2 - podstawienie konkretnych liczb (weryfikacja)

\n

Przyjmijmy \\(a = 10\\), \\(b = 1\\) (dowolne wartości, żeby sprawdzić).

\n

\\[P_1 = 10 \\cdot 1 = 10\\]

\n

\\[P_2 = 0{,}2 \\cdot 10 \\cdot 8 \\cdot 1 = 2 \\cdot 8 = 16\\]

\n

Stosunek:

\n

\\[\\frac{P_1}{P_2} = \\frac{10}{16} = 0{,}625 = 62{,}5\\%\\]

\n

Wynik zgodny z odpowiedzią B.

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja pola prostokąta (\\(P = a \\cdot b\\)) i podstawowe działania arytmetyczne na ułamkach/procentach.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A (\\(60\\%\\)) | Zaokrąglenie \\(\\frac{1}{1{,}6}\\) do \\(0{,}6\\) bez dokładnego liczenia; albo błędne uproszczenie \\(0{,}2 \\cdot 8 = 1{,}6\\) np. jako \\(\\frac{5}{3}\\) |
| C (\\(160\\%\\)) | Odwrócenie stosunku - obliczono \\(\\frac{P_2}{P_1}\\) zamiast \\(\\frac{P_1}{P_2}\\) (czyli ile procent \\(\\mathcal{P}_2\\) stanowi z \\(\\mathcal{P}_1\\)) |
| D (\\(162{,}5\\%\\)) | Analogiczne odwrócenie stosunku jak w C, ale z dodatkowym błędem rachunkowym |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to odwrócenie stosunku - uczeń oblicza \\(\\frac{P_2}{P_1}\\) zamiast \\(\\frac{P_1}{P_2}\\). Zawsze sprawdź, o który stosunek pyta zadanie: „\\(\\mathcal{P}_1\\) stanowi % \\(\\mathcal{P}_2\\)" to \\(\\frac{P_1}{P_2}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przy mnożeniu \\(0{,}2 \\cdot 8\\) wynik to \\(1{,}6\\), a nie \\(1{,}8\\) ani \\(2\\). Warto to policzyć ostrożnie: \\(\\frac{2}{10} \\cdot 8 = \\frac{16}{10} = 1{,}6\\).
\n
⚠️ Uwaga: \\(\\frac{1}{1{,}6} = \\frac{10}{16} = \\frac{5}{8} = 0{,}625\\) - nie zaokrąglaj przedwcześnie do \\(0{,}6\\)!
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Stosunek pól
\n

\\(P_1 = ab\\), \\(P_2 = 0{,}2a\\cdot 8b = 1{,}6ab\\).
\\[\\dfrac{P_1}{P_2} = \\dfrac{ab}{1{,}6ab} = \\dfrac{1}{1{,}6} = \\dfrac{10}{16} = 0{,}625 = 62{,}5\\%.\\]

\n
Sposób 2 - Liczby testowe
\n

Niech \\(a=b=1\\): \\(P_1 = 1\\), \\(P_2 = 1{,}6\\). \\(\\tfrac{1}{1{,}6} = 0{,}625\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: \\(0{,}2\\cdot 8 = 1{,}6\\); \\(\\tfrac{1}{1{,}6} = 0{,}625\\).

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, po trzech latach oszczędzania kwota na lokacie jest obliczana według wzoru na procent składany, co daje $K_0 \\cdot (1,06)^3$.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Po każdym roku kapitał jest mnożony przez 1 , 06 , więc po trzech latach wynosi
K_0·(1 , 06)^3.

"}]}