{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"5","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby naturalnej 𝒏≥𝟏 liczba 𝟓𝒏𝟑-𝟓𝒏 jest podzielna przez 𝟑𝟎.\n\nMMAP-P0_100\nWykaż, że dla każdej liczby naturalnej n≥1 liczba 5n³-5n jest podzielna przez 30.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 5. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nI.2) przeprowadza proste dowody dotyczące\npodzielności liczb całkowitych i reszt\nz dzielenia nie trudniejsze niż dowód\npodzielności przez 24 iloczynu czterech\nkolejnych liczb naturalnych.\nZasady oceniania\n2 pkt - przekształcenie wyrażenia 5𝑛3 -5𝑛 do postaci 5𝑛(𝑛-1)(𝑛+ 1) oraz\nzapisanie, że wśród trzech kolejnych liczb całkowitych 𝑛-1, 𝑛, 𝑛+ 1 co najmniej\njedna jest podzielna przez 2 i dokładnie jedna jest podzielna przez 3.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia 5𝑛3 -5𝑛 do postaci 5𝑛(𝑛-1)(𝑛+ 1).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\nJeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości 𝑛, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy wyrażenie 5𝑛3 -5𝑛 do postaci iloczynu\n5𝑛3 -5𝑛= 5𝑛(𝑛2 -1) = 5𝑛(𝑛-1)(𝑛+ 1)\nJeden z czynników w rozkładzie jest równy 5, więc liczba 5𝑛(𝑛-1)(𝑛+ 1) jest podzielna\nprzez 5. Wśród każdych trzech kolejnych liczb całkowitych 𝑛-1, 𝑛, 𝑛+ 1 co najmniej\njedna jest podzielna przez 2 i dokładnie jedna jest podzielna przez 3.\nZatem liczba 5𝑛(𝑛-1)(𝑛+ 1) dzieli się przez 5 oraz przez 2 oraz przez 3.\nPonadto liczby 2, 3, 5 są parami względnie pierwsze.\nZatem liczba 5𝑛3 -5𝑛= 5𝑛(𝑛2 -1) = 5𝑛(𝑛-1)(𝑛+ 1) jest podzielna przez 30.\nTo kończy dowód.","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(K_0 \\cdot (1{,}06)^3\\)\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednie zastosowanie wzoru na procent składany\n\nProcent składany oznacza, że **na koniec każdego okresu bank dolicza odsetki od całego bieżącego kapitału** (nie tylko od kwoty początkowej).\n\nOprocentowanie roczne wynosi \\(6\\% = 0{,}06\\).\n\nPo każdym roku kapitał rośnie razy \\((1 + 0{,}06) = 1{,}06\\):\n\n\\[K_1 = K_0 \\cdot 1{,}06\\]\n\n\\[K_2 = K_1 \\cdot 1{,}06 = K_0 \\cdot (1{,}06)^2\\]\n\n\\[K_3 = K_2 \\cdot 1{,}06 = K_0 \\cdot (1{,}06)^3\\]\n\n**Po 3 latach: \\(K_3 = K_0 \\cdot (1{,}06)^3\\)**\n\n## Sposób 2 - Użycie wzoru z karty CKE\n\nZe wzoru na procent składany (Dział 8):\n\n\\[K_n = K_0 \\cdot \\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)^n\\]\n\nPodstawiamy: \\(n = 3\\), \\(p = 6\\):\n\n\\[K_3 = K_0 \\cdot \\left(1 + \\frac{6}{100}\\right)^3 = K_0 \\cdot (1 + 0{,}06)^3 = K_0 \\cdot (1{,}06)^3\\]\n\n**Wynik: \\(K_0 \\cdot (1{,}06)^3\\) - odpowiedź A.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - procent składany:\n\\[K_n = K_0 \\cdot \\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)^n\\]\ngdzie \\(K_0\\) to kapitał początkowy, \\(p\\) to stopa procentowa (w procentach), \\(n\\) to liczba okresów.\n\nUżyliśmy tego wzoru wprost - wstawiliśmy \\(p = 6\\) i \\(n = 3\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Wzięto \\(2\\%\\) zamiast \\(6\\%\\) - być może pomylono z kwartalnym oprocentowaniem lub zwykłą pomyłką |\n| C | Podzielono oprocentowanie na pół (\\(3\\%\\)) i podwojono liczbę okresów (\\(6\\)) - błędna \"naprawa\" wzoru; taki zapis byłby poprawny przy oprocentowaniu półrocznym \\(3\\%\\), ale tu mamy roczne \\(6\\%\\) |\n| D | Policzono procent prosty zamiast składanego: \\(3 \\times 6\\% = 18\\%\\), więc \\(K_0 \\cdot 1{,}18\\) - to byłoby poprawne, gdyby odsetki liczyć zawsze od kwoty **początkowej** \\(K_0\\), a nie od bieżącego kapitału |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Procent **składany** ≠ procent **prosty**. W procencie prostym odsetki liczymy zawsze od \\(K_0\\), więc po 3 latach mamy \\(K_0 \\cdot (1 + 3 \\cdot 0{,}06) = K_0 \\cdot 1{,}18\\). W procencie składanym odsetki \"pracują na siebie\" - każdego roku podstawa rośnie, stąd potęga.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno \"rozdzielać\" oprocentowania: zapis \\((1{,}03)^6\\) nie jest równoważny \\((1{,}06)^3\\). Łatwo sprawdzić: \\((1{,}06)^3 \\approx 1{,}1910\\), a \\((1{,}03)^6 \\approx 1{,}1941\\) - wartości różne!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(K_n = K_0 \\cdot \\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)^n\\) działa tylko gdy **\\(p\\) podajemy w procentach** (nie jako ułamek dziesiętny). Jeśli wstawiasz \\(p = 6\\), to \\(\\frac{6}{100} = 0{,}06\\) i dostajesz \\(1{,}06\\) - nie wstawiaj bezpośrednio \\(0{,}06\\) do \\(p\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Procent składany\nPo 1. roku: \\(K_0\\cdot 1{,}06\\); po 2. roku: \\(K_0\\cdot(1{,}06)^{2}\\); po 3. roku: \\(K_0\\cdot(1{,}06)^{3}\\).\n\n### Sposób 2 - Karta wzorów\nWzór na kapitał końcowy przy kapitalizacji rocznej: \\(K_n = K_0(1+p)^n\\), gdzie \\(p=0{,}06\\), \\(n=3\\): \\(K_3 = K_0(1{,}06)^3\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\((1{,}02)^{3}\\)** - błędnie dzielono \\(6\\%\\) przez 3.\n- **C. \\((1{,}03)^{6}\\)** - błąd podziału \\(6\\%\\) pół-rocznie.\n- **D. \\(1{,}18\\)** - procent prosty (\\(3\\cdot 6\\% = 18\\%\\)).\n\n**Trik:** przy oprocentowaniu rocznym \\(p\\) i \\(n\\) latach: mnożnik = \\((1+p)^n\\).","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"Dowody algebraiczne, liczby_naturalne","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 5. (0-2)<br>Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej 𝒏≥𝟏 liczba 𝟓𝒏𝟑-𝟓𝒏 jest podzielna przez 𝟑𝟎.</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n≥1 liczba 5n³-5n jest podzielna przez 30.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 5. (0-2)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Przeprowadzanie rozumowań, także</li></ol>\n<p>kilkuetapowych, podawanie argumentów<br>uzasadniających poprawność rozumowania,<br>odróżnianie dowodu od przykładu.<br>Zdający:<br>I.2) przeprowadza proste dowody dotyczące<br>podzielności liczb całkowitych i reszt<br>z dzielenia nie trudniejsze niż dowód<br>podzielności przez 24 iloczynu czterech<br>kolejnych liczb naturalnych.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - przekształcenie wyrażenia 5𝑛3 -5𝑛 do postaci 5𝑛(𝑛-1)(𝑛+ 1) oraz<br>zapisanie, że wśród trzech kolejnych liczb całkowitych 𝑛-1, 𝑛, 𝑛+ 1 co najmniej<br>jedna jest podzielna przez 2 i dokładnie jedna jest podzielna przez 3.<br>1 pkt - przekształcenie wyrażenia 5𝑛3 -5𝑛 do postaci 5𝑛(𝑛-1)(𝑛+ 1).<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:<br>Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości 𝑛, to otrzymuje<br>0 punktów za całe rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Przekształcamy wyrażenie 5𝑛3 -5𝑛 do postaci iloczynu<br>5𝑛3 -5𝑛= 5𝑛(𝑛2 -1) = 5𝑛(𝑛-1)(𝑛+ 1)<br>Jeden z czynników w rozkładzie jest równy 5, więc liczba 5𝑛(𝑛-1)(𝑛+ 1) jest podzielna<br>przez 5. Wśród każdych trzech kolejnych liczb całkowitych 𝑛-1, 𝑛, 𝑛+ 1 co najmniej<br>jedna jest podzielna przez 2 i dokładnie jedna jest podzielna przez 3.<br>Zatem liczba 5𝑛(𝑛-1)(𝑛+ 1) dzieli się przez 5 oraz przez 2 oraz przez 3.<br>Ponadto liczby 2, 3, 5 są parami względnie pierwsze.<br>Zatem liczba 5𝑛3 -5𝑛= 5𝑛(𝑛2 -1) = 5𝑛(𝑛-1)(𝑛+ 1) jest podzielna przez 30.<br>To kończy dowód.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-5.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(K_0 \\cdot (1{,}06)^3\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Bezpośrednie zastosowanie wzoru na procent składany</h4>\n<p>Procent składany oznacza, że <strong>na koniec każdego okresu bank dolicza odsetki od całego bieżącego kapitału</strong> (nie tylko od kwoty początkowej).</p>\n<p>Oprocentowanie roczne wynosi \\(6\\% = 0{,}06\\).</p>\n<p>Po każdym roku kapitał rośnie razy \\((1 + 0{,}06) = 1{,}06\\):</p>\n<p>\\[K_1 = K_0 \\cdot 1{,}06\\]</p>\n<p>\\[K_2 = K_1 \\cdot 1{,}06 = K_0 \\cdot (1{,}06)^2\\]</p>\n<p>\\[K_3 = K_2 \\cdot 1{,}06 = K_0 \\cdot (1{,}06)^3\\]</p>\n<p><strong>Po 3 latach: \\(K_3 = K_0 \\cdot (1{,}06)^3\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Użycie wzoru z karty CKE</h4>\n<p>Ze wzoru na procent składany (Dział 8):</p>\n<p>\\[K_n = K_0 \\cdot \\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)^n\\]</p>\n<p>Podstawiamy: \\(n = 3\\), \\(p = 6\\):</p>\n<p>\\[K_3 = K_0 \\cdot \\left(1 + \\frac{6}{100}\\right)^3 = K_0 \\cdot (1 + 0{,}06)^3 = K_0 \\cdot (1{,}06)^3\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(K_0 \\cdot (1{,}06)^3\\) - odpowiedź A.</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - procent składany:<br>\\[K_n = K_0 \\cdot \\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)^n\\]<br>gdzie \\(K_0\\) to kapitał początkowy, \\(p\\) to stopa procentowa (w procentach), \\(n\\) to liczba okresów.</p>\n<p>Użyliśmy tego wzoru wprost - wstawiliśmy \\(p = 6\\) i \\(n = 3\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| B | Wzięto \\(2\\%\\) zamiast \\(6\\%\\) - być może pomylono z kwartalnym oprocentowaniem lub zwykłą pomyłką |<br>| C | Podzielono oprocentowanie na pół (\\(3\\%\\)) i podwojono liczbę okresów (\\(6\\)) - błędna &quot;naprawa&quot; wzoru; taki zapis byłby poprawny przy oprocentowaniu półrocznym \\(3\\%\\), ale tu mamy roczne \\(6\\%\\) |<br>| D | Policzono procent prosty zamiast składanego: \\(3 \\times 6\\% = 18\\%\\), więc \\(K_0 \\cdot 1{,}18\\) - to byłoby poprawne, gdyby odsetki liczyć zawsze od kwoty <strong>początkowej</strong> \\(K_0\\), a nie od bieżącego kapitału |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Procent <strong>składany</strong> ≠ procent <strong>prosty</strong>. W procencie prostym odsetki liczymy zawsze od \\(K_0\\), więc po 3 latach mamy \\(K_0 \\cdot (1 + 3 \\cdot 0{,}06) = K_0 \\cdot 1{,}18\\). W procencie składanym odsetki &quot;pracują na siebie&quot; - każdego roku podstawa rośnie, stąd potęga.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie wolno &quot;rozdzielać&quot; oprocentowania: zapis \\((1{,}03)^6\\) nie jest równoważny \\((1{,}06)^3\\). Łatwo sprawdzić: \\((1{,}06)^3 \\approx 1{,}1910\\), a \\((1{,}03)^6 \\approx 1{,}1941\\) - wartości różne!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór \\(K_n = K_0 \\cdot \\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)^n\\) działa tylko gdy <strong>\\(p\\) podajemy w procentach</strong> (nie jako ułamek dziesiętny). Jeśli wstawiasz \\(p = 6\\), to \\(\\frac{6}{100} = 0{,}06\\) i dostajesz \\(1{,}06\\) - nie wstawiaj bezpośrednio \\(0{,}06\\) do \\(p\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Procent składany</h5>\n<p>Po 1. roku: \\(K_0\\cdot 1{,}06\\); po 2. roku: \\(K_0\\cdot(1{,}06)^{2}\\); po 3. roku: \\(K_0\\cdot(1{,}06)^{3}\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Karta wzorów</h5>\n<p>Wzór na kapitał końcowy przy kapitalizacji rocznej: \\(K_n = K_0(1+p)^n\\), gdzie \\(p=0{,}06\\), \\(n=3\\): \\(K_3 = K_0(1{,}06)^3\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\((1{,}02)^{3}\\)</strong> - błędnie dzielono \\(6\\%\\) przez 3.</li><li><strong>C. \\((1{,}03)^{6}\\)</strong> - błąd podziału \\(6\\%\\) pół-rocznie.</li><li><strong>D. \\(1{,}18\\)</strong> - procent prosty (\\(3\\cdot 6\\% = 18\\%\\)).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> przy oprocentowaniu rocznym \\(p\\) i \\(n\\) latach: mnożnik = \\((1+p)^n\\).</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>5n^3-5n=5n(n-1)(n+1).<br>Iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez 2 i przez 3 , czyli przez 6 . Po pomnożeniu przez 5 otrzymujemy podzielność przez 30 .</p>"}]}