{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba wszystkich całkowitych dodatnich rozwiązań nierówności\n3𝑥-5\n12\n< 1\n3\njest równa\nA. 2\nB. 3\nC. 5\nD. 6\nLiczba wszystkich {całkowitych dodatnich} rozwiązań nierówności 3x-5/12 < 1/3 A. 2 B. 3 C. 5 D. 6","answer":"A","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.3) rozwiązuje nierówności liniowe z jedną\nniewiadomą.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(2\\)\n\n## Sposób 1 - Rozwiązanie algebraiczne nierówności\n\n**Rozwiązujemy nierówność krok po kroku.**\n\nMamy:\n\\[\\frac{3x-5}{12} < \\frac{1}{3}\\]\n\n**Krok 1:** Mnożymy obie strony przez \\(12\\) (liczba dodatnia - nie zmieniamy znaku nierówności):\n\\[3x - 5 < \\frac{12}{3}\\]\n\\[3x - 5 < 4\\]\n\n**Krok 2:** Dodajemy \\(5\\) do obu stron:\n\\[3x < 9\\]\n\n**Krok 3:** Dzielimy obie strony przez \\(3\\) (dodatnia - znak bez zmian):\n\\[x < 3\\]\n\n**Rozwiązaniem nierówności są wszystkie** \\(x < 3\\).\n\n**Krok 4:** Szukamy całkowitych **dodatnich** rozwiązań, czyli:\n\\[x \\in \\mathbb{Z}, \\quad x > 0, \\quad x < 3\\]\n\nZatem \\(x \\in \\{1, 2\\}\\).\n\n**Liczba rozwiązań = \\(2\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy każdą dodatnią liczbę całkowitą mniejszą niż \\(3\\):\n\n**\\(x = 1\\):**\n\\[\\frac{3 \\cdot 1 - 5}{12} = \\frac{-2}{12} = -\\frac{1}{6} < \\frac{1}{3} \\quad \\checkmark\\]\n\n**\\(x = 2\\):**\n\\[\\frac{3 \\cdot 2 - 5}{12} = \\frac{1}{12} < \\frac{1}{3} \\quad \\checkmark\\]\n\n**\\(x = 3\\)** (granica - sprawdzamy, czy to rozwiązanie):\n\\[\\frac{3 \\cdot 3 - 5}{12} = \\frac{4}{12} = \\frac{1}{3} \\not< \\frac{1}{3} \\quad \\times\\]\n\n\\(x = 3\\) **nie spełnia** nierówności (nierówność ostra).\n\nRozwiązania całkowite dodatnie: \\(\\{1, 2\\}\\) - **łącznie \\(2\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe przekształcenia nierówności (mnożenie i dodawanie po obu stronach).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B. \\(3\\) | Uczeń włącza \\(x = 3\\) do rozwiązań, zapominając że nierówność jest **ostra** (\\(<\\), nie \\(\\leq\\)), więc \\(x = 3\\) nie pasuje |\n| C. \\(5\\) | Uczeń liczy rozwiązania całkowite \\(x \\in \\{1,2,3,4,5\\}\\), mylnie obliczając granicę jako \\(x < 6\\) lub licząc \\(x \\leq 5\\) |\n| D. \\(6\\) | Podobny błąd - błędne obliczenie granicy lub policzenie \\(x \\in \\{1,2,3,4,5,6\\}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność jest **ostra** (\\(<\\)), więc \\(x = 3\\) **nie jest** rozwiązaniem. Bardzo łatwo o pomyłkę przy granicy!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o rozwiązania całkowite **dodatnie** - liczba \\(0\\) nie jest dodatnia, więc \\(x = 0\\) odpada, mimo że \\(0 < 3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu nierówności przez liczbę ujemną znak nierówności się odwraca. Tu mnożymy przez \\(12 > 0\\), więc znak pozostaje - ale zawsze sprawdzaj znak mnożnika!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Rozwiązanie nierówności\n\\[\\dfrac{3x-5}{12} < \\dfrac{1}{3}\\ /\\cdot 12\\]\n\\[3x - 5 < 4\\]\n\\[3x < 9 \\Rightarrow x < 3.\\]\nDodatnie całkowite: \\(x = 1, 2\\). Są 2 liczby.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\n\\(x=1\\): \\(\\tfrac{-2}{12} = -\\tfrac{1}{6} < \\tfrac{1}{3}\\) ✓. \\(x=2\\): \\(\\tfrac{1}{12} < \\tfrac{1}{3}\\) ✓. \\(x=3\\): \\(\\tfrac{4}{12} = \\tfrac{1}{3}\\) - nie mniejsze ✗.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. 3** - błędnie zaliczono \\(x=3\\).\n- **C, D** - nie uwzględniono ograniczenia \\(x < 3\\).\n\n**Trik:** po pomnożeniu przez \\(12\\) (dodatnie) nierówność się nie odwraca.","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"Nierówności liniowe, rownania_i_nierownosci","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 6. (0-1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba wszystkich całkowitych dodatnich rozwiązań nierówności
3𝑥-5
12
< 1
3
jest równa
A. 2
B. 3
C. 5
D. 6
Liczba wszystkich {całkowitych dodatnich} rozwiązań nierówności 3x-5/12 < 1/3 A. 2 B. 3 C. 5 D. 6

","answer_text_html":"

Zadanie 6. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stosowanie obiektów matematycznych
\n

i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
III.3) rozwiązuje nierówności liniowe z jedną
niewiadomą.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
A

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-6.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\(2\\)

\n

Sposób 1 - Rozwiązanie algebraiczne nierówności

\n

Rozwiązujemy nierówność krok po kroku.

\n

Mamy:
\\[\\frac{3x-5}{12} < \\frac{1}{3}\\]

\n

Krok 1: Mnożymy obie strony przez \\(12\\) (liczba dodatnia - nie zmieniamy znaku nierówności):
\\[3x - 5 < \\frac{12}{3}\\]
\\[3x - 5 < 4\\]

\n

Krok 2: Dodajemy \\(5\\) do obu stron:
\\[3x < 9\\]

\n

Krok 3: Dzielimy obie strony przez \\(3\\) (dodatnia - znak bez zmian):
\\[x < 3\\]

\n

Rozwiązaniem nierówności są wszystkie \\(x < 3\\).

\n

Krok 4: Szukamy całkowitych dodatnich rozwiązań, czyli:
\\[x \\in \\mathbb{Z}, \\quad x > 0, \\quad x < 3\\]

\n

Zatem \\(x \\in \\{1, 2\\}\\).

\n

Liczba rozwiązań = \\(2\\).

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie

\n

Sprawdzamy każdą dodatnią liczbę całkowitą mniejszą niż \\(3\\):

\n

\\(x = 1\\):
\\[\\frac{3 \\cdot 1 - 5}{12} = \\frac{-2}{12} = -\\frac{1}{6} < \\frac{1}{3} \\quad \\checkmark\\]

\n

\\(x = 2\\):
\\[\\frac{3 \\cdot 2 - 5}{12} = \\frac{1}{12} < \\frac{1}{3} \\quad \\checkmark\\]

\n

\\(x = 3\\) (granica - sprawdzamy, czy to rozwiązanie):
\\[\\frac{3 \\cdot 3 - 5}{12} = \\frac{4}{12} = \\frac{1}{3} \\not< \\frac{1}{3} \\quad \\times\\]

\n

\\(x = 3\\) nie spełnia nierówności (nierówność ostra).

\n

Rozwiązania całkowite dodatnie: \\(\\{1, 2\\}\\) - łącznie \\(2\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe przekształcenia nierówności (mnożenie i dodawanie po obu stronach).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| B. \\(3\\) | Uczeń włącza \\(x = 3\\) do rozwiązań, zapominając że nierówność jest ostra (\\(<\\), nie \\(\\leq\\)), więc \\(x = 3\\) nie pasuje |
| C. \\(5\\) | Uczeń liczy rozwiązania całkowite \\(x \\in \\{1,2,3,4,5\\}\\), mylnie obliczając granicę jako \\(x < 6\\) lub licząc \\(x \\leq 5\\) |
| D. \\(6\\) | Podobny błąd - błędne obliczenie granicy lub policzenie \\(x \\in \\{1,2,3,4,5,6\\}\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nierówność jest ostra (\\(<\\)), więc \\(x = 3\\) nie jest rozwiązaniem. Bardzo łatwo o pomyłkę przy granicy!
\n
⚠️ Uwaga: Zadanie pyta o rozwiązania całkowite dodatnie - liczba \\(0\\) nie jest dodatnia, więc \\(x = 0\\) odpada, mimo że \\(0 < 3\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przy mnożeniu nierówności przez liczbę ujemną znak nierówności się odwraca. Tu mnożymy przez \\(12 > 0\\), więc znak pozostaje - ale zawsze sprawdzaj znak mnożnika!
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Rozwiązanie nierówności
\n

\\[\\dfrac{3x-5}{12} < \\dfrac{1}{3}\\ /\\cdot 12\\]
\\[3x - 5 < 4\\]
\\[3x < 9 \\Rightarrow x < 3.\\]
Dodatnie całkowite: \\(x = 1, 2\\). Są 2 liczby.

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie
\n

\\(x=1\\): \\(\\tfrac{-2}{12} = -\\tfrac{1}{6} < \\tfrac{1}{3}\\) ✓. \\(x=2\\): \\(\\tfrac{1}{12} < \\tfrac{1}{3}\\) ✓. \\(x=3\\): \\(\\tfrac{4}{12} = \\tfrac{1}{3}\\) - nie mniejsze ✗.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: po pomnożeniu przez \\(12\\) (dodatnie) nierówność się nie odwraca.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Zaczynamy od przekształcenia nierówności. Zapisać nierówność, która zostanie rozwiązana:
\n

$$\\frac{3x - 5}{12} < \\frac{1}{3}$$

\n
  1. Aby uprościć tę nierówność, pomnóżmy obie strony przez 12. Pamiętaj, że mnożenie przez liczbę dodatnią nie zmienia kierunku nierówności:
\n

$$3x - 5 < 4$$

\n
  1. Następnie dodajmy 5 do obu stron nierówności, aby pozbyć się ujemnej liczby:
\n

$$3x < 4 + 5$$

\n
  1. Uprościmy prawą stronę:
\n

$$3x < 9$$

\n
  1. Teraz, aby znaleźć wartość $x$, podzielmy obie strony nierówności przez 3. Możemy to zrobić, ponieważ dzielimy przez liczbę dodatnią, co również nie zmienia kierunku nierówności:
\n

$$x < 3$$

\n
  1. Wyciągamy wnioski. Szukamy całkowitych dodatnich rozwiązań nierówności $x < 3$. Oznacza to, że rozwiązaniem mogą być liczby całkowite dodatnie, które są mniejsze niż 3. Są to liczby: 1 i 2.
\n
  1. Zliczamy całkowite dodatnie rozwiązania, które znaleźliśmy: 1, 2. To daje nam 2 rozwiązania.
\n

Odpowiedź: 2

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

(3x-5)/(12)<(1)/(3)⇔ 3x-5<4⇔ x<3.
Dodatnie rozwiązania całkowite to 1 i 2 , więc są dwa.

"}]}