{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nUkład równań {\n𝑥-2𝑦= 3\n-4𝑥+ 8𝑦= -12\nA. nie ma rozwiązań.\nB. ma dokładnie jedno rozwiązanie.\nC. ma dokładnie dwa rozwiązania.\nD. ma nieskończenie wiele rozwiązań.\n\nMMAP-P0_100\nUkład równań {x-2y=3; -4x+8y=-12 A. nie ma rozwiązań. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie. C. ma dokładnie dwa rozwiązania. D. ma nieskończenie wiele rozwiązań.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIV.1) rozwiązuje układy równań liniowych\nz dwiema niewiadomymi […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.\n\n## Sposób 1 - Uproszczenie drugiego równania\n\nZauważamy, że drugie równanie wygląda podejrzanie podobnie do pierwszego. Sprawdźmy, co się stanie, gdy je uprościmy.\n\nDrugie równanie: \\(-4x + 8y = -12\\)\n\nPodzielmy obie strony przez \\(-4\\):\n\\[\\frac{-4x + 8y}{-4} = \\frac{-12}{-4}\\]\n\\[x - 2y = 3\\]\n\n**To dokładnie to samo, co pierwsze równanie!**\n\nUkład wygląda więc tak:\n\\[\\begin{cases} x - 2y = 3 \\\\ x - 2y = 3 \\end{cases}\\]\n\nOba równania opisują **tę samą prostą** na płaszczyźnie. Każdy punkt na tej prostej jest rozwiązaniem układu.\n\nProsta ma postać: \\(x = 3 + 2y\\), czyli dla każdego \\(y \\in \\mathbb{R}\\) mamy rozwiązanie:\n\\[(x, y) = (3 + 2t,\\ t) \\quad \\text{dla dowolnego } t \\in \\mathbb{R}\\]\n\n**Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.**\n\n## Sposób 2 - Metoda wyznacznikowa (Cramera) / analiza współczynników\n\nZapisujemy układ w postaci macierzowej i sprawdzamy proporcje współczynników:\n\\[\\frac{a_1}{a_2} = \\frac{1}{-4} = -\\frac{1}{4}\\]\n\\[\\frac{b_1}{b_2} = \\frac{-2}{8} = -\\frac{1}{4}\\]\n\\[\\frac{c_1}{c_2} = \\frac{3}{-12} = -\\frac{1}{4}\\]\n\nPonieważ:\n\\[\\frac{a_1}{a_2} = \\frac{b_1}{b_2} = \\frac{c_1}{c_2} = -\\frac{1}{4}\\]\n\nWszystkie trzy proporcje są **równe** - to oznacza, że równania są **proporcjonalne** (jedno jest wielokrotnością drugiego). Układ jest **nieoznaczony** - ma nieskończenie wiele rozwiązań.\n\n> **Dla przypomnienia:** Gdyby \\(\\frac{a_1}{a_2} = \\frac{b_1}{b_2} \\neq \\frac{c_1}{c_2}\\), układ byłby sprzeczny (brak rozwiązań). Gdyby \\(\\frac{a_1}{a_2} \\neq \\frac{b_1}{b_2}\\), układ miałby dokładnie jedno rozwiązanie.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji układu równań i elementarnych przekształceń równań (dzielenie przez stałą, porównywanie współczynników). To czysto algebraiczne zadanie z podstawówki.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Uczeń widzi dwa różne równania i myśli: \"coś tu nie gra - pewnie układ jest sprzeczny\". Nie sprawdza proporcji wyrazów wolnych. |\n| B | Uczeń próbuje rozwiązać układ metodą podstawiania lub dodawania, ale nie upraszcza drugiego równania - dostaje \\(0 = 0\\) i nie wie, co z tym zrobić, więc zgaduje \"jedno rozwiązanie\". |\n| C | Układ dwóch równań liniowych nigdy nie ma dokładnie dwóch rozwiązań - to niemożliwe geometrycznie (dwie proste albo się przecinają w 1 punkcie, albo są równoległe, albo pokrywają się). Odpowiedź C to pułapka dla nieuważnych. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy przy metodzie dodawania lub podstawiania wychodzi \\(0 = 0\\) - to **nie jest błąd**! To sygnał, że układ ma **nieskończenie wiele rozwiązań** (równania są tożsame). Gdy wychodzi \\(0 = \\text{liczba niezerowa}\\) - to sygnał, że układ jest **sprzeczny** (brak rozwiązań).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze warto uprościć każde równanie przed rozwiązaniem - dzielenie przez wspólny czynnik może od razu zdemaskować, że oba równania są identyczne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź C (dokładnie dwa rozwiązania) jest **zawsze błędna** dla układu dwóch równań liniowych - dwie proste mogą dać co najwyżej 1 punkt wspólny lub nieskończenie wiele (pokrywanie się). Jeśli widzisz C w takim zadaniu - odrzuć od razu.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Proporcjonalność współczynników\nPomnóż pierwsze równanie przez \\(-4\\): \\(-4x + 8y = -12\\) - identyczne z drugim. Równania są liniowo zależne, więc układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.\n\n### Sposób 2 - Wyznacznik\n\\[\\tfrac{1}{-4} = \\tfrac{-2}{8} = \\tfrac{3}{-12} = -\\tfrac{1}{4}.\\]\nWszystkie trzy stosunki równe → układ nieoznaczony (nieskończenie wiele rozwiązań).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A** - sprzeczny dałby różny stosunek wyrazów wolnych.\n- **B** - wymaga niezależnych równań.\n- **C** - układ liniowy nie może mieć dokładnie dwóch rozwiązań.\n\n**Trik:** jeśli jedno równanie jest wielokrotnością drugiego - nieskończenie wiele rozwiązań.","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"Układy równań, uklady_rownan","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 7. (0-1)<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Układ równań {<br>𝑥-2𝑦= 3<br>-4𝑥+ 8𝑦= -12<br>A. nie ma rozwiązań.<br>B. ma dokładnie jedno rozwiązanie.<br>C. ma dokładnie dwa rozwiązania.<br>D. ma nieskończenie wiele rozwiązań.</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Układ równań {x-2y=3; -4x+8y=-12 A. nie ma rozwiązań. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie. C. ma dokładnie dwa rozwiązania. D. ma nieskończenie wiele rozwiązań.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 7. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>IV.1) rozwiązuje układy równań liniowych<br>z dwiema niewiadomymi […].<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>D<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-7.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.</h4>\n<h4>Sposób 1 - Uproszczenie drugiego równania</h4>\n<p>Zauważamy, że drugie równanie wygląda podejrzanie podobnie do pierwszego. Sprawdźmy, co się stanie, gdy je uprościmy.</p>\n<p>Drugie równanie: \\(-4x + 8y = -12\\)</p>\n<p>Podzielmy obie strony przez \\(-4\\):<br>\\[\\frac{-4x + 8y}{-4} = \\frac{-12}{-4}\\]<br>\\[x - 2y = 3\\]</p>\n<p><strong>To dokładnie to samo, co pierwsze równanie!</strong></p>\n<p>Układ wygląda więc tak:<br>\\[\\begin{cases} x - 2y = 3 \\\\ x - 2y = 3 \\end{cases}\\]</p>\n<p>Oba równania opisują <strong>tę samą prostą</strong> na płaszczyźnie. Każdy punkt na tej prostej jest rozwiązaniem układu.</p>\n<p>Prosta ma postać: \\(x = 3 + 2y\\), czyli dla każdego \\(y \\in \\mathbb{R}\\) mamy rozwiązanie:<br>\\[(x, y) = (3 + 2t,\\ t) \\quad \\text{dla dowolnego } t \\in \\mathbb{R}\\]</p>\n<p><strong>Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Metoda wyznacznikowa (Cramera) / analiza współczynników</h4>\n<p>Zapisujemy układ w postaci macierzowej i sprawdzamy proporcje współczynników:<br>\\[\\frac{a_1}{a_2} = \\frac{1}{-4} = -\\frac{1}{4}\\]<br>\\[\\frac{b_1}{b_2} = \\frac{-2}{8} = -\\frac{1}{4}\\]<br>\\[\\frac{c_1}{c_2} = \\frac{3}{-12} = -\\frac{1}{4}\\]</p>\n<p>Ponieważ:<br>\\[\\frac{a_1}{a_2} = \\frac{b_1}{b_2} = \\frac{c_1}{c_2} = -\\frac{1}{4}\\]</p>\n<p>Wszystkie trzy proporcje są <strong>równe</strong> - to oznacza, że równania są <strong>proporcjonalne</strong> (jedno jest wielokrotnością drugiego). Układ jest <strong>nieoznaczony</strong> - ma nieskończenie wiele rozwiązań.</p>\n<blockquote><strong>Dla przypomnienia:</strong> Gdyby \\(\\frac{a_1}{a_2} = \\frac{b_1}{b_2} \\neq \\frac{c_1}{c_2}\\), układ byłby sprzeczny (brak rozwiązań). Gdyby \\(\\frac{a_1}{a_2} \\neq \\frac{b_1}{b_2}\\), układ miałby dokładnie jedno rozwiązanie.</blockquote>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji układu równań i elementarnych przekształceń równań (dzielenie przez stałą, porównywanie współczynników). To czysto algebraiczne zadanie z podstawówki.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A | Uczeń widzi dwa różne równania i myśli: &quot;coś tu nie gra - pewnie układ jest sprzeczny&quot;. Nie sprawdza proporcji wyrazów wolnych. |<br>| B | Uczeń próbuje rozwiązać układ metodą podstawiania lub dodawania, ale nie upraszcza drugiego równania - dostaje \\(0 = 0\\) i nie wie, co z tym zrobić, więc zgaduje &quot;jedno rozwiązanie&quot;. |<br>| C | Układ dwóch równań liniowych nigdy nie ma dokładnie dwóch rozwiązań - to niemożliwe geometrycznie (dwie proste albo się przecinają w 1 punkcie, albo są równoległe, albo pokrywają się). Odpowiedź C to pułapka dla nieuważnych. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Gdy przy metodzie dodawania lub podstawiania wychodzi \\(0 = 0\\) - to <strong>nie jest błąd</strong>! To sygnał, że układ ma <strong>nieskończenie wiele rozwiązań</strong> (równania są tożsame). Gdy wychodzi \\(0 = \\text{liczba niezerowa}\\) - to sygnał, że układ jest <strong>sprzeczny</strong> (brak rozwiązań).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zawsze warto uprościć każde równanie przed rozwiązaniem - dzielenie przez wspólny czynnik może od razu zdemaskować, że oba równania są identyczne.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Odpowiedź C (dokładnie dwa rozwiązania) jest <strong>zawsze błędna</strong> dla układu dwóch równań liniowych - dwie proste mogą dać co najwyżej 1 punkt wspólny lub nieskończenie wiele (pokrywanie się). Jeśli widzisz C w takim zadaniu - odrzuć od razu.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Proporcjonalność współczynników</h5>\n<p>Pomnóż pierwsze równanie przez \\(-4\\): \\(-4x + 8y = -12\\) - identyczne z drugim. Równania są liniowo zależne, więc układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.</p>\n<h5>Sposób 2 - Wyznacznik</h5>\n<p>\\[\\tfrac{1}{-4} = \\tfrac{-2}{8} = \\tfrac{3}{-12} = -\\tfrac{1}{4}.\\]<br>Wszystkie trzy stosunki równe → układ nieoznaczony (nieskończenie wiele rozwiązań).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A</strong> - sprzeczny dałby różny stosunek wyrazów wolnych.</li><li><strong>B</strong> - wymaga niezależnych równań.</li><li><strong>C</strong> - układ liniowy nie może mieć dokładnie dwóch rozwiązań.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> jeśli jedno równanie jest wielokrotnością drugiego - nieskończenie wiele rozwiązań.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, obie równania są tożsame, co oznacza, że każda para $(x, y)$ spełniająca pierwsze równanie również spełnia drugie, prowadząc do nieskończonej liczby rozwiązań.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Drugie równanie jest pierwszym równaniem pomnożonym przez -4 . Oba równania opisują tę samą prostą, dlatego układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.</p>"}]}