{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 różnej od: (-1), 0 i 1, wartość wyrażenia 2𝑥2\n𝑥2-1 ⋅𝑥+1\n𝑥\njest równa wartości wyrażenia\nA. 2𝑥+ 2\nB. 2𝑥\n𝑥-1\nC. 2𝑥\n𝑥2-1\nD. 2𝑥3+1\n𝑥3-1\nDla każdej liczby rzeczywistej x różnej od: (-1), 0 i 1, wartość wyrażenia 2x²/x²-1 ⋅ x+1/x jest równa wartości wyrażenia A. 2x+2 B. 2x/x-1 C. 2x/x²-1 D. 2x³+1/x³-1","answer":"1","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nII.1) stosuje wzory skróconego mnożenia\nna: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2;\nII.5) mnoży […] wyrażenia wymierne.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\((-4)\\)\n\n## Sposób 1 - Analiza ułamka: licznik = 0, mianownik ≠ 0\n\nUłamek jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy **licznik = 0 i mianownik ≠ 0**.\n\n**Krok 1: Wyznacz dziedzinę** (kiedy ułamek ma sens):\n\nMianownik \\(x - 2 \\neq 0\\), więc:\n\\[x \\neq 2\\]\n\n**Krok 2: Przyrównaj licznik do zera:**\n\n\\[3x \\cdot (2x + 8) = 0\\]\n\nIloczyn jest równy zero, gdy któryś z czynników jest zerem:\n\\[3x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad 2x + 8 = 0\\]\n\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad 2x = -8\\]\n\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x = -4\\]\n\n**Krok 3: Sprawdź, czy rozwiązania należą do dziedziny:**\n\n- \\(x = 0\\): mianownik \\(0 - 2 = -2 \\neq 0\\) ✓ - należy do dziedziny\n- \\(x = -4\\): mianownik \\(-4 - 2 = -6 \\neq 0\\) ✓ - należy do dziedziny\n\nOba rozwiązania są poprawne: \\(x = 0\\) i \\(x = -4\\).\n\nSpośród podanych odpowiedzi jedynym rozwiązaniem równania jest **\\(x = -4\\)**.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy każdą odpowiedź, podstawiając do wyrażenia \\(\\dfrac{3x \\cdot (2x+8)}{x-2}\\):\n\n**A. \\(x = -8\\):**\n\\[\\frac{3 \\cdot (-8) \\cdot (2 \\cdot (-8) + 8)}{-8 - 2} = \\frac{(-24) \\cdot (-8)}{-10} = \\frac{192}{-10} = -19{,}2 \\neq 0\\]\n\n**B. \\(x = -4\\):**\n\\[\\frac{3 \\cdot (-4) \\cdot (2 \\cdot (-4) + 8)}{-4 - 2} = \\frac{(-12) \\cdot (0)}{-6} = \\frac{0}{-6} = 0 \\checkmark\\]\n\n**C. \\(x = 2\\):**\n\nMianownik: \\(2 - 2 = 0\\) → wyrażenie **niezdefiniowane**, nie może być rozwiązaniem.\n\n**D. \\(x = 3\\):**\n\\[\\frac{3 \\cdot 3 \\cdot (2 \\cdot 3 + 8)}{3 - 2} = \\frac{9 \\cdot 14}{1} = 126 \\neq 0\\]\n\nTylko \\(x = -4\\) daje wynik zero. **Odpowiedź B.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja ułamka algebraicznego i zasada, że iloczyn jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z czynników jest zerem.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A. \\(-8\\) | Uczeń może pomylić i rozwiązywać \\(2x + 8 = 0\\) jako \\(x = 8\\), a potem wstawić znak minus \"bo coś z minusem\" - błąd mechaniczny |\n| C. \\(2\\) | Uczeń przyrównuje **mianownik** do zera zamiast licznik - \\(x - 2 = 0\\) daje \\(x = 2\\), ale to wyklucza \\(x = 2\\) z dziedziny (dzielenie przez zero!) |\n| D. \\(3\\) | Brak konkretnego błędu rachunkowego; uczeń mógł po prostu nie rozwiązać równania i zgadywać |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(x = 2\\) to odpowiedź-pułapka! Mianownik \\(x - 2 = 0\\) dla \\(x = 2\\), więc wyrażenie jest w ogóle niezdefiniowane - \\(x = 2\\) **nie należy do dziedziny** i nie może być rozwiązaniem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ułamek = 0 oznacza tylko **licznik = 0**, ale zawsze trzeba sprawdzić, czy wartość nie wyklucza się z dziedziny (mianownik ≠ 0).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie \\(3x \\cdot (2x+8) = 0\\) ma **dwa** rozwiązania: \\(x = 0\\) i \\(x = -4\\). Zadanie pyta o \"jedno z rozwiązań\" - nie daj się zaskoczyć, że \\(x = 0\\) nie ma wśród opcji!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Zerowanie licznika\nUłamek równy zero, gdy licznik = 0 i mianownik ≠ 0.\nLicznik: \\(3x(2x+8) = 0 \\Rightarrow x = 0\\) lub \\(x = -4\\).\nMianownik: \\(x - 2 \\ne 0\\), czyli \\(x \\ne 2\\).\nZatem \\(x \\in \\{0, -4\\}\\). Z listy odpowiedzi pasuje \\(-4\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\n\\(x = -4\\): licznik = \\(3\\cdot(-4)\\cdot(-8+8) = 0\\); mianownik = \\(-6 \\ne 0\\). OK.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-8\\)** - licznik = \\(3\\cdot(-8)\\cdot(-8)\\ne 0\\).\n- **C. \\(2\\)** - mianownik = 0 (nie w dziedzinie).\n- **D. \\(3\\)** - licznik \\(\\ne 0\\).\n\n**Trik:** zeruj licznik, kontroluj mianownik.","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"Funkcja wymierna, algebra","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 8. (0-1)<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 różnej od: (-1), 0 i 1, wartość wyrażenia 2𝑥2<br>𝑥2-1 ⋅𝑥+1<br>𝑥<br>jest równa wartości wyrażenia<br>A. 2𝑥+ 2<br>B. 2𝑥<br>𝑥-1<br>C. 2𝑥<br>𝑥2-1<br>D. 2𝑥3+1<br>𝑥3-1<br>Dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od: (-1), 0 i 1, wartość wyrażenia 2x²/x²-1 ⋅ x+1/x jest równa wartości wyrażenia A. 2x+2 B. 2x/x-1 C. 2x/x²-1 D. 2x³+1/x³-1</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 8. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>II.1) stosuje wzory skróconego mnożenia<br>na: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2;<br>II.5) mnoży […] wyrażenia wymierne.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-8.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\((-4)\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Analiza ułamka: licznik = 0, mianownik ≠ 0</h4>\n<p>Ułamek jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy <strong>licznik = 0 i mianownik ≠ 0</strong>.</p>\n<p><strong>Krok 1: Wyznacz dziedzinę</strong> (kiedy ułamek ma sens):</p>\n<p>Mianownik \\(x - 2 \\neq 0\\), więc:<br>\\[x \\neq 2\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Przyrównaj licznik do zera:</strong></p>\n<p>\\[3x \\cdot (2x + 8) = 0\\]</p>\n<p>Iloczyn jest równy zero, gdy któryś z czynników jest zerem:<br>\\[3x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad 2x + 8 = 0\\]<br>\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad 2x = -8\\]<br>\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x = -4\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Sprawdź, czy rozwiązania należą do dziedziny:</strong></p>\n<ul><li>\\(x = 0\\): mianownik \\(0 - 2 = -2 \\neq 0\\) ✓ - należy do dziedziny</li><li>\\(x = -4\\): mianownik \\(-4 - 2 = -6 \\neq 0\\) ✓ - należy do dziedziny</li></ul>\n<p>Oba rozwiązania są poprawne: \\(x = 0\\) i \\(x = -4\\).</p>\n<p>Spośród podanych odpowiedzi jedynym rozwiązaniem równania jest <strong>\\(x = -4\\)</strong>.</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie</h4>\n<p>Sprawdzamy każdą odpowiedź, podstawiając do wyrażenia \\(\\dfrac{3x \\cdot (2x+8)}{x-2}\\):</p>\n<p><strong>A. \\(x = -8\\):</strong><br>\\[\\frac{3 \\cdot (-8) \\cdot (2 \\cdot (-8) + 8)}{-8 - 2} = \\frac{(-24) \\cdot (-8)}{-10} = \\frac{192}{-10} = -19{,}2 \\neq 0\\]</p>\n<p><strong>B. \\(x = -4\\):</strong><br>\\[\\frac{3 \\cdot (-4) \\cdot (2 \\cdot (-4) + 8)}{-4 - 2} = \\frac{(-12) \\cdot (0)}{-6} = \\frac{0}{-6} = 0 \\checkmark\\]</p>\n<p><strong>C. \\(x = 2\\):</strong></p>\n<p>Mianownik: \\(2 - 2 = 0\\) → wyrażenie <strong>niezdefiniowane</strong>, nie może być rozwiązaniem.</p>\n<p><strong>D. \\(x = 3\\):</strong><br>\\[\\frac{3 \\cdot 3 \\cdot (2 \\cdot 3 + 8)}{3 - 2} = \\frac{9 \\cdot 14}{1} = 126 \\neq 0\\]</p>\n<p>Tylko \\(x = -4\\) daje wynik zero. <strong>Odpowiedź B.</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja ułamka algebraicznego i zasada, że iloczyn jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z czynników jest zerem.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A. \\(-8\\) | Uczeń może pomylić i rozwiązywać \\(2x + 8 = 0\\) jako \\(x = 8\\), a potem wstawić znak minus &quot;bo coś z minusem&quot; - błąd mechaniczny |<br>| C. \\(2\\) | Uczeń przyrównuje <strong>mianownik</strong> do zera zamiast licznik - \\(x - 2 = 0\\) daje \\(x = 2\\), ale to wyklucza \\(x = 2\\) z dziedziny (dzielenie przez zero!) |<br>| D. \\(3\\) | Brak konkretnego błędu rachunkowego; uczeń mógł po prostu nie rozwiązać równania i zgadywać |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(x = 2\\) to odpowiedź-pułapka! Mianownik \\(x - 2 = 0\\) dla \\(x = 2\\), więc wyrażenie jest w ogóle niezdefiniowane - \\(x = 2\\) <strong>nie należy do dziedziny</strong> i nie może być rozwiązaniem.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Ułamek = 0 oznacza tylko <strong>licznik = 0</strong>, ale zawsze trzeba sprawdzić, czy wartość nie wyklucza się z dziedziny (mianownik ≠ 0).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Równanie \\(3x \\cdot (2x+8) = 0\\) ma <strong>dwa</strong> rozwiązania: \\(x = 0\\) i \\(x = -4\\). Zadanie pyta o &quot;jedno z rozwiązań&quot; - nie daj się zaskoczyć, że \\(x = 0\\) nie ma wśród opcji!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Zerowanie licznika</h5>\n<p>Ułamek równy zero, gdy licznik = 0 i mianownik ≠ 0.<br>Licznik: \\(3x(2x+8) = 0 \\Rightarrow x = 0\\) lub \\(x = -4\\).<br>Mianownik: \\(x - 2 \\ne 0\\), czyli \\(x \\ne 2\\).<br>Zatem \\(x \\in \\{0, -4\\}\\). Z listy odpowiedzi pasuje \\(-4\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie</h5>\n<p>\\(x = -4\\): licznik = \\(3\\cdot(-4)\\cdot(-8+8) = 0\\); mianownik = \\(-6 \\ne 0\\). OK.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(-8\\)</strong> - licznik = \\(3\\cdot(-8)\\cdot(-8)\\ne 0\\).</li><li><strong>C. \\(2\\)</strong> - mianownik = 0 (nie w dziedzinie).</li><li><strong>D. \\(3\\)</strong> - licznik \\(\\ne 0\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> zeruj licznik, kontroluj mianownik.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów możemy przekształcić dane wyrażenie $\\small \\displaystyle \\frac{2x^2}{x^2 - 1} \\cdot \\frac{x + 1}{x}=\\frac{2x\\cdot x}{(x+1)(x-1)}\\cdot \\frac{(x+1)}{x}.$<br>Po skróceniu otrzymujemy $\\small \\displaystyle \\frac{2x}{x - 1}$ po uproszczeniu, co jest zgodne z podaną odpowiedzią.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>(2x^2)/(x^2-1)·(x+1)/(x)=(2x^2(x+1))/((x-1)(x+1)x)=(2x)/(x-1).</p>"}]}