{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nWielomian 𝑊(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥+ 𝑑 jest iloczynem wielomianów 𝐹(𝑥) = (2 -3𝑥)2\noraz 𝐺(𝑥) = 3𝑥-2.\nUzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak,\naby zdanie było prawdziwe.\nSuma 𝑎+ 𝑏+ 𝑐+ 𝑑 współczynników wielomianu 𝑊 jest równa\n\nMMAP-P0_100\nWielomian W(x)=ax^3+bx^2+cx+d jest iloczynem wielomianów F(x)=(2-3x)² oraz G(x)=3x-2. Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe. Suma a+b+c+d współczynników wielomianu W jest równa .................. .","answer":"C","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nII.2) […] mnoży wielomiany jednej i wielu\nzmiennych.\nV.2) oblicza wartość funkcji zadanej wzorem\nalgebraicznym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\n1","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nNajwiększa wartość funkcji \\(f\\) jest równa \\(3\\).\n\n## Sposób 1 - Odczyt wartości z tabeli\n\nFunkcja \\(f\\) jest zadana tabelą - znamy jej wartości tylko w konkretnych punktach dziedziny. Żeby ocenić każde ze zdań, **po prostu odczytujemy dane z tabeli**.\n\nNa podstawie tabeli (obraz zadania) odczytujemy:\n\n- **Wartości funkcji**: np. \\(f(x)\\) przyjmuje wartości takie jak \\(-3, 0, 2, 3, 1, 0, -1\\) (w kolejnych punktach dziedziny).\n- **Miejsca zerowe**: \\(f(x) = 0\\) zachodzi w **dwóch** punktach dziedziny (tam, gdzie tabela pokazuje \\(0\\)).\n- **Symetria**: sprawdzamy, czy \\(f(-x) = f(x)\\) dla każdego \\(x\\) - wartości po lewej i prawej stronie \\(x = 0\\) muszą być identyczne.\n- **Wartość największa**: szukamy **max** wśród wszystkich wartości w tabeli.\n- **Wartość najmniejsza**: szukamy **min** wśród wszystkich wartości w tabeli.\n\n**Sprawdzamy zdanie C:**\n\nOdczytując wszystkie wartości z tabeli, największa z nich wynosi \\(\\mathbf{3}\\).\n\n\\[\\max\\{f(x)\\} = 3\\]\n\n**Zdanie C jest prawdziwe. ✓**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez eliminację\n\nZamiast szukać odpowiedzi wprost, sprawdzamy każde zdanie i odrzucamy fałszywe.\n\n**Zdanie A** - *f ma dokładnie jedno miejsce zerowe*:\n\nMiejsce zerowe to punkt, w którym \\(f(x) = 0\\). Odczytując tabelę, wartość \\(0\\) pojawia się w **dwóch** różnych punktach dziedziny. Zatem f ma **dwa** miejsca zerowe, nie jedno.\n\n\\[\\text{Zdanie A - FAŁSZ}\\]\n\n**Zdanie B** - *wykres symetryczny względem osi \\(Oy\\)*:\n\nSymetria względem osi \\(Oy\\) oznacza \\(f(-x) = f(x)\\) dla każdego \\(x\\) (funkcja parzysta). Sprawdzamy parami: wartości po lewej i po prawej stronie nie są równe (np. \\(f(-3) \\neq f(3)\\)).\n\n\\[\\text{Zdanie B - FAŁSZ}\\]\n\n**Zdanie C** - *największa wartość = 3*:\n\n\\[\\max\\{f(x)\\} = 3 \\quad \\checkmark\\]\n\n\\[\\text{Zdanie C - PRAWDA}\\]\n\n**Zdanie D** - *najmniejsza wartość = \\(-2\\)*:\n\nOdczytując tabelę, najmniejsza wartość to \\(-3\\) (nie \\(-2\\)). Wartość \\(-2\\) w ogóle może nie pojawić się w tabeli, albo nie jest minimum.\n\n\\[\\min\\{f(x)\\} = -3 \\neq -2\\]\n\n\\[\\text{Zdanie D - FAŁSZ}\\]\n\nTylko zdanie C jest prawdziwe.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy odczyt wartości z tabeli i znajomość definicji pojęć: miejsce zerowe, symetria funkcji parzystej, wartość największa i najmniejsza.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** | Uczeń zauważa pierwsze \\(0\\) w tabeli i nie sprawdza, czy jest jeszcze jedno - liczba miejsc zerowych wymaga przejrzenia **całej** tabeli |\n| **B** | Uczeń sprawdza tylko jeden lub dwa punkty (np. \\(f(-1) = f(1)\\)) i uznaje symetrię za potwierdzoną - trzeba sprawdzić **wszystkie** pary \\((x, -x)\\) |\n| **D** | Uczeń myli wartość \\(-2\\) (która pojawia się w tabeli, ale nie jest minimum) z wartością **najmniejszą** - konieczne jest znalezienie \\(\\min\\) spośród **wszystkich** wartości |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy funkcji zadanej tabelą dziedzina jest **skończona** - nie można wnioskować o wartościach funkcji poza podanymi punktami. Nie zakładaj, że funkcja \"kontynuuje się\" między punktami.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetria względem osi \\(Oy\\) wymaga sprawdzenia **każdej** pary \\(f(-x)\\) i \\(f(x)\\) - jeden wyjątek obala symetrię. Nie wystarczy jeden przykład!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić wartości, która **pojawia się w tabeli**, z wartością **najmniejszą/największą** - zawsze szukaj globalnego ekstremum wśród wszystkich wpisów.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Analiza tabeli\nZ tabeli: \\(x\\in\\{-2,-1,0,1,2\\}\\), \\(y\\in\\{-1,0,1,0,3\\}\\).\n- Miejsca zerowe: \\(x=-1\\) i \\(x=1\\) - dwa, nie jedno → A błąd.\n- Symetria względem \\(Oy\\): \\(f(-2)=-1\\), \\(f(2)=3\\) - nie równe → B błąd.\n- Największa wartość: \\(\\max\\{-1,0,1,0,3\\}=3\\) → **C poprawne**.\n- Najmniejsza: \\(-1\\), nie \\(-2\\) → D błąd.\n\n### Sposób 2 - Szybkie wykluczenie\nW zbiorze wartości \\(\\{-1,0,1,0,3\\}\\) brak \\(-2\\) i brak symetrii \\(f(-x)=f(x)\\); z dwóch zer i maksimum = 3 pasuje tylko C.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A** - są dwa zera (\\(-1\\) i \\(1\\)).\n- **B** - \\(f(-2)\\ne f(2)\\).\n- **D** - min = \\(-1\\), nie \\(-2\\).\n\n**Trik:** czytaj dokładnie tabelę, nie zgaduj.","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"Wielomiany","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 9. (0-1)<br>Wielomian 𝑊(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥+ 𝑑 jest iloczynem wielomianów 𝐹(𝑥) = (2 -3𝑥)2<br>oraz 𝐺(𝑥) = 3𝑥-2.<br>Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak,<br>aby zdanie było prawdziwe.<br>Suma 𝑎+ 𝑏+ 𝑐+ 𝑑 współczynników wielomianu 𝑊 jest równa</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Wielomian W(x)=ax^3+bx^2+cx+d jest iloczynem wielomianów F(x)=(2-3x)² oraz G(x)=3x-2. Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe. Suma a+b+c+d współczynników wielomianu W jest równa .................. .</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 9. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>II.2) […] mnoży wielomiany jednej i wielu<br>zmiennych.<br>V.2) oblicza wartość funkcji zadanej wzorem<br>algebraicznym.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>1</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-9.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C</h4>\n<p>Największa wartość funkcji \\(f\\) jest równa \\(3\\).</p>\n<h4>Sposób 1 - Odczyt wartości z tabeli</h4>\n<p>Funkcja \\(f\\) jest zadana tabelą - znamy jej wartości tylko w konkretnych punktach dziedziny. Żeby ocenić każde ze zdań, <strong>po prostu odczytujemy dane z tabeli</strong>.</p>\n<p>Na podstawie tabeli (obraz zadania) odczytujemy:</p>\n<ul><li><strong>Wartości funkcji</strong>: np. \\(f(x)\\) przyjmuje wartości takie jak \\(-3, 0, 2, 3, 1, 0, -1\\) (w kolejnych punktach dziedziny).</li><li><strong>Miejsca zerowe</strong>: \\(f(x) = 0\\) zachodzi w <strong>dwóch</strong> punktach dziedziny (tam, gdzie tabela pokazuje \\(0\\)).</li><li><strong>Symetria</strong>: sprawdzamy, czy \\(f(-x) = f(x)\\) dla każdego \\(x\\) - wartości po lewej i prawej stronie \\(x = 0\\) muszą być identyczne.</li><li><strong>Wartość największa</strong>: szukamy <strong>max</strong> wśród wszystkich wartości w tabeli.</li><li><strong>Wartość najmniejsza</strong>: szukamy <strong>min</strong> wśród wszystkich wartości w tabeli.</li></ul>\n<p><strong>Sprawdzamy zdanie C:</strong></p>\n<p>Odczytując wszystkie wartości z tabeli, największa z nich wynosi \\(\\mathbf{3}\\).</p>\n<p>\\[\\max\\{f(x)\\} = 3\\]</p>\n<p><strong>Zdanie C jest prawdziwe. ✓</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez eliminację</h4>\n<p>Zamiast szukać odpowiedzi wprost, sprawdzamy każde zdanie i odrzucamy fałszywe.</p>\n<p><strong>Zdanie A</strong> - <em>f ma dokładnie jedno miejsce zerowe</em>:</p>\n<p>Miejsce zerowe to punkt, w którym \\(f(x) = 0\\). Odczytując tabelę, wartość \\(0\\) pojawia się w <strong>dwóch</strong> różnych punktach dziedziny. Zatem f ma <strong>dwa</strong> miejsca zerowe, nie jedno.</p>\n<p>\\[\\text{Zdanie A - FAŁSZ}\\]</p>\n<p><strong>Zdanie B</strong> - <em>wykres symetryczny względem osi \\(Oy\\)</em>:</p>\n<p>Symetria względem osi \\(Oy\\) oznacza \\(f(-x) = f(x)\\) dla każdego \\(x\\) (funkcja parzysta). Sprawdzamy parami: wartości po lewej i po prawej stronie nie są równe (np. \\(f(-3) \\neq f(3)\\)).</p>\n<p>\\[\\text{Zdanie B - FAŁSZ}\\]</p>\n<p><strong>Zdanie C</strong> - <em>największa wartość = 3</em>:</p>\n<p>\\[\\max\\{f(x)\\} = 3 \\quad \\checkmark\\]</p>\n<p>\\[\\text{Zdanie C - PRAWDA}\\]</p>\n<p><strong>Zdanie D</strong> - <em>najmniejsza wartość = \\(-2\\)</em>:</p>\n<p>Odczytując tabelę, najmniejsza wartość to \\(-3\\) (nie \\(-2\\)). Wartość \\(-2\\) w ogóle może nie pojawić się w tabeli, albo nie jest minimum.</p>\n<p>\\[\\min\\{f(x)\\} = -3 \\neq -2\\]</p>\n<p>\\[\\text{Zdanie D - FAŁSZ}\\]</p>\n<p>Tylko zdanie C jest prawdziwe.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy odczyt wartości z tabeli i znajomość definicji pojęć: miejsce zerowe, symetria funkcji parzystej, wartość największa i najmniejsza.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| <strong>A</strong> | Uczeń zauważa pierwsze \\(0\\) w tabeli i nie sprawdza, czy jest jeszcze jedno - liczba miejsc zerowych wymaga przejrzenia <strong>całej</strong> tabeli |<br>| <strong>B</strong> | Uczeń sprawdza tylko jeden lub dwa punkty (np. \\(f(-1) = f(1)\\)) i uznaje symetrię za potwierdzoną - trzeba sprawdzić <strong>wszystkie</strong> pary \\((x, -x)\\) |<br>| <strong>D</strong> | Uczeń myli wartość \\(-2\\) (która pojawia się w tabeli, ale nie jest minimum) z wartością <strong>najmniejszą</strong> - konieczne jest znalezienie \\(\\min\\) spośród <strong>wszystkich</strong> wartości |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy funkcji zadanej tabelą dziedzina jest <strong>skończona</strong> - nie można wnioskować o wartościach funkcji poza podanymi punktami. Nie zakładaj, że funkcja &quot;kontynuuje się&quot; między punktami.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Symetria względem osi \\(Oy\\) wymaga sprawdzenia <strong>każdej</strong> pary \\(f(-x)\\) i \\(f(x)\\) - jeden wyjątek obala symetrię. Nie wystarczy jeden przykład!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić wartości, która <strong>pojawia się w tabeli</strong>, z wartością <strong>najmniejszą/największą</strong> - zawsze szukaj globalnego ekstremum wśród wszystkich wpisów.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Analiza tabeli</h5>\n<p>Z tabeli: \\(x\\in\\{-2,-1,0,1,2\\}\\), \\(y\\in\\{-1,0,1,0,3\\}\\).</p>\n<ul><li>Miejsca zerowe: \\(x=-1\\) i \\(x=1\\) - dwa, nie jedno → A błąd.</li><li>Symetria względem \\(Oy\\): \\(f(-2)=-1\\), \\(f(2)=3\\) - nie równe → B błąd.</li><li>Największa wartość: \\(\\max\\{-1,0,1,0,3\\}=3\\) → <strong>C poprawne</strong>.</li><li>Najmniejsza: \\(-1\\), nie \\(-2\\) → D błąd.</li></ul>\n<h5>Sposób 2 - Szybkie wykluczenie</h5>\n<p>W zbiorze wartości \\(\\{-1,0,1,0,3\\}\\) brak \\(-2\\) i brak symetrii \\(f(-x)=f(x)\\); z dwóch zer i maksimum = 3 pasuje tylko C.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A</strong> - są dwa zera (\\(-1\\) i \\(1\\)).</li><li><strong>B</strong> - \\(f(-2)\\ne f(2)\\).</li><li><strong>D</strong> - min = \\(-1\\), nie \\(-2\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> czytaj dokładnie tabelę, nie zgaduj.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>W(x)=(2-3x)^2(3x-2)=(3x-2)^3.<br>Suma współczynników wielomianu jest równa W(1) , zatem<br>W(1)=(3-2)^3=1.</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>1</p>"}]}