{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"1","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-2)\nW chwili początkowej (𝑡= 0) zainicjowano pewną reakcję chemiczną, w której brał udział\nzwiązek A.\nW wyniku tej reakcji masa 𝑚 związku A zmieniała się w czasie zgodnie z zależnością\n𝑚(𝑡) = 𝑎⋅2-0,05⋅𝑡+ 𝑏 dla 𝑡≥0\ngdzie:\n𝑚 - masa związku A wyrażona w gramach,\n𝑡\n- czas wyrażony w sekundach (liczony od chwili 𝑡= 0),\n𝑎, 𝑏 - współczynniki liczbowe.\nMasa początkowa związku A (tj. masa w chwili 𝑡= 0) była równa 𝑚0 gramów.\nPo osiągnięciu stanu równowagi (tj. gdy 𝑡→∞) masa tego związku była równa 1\n9 jego\nmasy początkowej (zobacz rysunek).\nOblicz, po ilu sekundach (licząc od chwili zainicjowania tej reakcji) przereagowało\n𝟖𝟕, 𝟓 % masy początkowej tego związku. Zapisz obliczenia.\n𝑡\n0\n𝑚0\n𝑚\n1\n9 𝑚0\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nW chwili początkowej (t=0) zainicjowano pewną reakcję chemiczną, w której brał udział związek A. W wyniku tej reakcji masa m związku A zmieniała się w czasie zgodnie z zależnością m(t) = a⋅2^(-0,05⋅t) + b dla t≥0 gdzie: m - masa związku A wyrażona w gramach, t - czas wyrażony w sekundach (liczony od chwili t=0), a,b - współczynniki liczbowe. Masa początkowa związku A (tj. masa w chwili t=0) była równa m_0 gramów. Po osiągnięciu stanu równowagi (tj. gdy t→∞) masa tego związku była równa 1/9 jego masy początkowej (zobacz rysunek). [rysunek] Oblicz, po ilu sekundach (licząc od chwili zainicjowania tej reakcji) przereagowało 87,5% masy początkowej tego związku. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 1. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 20241\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.13) posługuje się funkcjami wykładniczą\ni logarytmiczną, w tym ich wykresami, do\nopisu i interpretacji zagadnień związanych\nz zastosowaniami praktycznymi.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 120 sekund.\n1 pkt - wyznaczenie współczynnika 𝑏: 𝑏= 1\n9 𝑚0\nALBO\n- zapisanie związku 𝑎+ 𝑏= 𝑚0 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPonieważ po osiągnięciu stanu równowagi masa związku A była równa 1\n9 𝑚0 , więc\n1\n9 𝑚0 = lim\n𝑡→+∞𝑚(𝑡) = lim\n𝑡→+∞𝑎⋅2-0,05⋅𝑡+ 𝑏= 0 + 𝑏= 𝑏\nStąd i z warunku 𝑚(0) = 𝑚0 otrzymujemy\n𝑚0 = 𝑎⋅2-0,05⋅0 + 1\n9 𝑚0\nczyli 𝑎= 8\n9 𝑚0 .\nObliczamy czas, po którym pozostało 12,5% początkowej masy związku A:\n1Rozporządzenie Ministra Edukacji i Nauki z dnia 10 czerwca 2022 r. w sprawie wymagań egzaminacyjnych dla\negzaminu maturalnego przeprowadzanego w roku szkolnym 2022/2023 i 2023/2024 (Dz.U. poz. 1246).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n1\n8 𝑚0 = 8\n9 𝑚0 ⋅2-0,05⋅𝑡+ 1\n9 𝑚0 /: 𝑚0\n1\n72 = 8\n9 ⋅2-0,05⋅𝑡\n2-6 = 2-0,05⋅𝑡\n6 = 0,05𝑡\n𝑡= 120\nZatem po 120 sekundach przereaguje 87,5% masy początkowej związku A.","solution":"$120$ sekund","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-1.svg","topics":"wykladnicza","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 1. (0-2)
W chwili początkowej (𝑡= 0) zainicjowano pewną reakcję chemiczną, w której brał udział
związek A.
W wyniku tej reakcji masa 𝑚 związku A zmieniała się w czasie zgodnie z zależnością
𝑚(𝑡) = 𝑎⋅2-0,05⋅𝑡+ 𝑏 dla 𝑡≥0
gdzie:
𝑚 - masa związku A wyrażona w gramach,
𝑡

\n\n

𝑎, 𝑏 - współczynniki liczbowe.
Masa początkowa związku A (tj. masa w chwili 𝑡= 0) była równa 𝑚0 gramów.
Po osiągnięciu stanu równowagi (tj. gdy 𝑡→∞) masa tego związku była równa 1
9 jego
masy początkowej (zobacz rysunek).
Oblicz, po ilu sekundach (licząc od chwili zainicjowania tej reakcji) przereagowało
𝟖𝟕, 𝟓 % masy początkowej tego związku. Zapisz obliczenia.
𝑡
0
𝑚0
𝑚
1
9 𝑚0

\n

MMAP-R0_100

\n

MMAP-R0_100
W chwili początkowej (t=0) zainicjowano pewną reakcję chemiczną, w której brał udział związek A. W wyniku tej reakcji masa m związku A zmieniała się w czasie zgodnie z zależnością m(t) = a⋅2^(-0,05⋅t) + b dla t≥0 gdzie: m - masa związku A wyrażona w gramach, t - czas wyrażony w sekundach (liczony od chwili t=0), a,b - współczynniki liczbowe. Masa początkowa związku A (tj. masa w chwili t=0) była równa m_0 gramów. Po osiągnięciu stanu równowagi (tj. gdy t→∞) masa tego związku była równa 1/9 jego masy początkowej (zobacz rysunek). [rysunek] Oblicz, po ilu sekundach (licząc od chwili zainicjowania tej reakcji) przereagowało 87,5% masy początkowej tego związku. Zapisz obliczenia.

","answer_text_html":"

Zadanie 1. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 20241
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.

\n
  1. Interpretowanie i operowanie
\n

informacjami przedstawionymi w tekście,
zarówno matematycznym, jak
i popularnonaukowym, a także w formie
wykresów, diagramów, tabel.
Zdający:
V.13) posługuje się funkcjami wykładniczą
i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do
opisu i interpretacji zagadnień związanych
z zastosowaniami praktycznymi.
Zasady oceniania
2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 120 sekund.
1 pkt - wyznaczenie współczynnika 𝑏: 𝑏= 1
9 𝑚0
ALBO

\n\n

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Ponieważ po osiągnięciu stanu równowagi masa związku A była równa 1
9 𝑚0 , więc
1
9 𝑚0 = lim
𝑡→+∞𝑚(𝑡) = lim
𝑡→+∞𝑎⋅2-0,05⋅𝑡+ 𝑏= 0 + 𝑏= 𝑏
Stąd i z warunku 𝑚(0) = 𝑚0 otrzymujemy
𝑚0 = 𝑎⋅2-0,05⋅0 + 1
9 𝑚0
czyli 𝑎= 8
9 𝑚0 .
Obliczamy czas, po którym pozostało 12,5% początkowej masy związku A:
1Rozporządzenie Ministra Edukacji i Nauki z dnia 10 czerwca 2022 r. w sprawie wymagań egzaminacyjnych dla
egzaminu maturalnego przeprowadzanego w roku szkolnym 2022/2023 i 2023/2024 (Dz.U. poz. 1246).
Zasady oceniania rozwiązań zadań
1
8 𝑚0 = 8
9 𝑚0 ⋅2-0,05⋅𝑡+ 1
9 𝑚0 /: 𝑚0
1
72 = 8
9 ⋅2-0,05⋅𝑡
2-6 = 2-0,05⋅𝑡
6 = 0,05𝑡
𝑡= 120
Zatem po 120 sekundach przereaguje 87,5% masy początkowej związku A.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-1.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$120$ sekund

"}]}