{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-4)\nDługość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 𝑎.\nSinus kąta między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka\ngraniastosłupa jest równy\n√11\n6 .\nWyznacz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nDługość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa a. Sinus kąta między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka graniastosłupa jest równy √11/6. Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nX.3) rozpoznaje w graniastosłupach […]\nkąty między odcinkami (np. krawędziami,\nkrawędziami i przekątnymi), oblicza miary\ntych kątów;\nX.4) oblicza […] pola powierzchni\ngraniastosłupów […], również\nz wykorzystaniem trygonometrii i poznanych\ntwierdzeń.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik:\n√3𝑎2\n2\n+ 3√2𝑎2 .\n3 pkt - wyznaczenie wysokości graniastosłupa: 𝑎√2.\n2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą (wysokością graniastosłupa), np.\n(𝐻2 + 𝑎2) + (𝐻2 + 𝑎2) -2 ⋅√𝐻2 + 𝑎2 ⋅√𝐻2 + 𝑎2 ⋅5\n6 = 𝑎2\n1 pkt - obliczenie cosinusa kąta 𝛼: 5\n6\nALBO\n- zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐹 i zapisanie równania\n|𝐴𝐹|2 + |𝐵𝐹|2 -2 ⋅|𝐴𝐹| ⋅|𝐵𝐹| ⋅cos 𝛼= 𝑎2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\n𝛼\n𝑎\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\nOznaczmy ponadto przez 𝐻 wysokość graniastosłupa.\nKorzystamy z tożsamości sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1 i obliczamy cos 𝛼:\n(√11\n6 )\n2\n+ cos2 𝛼= 1\ncos2 𝛼= 25\n36\nwięc cos 𝛼= 5\n6 , gdyż 𝛼 jest kątem ostrym.\nStosujemy do trójkąta 𝐴𝐵𝐹 twierdzenie cosinusów, a następnie korzystamy z twierdzenia\nPitagorasa i otrzymujemy:\n|𝐴𝐹|2 + |𝐵𝐹|2 -2 ⋅|𝐴𝐹| ⋅|𝐵𝐹| ⋅cos 𝛼= 𝑎2\n(𝐻2 + 𝑎2) + (𝐻2 + 𝑎2) -2 ⋅√𝐻2 + 𝑎2 ⋅√𝐻2 + 𝑎2 ⋅5\n6 = 𝑎2\n1\n3 ⋅(𝐻2 + 𝑎2) = 𝑎2\n𝐻= 𝑎√2\nObliczamy pole 𝑃 powierzchni całkowitej graniastosłupa:\n𝑃= 2 ⋅𝑎2√3\n4\n+ 3 ⋅𝑎⋅𝑎√2 = √3𝑎2\n2\n+ 3√2𝑎2\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$\\dfrac{\\sqrt{3}a^2}{2} + 3\\sqrt{2}a^2$","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":"stereometria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 10. (0-4)<br>Długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 𝑎.<br>Sinus kąta między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka<br>graniastosłupa jest równy<br>√11<br>6 .<br>Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.</p>\n<p>MMAP-R0_100</p>\n<p>MMAP-R0_100<br>Długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa a. Sinus kąta między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka graniastosłupa jest równy √11/6. Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 10. (0-4)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>X.3) rozpoznaje w graniastosłupach […]<br>kąty między odcinkami (np. krawędziami,<br>krawędziami i przekątnymi), oblicza miary<br>tych kątów;<br>X.4) oblicza […] pola powierzchni<br>graniastosłupów […], również<br>z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych<br>twierdzeń.<br>Zasady oceniania<br>4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik:<br>√3𝑎2<br>2</p>\n<ul><li>3√2𝑎2 .</li></ul>\n<p>3 pkt - wyznaczenie wysokości graniastosłupa: 𝑎√2.<br>2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą (wysokością graniastosłupa), np.<br>(𝐻2 + 𝑎2) + (𝐻2 + 𝑎2) -2 ⋅√𝐻2 + 𝑎2 ⋅√𝐻2 + 𝑎2 ⋅5<br>6 = 𝑎2<br>1 pkt - obliczenie cosinusa kąta 𝛼: 5<br>6<br>ALBO</p>\n<ul><li>zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐹 i zapisanie równania</li></ul>\n<p>|𝐴𝐹|2 + |𝐵𝐹|2 -2 ⋅|𝐴𝐹| ⋅|𝐵𝐹| ⋅cos 𝛼= 𝑎2.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.<br>𝛼<br>𝑎<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷<br>𝐸<br>𝐹<br>Oznaczmy ponadto przez 𝐻 wysokość graniastosłupa.<br>Korzystamy z tożsamości sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1 i obliczamy cos 𝛼:<br>(√11<br>6 )<br>2</p>\n<ul><li>cos2 𝛼= 1</li></ul>\n<p>cos2 𝛼= 25<br>36<br>więc cos 𝛼= 5<br>6 , gdyż 𝛼 jest kątem ostrym.<br>Stosujemy do trójkąta 𝐴𝐵𝐹 twierdzenie cosinusów, a następnie korzystamy z twierdzenia<br>Pitagorasa i otrzymujemy:<br>|𝐴𝐹|2 + |𝐵𝐹|2 -2 ⋅|𝐴𝐹| ⋅|𝐵𝐹| ⋅cos 𝛼= 𝑎2<br>(𝐻2 + 𝑎2) + (𝐻2 + 𝑎2) -2 ⋅√𝐻2 + 𝑎2 ⋅√𝐻2 + 𝑎2 ⋅5<br>6 = 𝑎2<br>1<br>3 ⋅(𝐻2 + 𝑎2) = 𝑎2<br>𝐻= 𝑎√2<br>Obliczamy pole 𝑃 powierzchni całkowitej graniastosłupa:<br>𝑃= 2 ⋅𝑎2√3<br>4</p>\n<ul><li>3 ⋅𝑎⋅𝑎√2 = √3𝑎2</li></ul>\n<p>2</p>\n<ul><li>3√2𝑎2</li></ul>\n<p>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-10.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$\\dfrac{\\sqrt{3}a^2}{2} + 3\\sqrt{2}a^2$</p>"}]}