Zadanie 12. (0-6)
Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których równanie
(𝟑-𝒎) ⋅𝒙𝟐+ (𝒎+ 𝟏) ⋅𝒙-(𝒎+ 𝟏)𝟐= 𝟎
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 spełniające warunek
𝒙𝟏
𝟐+ 𝒙𝟐
𝟐= 𝒙𝟏⋅𝒙𝟐+ 𝟕
Zapisz obliczenia.
MMAP-R0_100
\nMMAP-R0_100
\nMMAP-R0_100
\nMMAP-R0_100
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie (3-m)⋅x² + (m+1)⋅x - (m+1)² = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x_1, x_2 spełniające warunek x_1²+x_2² = x_1⋅x_2 + 7. Zapisz obliczenia.
Zadanie 12. (0-6)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
matematycznych na podstawie istniejących,
w celu przeprowadzenia argumentacji lub
rozwiązania problemu.
Zdający:
III.R3) stosuje wzory Viète’a dla równań
kwadratowych;
III.R5) analizuje równania i nierówności
liniowe z parametrami oraz równania
i nierówności kwadratowe z parametrami,
w szczególności wyznacza liczbę rozwiązań
w zależności od parametrów, podaje
warunki, przy których rozwiązania mają
żądaną własność, i wyznacza rozwiązania
w zależności od parametrów.
Zasady oceniania
Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.
Pierwszy etap polega na zapisaniu warunku ∆> 0 w postaci nierówności z niewiadomą 𝑚
i rozwiązaniu tej nierówności. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje
1 punkt.
1 pkt - zapisanie warunku ∆> 0 w postaci nierówności z niewiadomą 𝑚 i rozwiązanie tej
nierówności: (𝑚+ 1)2 + 4 ⋅(3 -𝑚) ⋅(𝑚+ 1)2 > 0 oraz
𝑚∈(-∞, -1) ∪(-1, 13
4 ).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆≥0, to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów.
Drugi etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony
warunek 𝑥1
2 + 𝑥2
2 = 𝑥1 ⋅𝑥2 + 7. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje
4 punkty.
Podział punktów za drugi etap rozwiązania:
4 pkt - wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony warunek
𝑥1
2 + 𝑥2
2 = 𝑥1 ⋅𝑥2 + 7: 1, -3-2√42
3
, -3+2√42
3
3 pkt - zapisanie równania z niewiadomą 𝑚 w postaci -3𝑚3-3𝑚2+59𝑚-53
(3-𝑚)2
= 0 lub
3𝑚3 + 3𝑚2 -59𝑚+ 53 = 0 oraz wyznaczenie jednego z rozwiązań tego równania
(np. 𝑚= 1) i podzielenie wielomianu 3𝑚3 + 3𝑚2 -59𝑚+ 53 przez odpowiedni
dwumian, np. (3𝑚3 + 3𝑚2 -59𝑚+ 53): (𝑚-1) = 3𝑚2 + 6𝑚-53
ALBO
(3-𝑚)2
= 0 lub
3𝑚3 + 3𝑚2 -59𝑚+ 53 = 0 oraz zastosowanie metody grupowania i zapisanie
wielomianu 3𝑚3 + 3𝑚2 -59𝑚+ 53 w postaci iloczynu co najmniej dwóch
wielomianów stopni dodatnich, np. (𝑚-1)(3𝑚2 + 6𝑚-53).
2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑚, wynikającego z warunku
𝑥1
2 + 𝑥2
2 = 𝑥1 ⋅𝑥2 + 7, np. (-𝑚+1
3-𝑚)
2
-2 ⋅-(𝑚+1)2
3-𝑚
= -(𝑚+1)2
3-𝑚
1 pkt - przekształcenie warunku 𝑥1
2 + 𝑥2
2 = 𝑥1 ⋅𝑥2 + 7 do postaci pozwalającej na
bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np. (𝑥1 + 𝑥2)2 -2𝑥1𝑥2 = 𝑥1𝑥2 + 7.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Trzeci etap polega na zapisaniu warunku 3 -𝑚≠0 oraz wyznaczeniu wszystkich
wartości parametru 𝑚, które spełniają jednocześnie warunki: 3 -𝑚≠0 i Δ > 0,
i (𝑥1 + 𝑥2)2 -2𝑥1𝑥2 = 𝑥1𝑥2 + 7.
Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
1 pkt - zapisanie warunku 3 -𝑚≠0 i poprawne wyznaczenie wszystkich wartości
parametru 𝑚, które spełniają jednocześnie warunki 3 -𝑚≠0 i Δ > 0,
i (𝑥1 + 𝑥2)2 -2𝑥1𝑥2 = 𝑥1𝑥2 + 7: 1, -3-2√42
3
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
I etap
Równanie (3 -𝑚)𝑥2 + (𝑚+ 1)𝑥-(𝑚+ 1)2 = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste
tylko wtedy, gdy 3 -𝑚≠0 i wyróżnik trójmianu (3 -𝑚)𝑥2 + (𝑚+ 1)𝑥-(𝑚+ 1)2 jest
dodatni. Rozwiązujemy warunek ∆> 0:
(𝑚+ 1)2 + 4 ∙(3 -𝑚)(𝑚+ 1)2 > 0
(𝑚+ 1)2[1 + 4 ⋅(3 -𝑚)] > 0
(𝑚+ 1)2 ⋅(13 -4𝑚) > 0
-4 ⋅(𝑚+ 1)2 ⋅(𝑚-13
4 ) > 0
𝑚∈(-∞, -1) ∪(-1, 13
4 )
II etap
Sposób I
Wyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony warunek
𝑥1
2 + 𝑥2
2 = 𝑥1𝑥2 + 7, korzystając ze wzorów Viète’a:
(𝑥1 + 𝑥2)2 -2𝑥1𝑥2 = 𝑥1𝑥2 + 7
Zasady oceniania rozwiązań zadań
(-𝑚+ 1
3 -𝑚)
2
-2 ⋅-(𝑚+ 1)2
3 -𝑚
= -(𝑚+ 1)2
3 -𝑚
(𝑚+ 1
𝑚-3)
2
-3 ⋅
(𝑚+ 1)2
𝑚-3
-7 = 0
(𝑚+ 1)2 -3 ⋅(𝑚+ 1)2(𝑚-3) -7(𝑚-3)2
(𝑚-3)2
= 0
𝑚2 + 2𝑚+ 1 -3(𝑚2 + 2𝑚+ 1)(𝑚-3) -7(𝑚2 -6𝑚+ 9) = 0 ∧ 𝑚≠3
-3𝑚3 -3𝑚2 + 59𝑚-53 = 0 ∧ 𝑚≠3
-3𝑚3 + 3𝑚-3𝑚2 + 3𝑚+ 53𝑚-53 = 0 ∧ 𝑚≠3
-3𝑚(𝑚2 -1) -3𝑚(𝑚-1) + 53(𝑚-1) = 0 ∧ 𝑚≠3
(𝑚-1)[-3𝑚(𝑚+ 1) -3𝑚+ 53] = 0 ∧ 𝑚≠3
(𝑚-1)[-3𝑚2 -6𝑚+ 53] = 0 ∧ 𝑚≠3
(𝑚= 1 ∨ 𝑚= -3 -2√42
3
∨ 𝑚= -3 + 2√42
3
) ∧ 𝑚≠3
𝑚= 1 ∨ 𝑚= -3 -2√42
3
∨ 𝑚= -3 + 2√42
3
Sposób II
Wyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony warunek
𝑥1
2 + 𝑥2
2 = 𝑥1𝑥2 + 7, korzystając ze wzorów Viète’a:
(𝑥1 + 𝑥2)2 -2𝑥1𝑥2 = 𝑥1𝑥2 + 7
(-𝑚+ 1
3 -𝑚)
2
-2 ⋅-(𝑚+ 1)2
3 -𝑚
= -(𝑚+ 1)2
3 -𝑚
(𝑚+ 1
𝑚-3)
2
-3 ⋅(𝑚+ 1)2
𝑚-3
-7 = 0
(𝑚+ 1)2 -3 ⋅(𝑚+ 1)2(𝑚-3) -7(𝑚-3)2
(𝑚-3)2
= 0
𝑚2 + 2𝑚+ 1 -3(𝑚2 + 2𝑚+ 1)(𝑚-3) -7(𝑚2 -6𝑚+ 9) = 0 ∧ 𝑚≠3
-3𝑚3 -3𝑚2 + 59𝑚-53 = 0 ∧ 𝑚≠3
Zauważamy, że liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu -3𝑚3 -3𝑚2 + 59𝑚-53.
Dzielimy wielomian -3𝑚3 -3𝑚2 + 59𝑚-53 przez dwumian 𝑚-1. Dzielenie to
możemy wykonać, korzystając np. z algorytmu Hornera
-3
-3
59
-53
1
-3
-6
53
0
Otrzymujemy (𝑚-1)(-3𝑚2 -6𝑚+ 53) = 0. Stąd 𝑚= 1 lub 𝑚= -3-2√42
3
, lub
𝑚= -3+2√42
3
III etap
Wyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚≠3, które jednocześnie spełniają warunki
𝑚∈(-∞, -1) ∪(-1, 13
4 ) oraz 𝑚∈{1, -3-2√42
3
, -3+2√42
3
}: 𝑚∈{1, -3-2√42
3
}.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
$m \\in \\left\\{1, \\dfrac{-3-2\\sqrt{42}}{3}\\right\\}$
"}]}