{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/13.1","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"13.1","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13.1. (0-2)\nWykaż, że objętość 𝑽 każdego z takich ostrosłupów w zależności od długości 𝑹\npromienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest określona wzorem\n𝑽(𝑹) = √𝟑\n𝟒⋅(𝟔𝑹𝟐-𝑹𝟑)\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13.1. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nX.4) oblicza objętości i pola powierzchni\ngraniastosłupów i ostrosłupów, również\nz wykorzystaniem trygonometrii i poznanych\ntwierdzeń.\nZasady oceniania\n2 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n1 pkt - wyznaczenie pola 𝑃𝑝 podstawy ostrosłupa w zależności od promienia 𝑅 okręgu\nopisanego na podstawie: 𝑃𝑝=\n(𝑅√3)\n2⋅ √3\n4\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝐴, 𝐵, 𝐶 - wierzchołki podstawy ostrosłupa,\n𝑆 - wierzchołek ostrosłupa,\n𝐻 - wysokość ostrosłupa poprowadzona z wierzchołka 𝑆 na płaszczyznę podstawy 𝐴𝐵𝐶,\n𝑎 - długość krawędzi podstawy ostrosłupa.\nPodstawa 𝐴𝐵𝐶 ostrosłupa jest trójkątem równobocznym, więc promień 𝑅 okręgu\nopisanego na podstawie jest równy 𝑅= 𝑎√3\n3 . Stąd 𝑎= 𝑅√3. Zatem pole 𝑃𝑝 podstawy\njest równe 𝑃𝑝=\n(𝑅√3)\n2⋅ √3\n4\n= 3√3𝑅2\n4\nPonieważ 𝐻+ 𝑅= 6, więc 𝐻= 6 -𝑅.\nWyznaczamy objętość 𝑉 ostrosłupa w zależności od 𝑅:\n𝑉= 1\n3 ⋅3√3𝑅2\n4\n⋅(6 -𝑅) = √3\n4 ⋅(6𝑅2 -𝑅3)","solution":"$V = \\dfrac{\\sqrt{3}}{4} \\cdot (6R^2 - R^3)$","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-13.1.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 13.1. (0-2)
Wykaż, że objętość 𝑽 każdego z takich ostrosłupów w zależności od długości 𝑹
promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest określona wzorem
𝑽(𝑹) = √𝟑
𝟒⋅(𝟔𝑹𝟐-𝑹𝟑)

\n

MMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 13.1. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Przeprowadzanie rozumowań, także
\n

kilkuetapowych, podawanie argumentów
uzasadniających poprawność rozumowania,
odróżnianie dowodu od przykładu.
Zdający:
X.4) oblicza objętości i pola powierzchni
graniastosłupów i ostrosłupów, również
z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych
twierdzeń.
Zasady oceniania
2 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania.
1 pkt - wyznaczenie pola 𝑃𝑝 podstawy ostrosłupa w zależności od promienia 𝑅 okręgu
opisanego na podstawie: 𝑃𝑝=
(𝑅√3)
2⋅ √3
4
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Przyjmijmy następujące oznaczenia:
𝐴, 𝐵, 𝐶 - wierzchołki podstawy ostrosłupa,
𝑆 - wierzchołek ostrosłupa,
𝐻 - wysokość ostrosłupa poprowadzona z wierzchołka 𝑆 na płaszczyznę podstawy 𝐴𝐵𝐶,
𝑎 - długość krawędzi podstawy ostrosłupa.
Podstawa 𝐴𝐵𝐶 ostrosłupa jest trójkątem równobocznym, więc promień 𝑅 okręgu
opisanego na podstawie jest równy 𝑅= 𝑎√3
3 . Stąd 𝑎= 𝑅√3. Zatem pole 𝑃𝑝 podstawy
jest równe 𝑃𝑝=
(𝑅√3)
2⋅ √3
4
= 3√3𝑅2
4
Ponieważ 𝐻+ 𝑅= 6, więc 𝐻= 6 -𝑅.
Wyznaczamy objętość 𝑉 ostrosłupa w zależności od 𝑅:
𝑉= 1
3 ⋅3√3𝑅2
4
⋅(6 -𝑅) = √3
4 ⋅(6𝑅2 -𝑅3)

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$V = \\dfrac{\\sqrt{3}}{4} \\cdot (6R^2 - R^3)$

"}]}