Zadanie 13.2. (0-4)
Objętość 𝑉 ostrosłupa w zależności od długości 𝑅 promienia okręgu opisanego na
podstawie ostrosłupa jest określona wzorem
𝑉(𝑅) = √3
4 ⋅(6𝑅2 -𝑅3)
dla 𝑅∈(0, 6).
Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na podstawie tego z rozważanych
ostrosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość. Zapisz
obliczenia.
MMAP-R0_100
\nMMAP-R0_100
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
MMAP-R0_100
\nMMAP-R0_100
\nMATEMATYKA
Poziom rozszerzony
Formuła 2023
MATEMATYKA
Poziom rozszerzony
Formuła 2023
MATEMATYKA
Poziom rozszerzony
Formuła 2023
Objętość V ostrosłupa w zależności od długości R promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest określona wzorem V(R) = √3/4⋅(6R^2-R^3) dla R∈(0,6). Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na podstawie tego z rozważanych ostrosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość. Zapisz obliczenia.
Zadanie 13.2. (0-4)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.
rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Zdający:
XIII.R3) oblicza pochodną funkcji potęgowej
o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza
pochodną, korzystając z twierdzeń
o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu
i ilorazu;
XIII.R4) stosuje pochodną do badania
monotoniczności funkcji;
XIII.R5) rozwiązuje zadania optymalizacyjne
z zastosowaniem pochodnej.
Zasady oceniania
4 pkt - uzasadnienie, że funkcja 𝑉 przyjmuje wartość największą dla 𝑅= 4 i obliczenie
wartości największej funkcji 𝑉: 8√3.
3 pkt - uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja 𝑉 przyjmuje
wartość największą dla 𝑅= 4
ALBO
3
≥√𝑅⋅𝑅⋅(12 -2𝑅)
3
do postaci
√3
8 ⋅64 ≥
√3
4 ⋅(6𝑅2 -𝑅3) oraz zapisanie, że równość zachodzi tylko wtedy, gdy
liczby 𝑅 oraz 12 -2𝑅 są równe.
2 pkt - obliczenie miejsc zerowych pochodnej funkcji 𝑉: 𝑅= 4
ALBO
i geometrycznej liczb dodatnich 𝑅, 𝑅 oraz 12 -2𝑅: 𝑅= 4,
ALBO
3
≥√𝑅⋅𝑅⋅(12 -2𝑅)
3
do postaci
√3
8 ⋅64 ≥
√3
4 ⋅(6𝑅2 -𝑅3).
1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑉: 𝑉′(𝑅) =
√3
4 ⋅(12𝑅-3𝑅2)
ALBO
12 -2𝑅: 𝑅+𝑅+12-2𝑅
3
≥√𝑅⋅𝑅⋅(12 -2𝑅)
3
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
wyznaczonej wartości 𝑅, przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy
zdający bada znak pochodnej oraz:
Zasady oceniania rozwiązań zadań
LUB
\njednocześnie jej największa wartość,
LUB
jedyne ekstremum tej funkcji.
\nfunkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku,
np. znakami „+” i „-” znak pochodnej.
najmniejszą wartość i obliczy 𝑉(4) = 8√3, to otrzymuje 3 punkty za całe rozwiązanie.
Jeśli zdający nie przedstawi żadnego uzasadnienia i obliczy 𝑉(4) = 8√3, to otrzymuje co
najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Wyznaczamy pochodną funkcji 𝑉: 𝑉′(𝑅) =
√3
4 ⋅(12𝑅-3𝑅2) dla 𝑅∈(0, 6).
Obliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑉:
𝑉′(𝑅) = 0
√3
4 ⋅(12𝑅-3𝑅2) = 0
3𝑅⋅(4 -𝑅) = 0
𝑅= 0 ∉(0, 6) lub 𝑅= 4 ∈(0, 6)
Badamy znak pochodnej:
𝑉′(𝑅) > 0 dla 𝑅∈(0, 4),
𝑉′(𝑅) < 0 dla 𝑅∈(4, 6).
Zatem funkcja 𝑉 jest rosnąca w przedziale (0, 4] oraz jest malejąca w przedziale [4, 6).
Stąd dla 𝑅= 4 funkcja 𝑉 osiąga wartość największą równą
𝑉(4) = √3
4 ⋅(6 ⋅42 -43) = 8√3
Sposób II
Ponieważ 𝑅∈(0, 6), więc liczby 𝑅, 𝑅 oraz 12 -2𝑅 są dodatnie. Z nierówności między
średnimi arytmetyczną i geometryczną dla liczb dodatnich 𝑅, 𝑅 oraz 12 -2𝑅
otrzymujemy
𝑅+ 𝑅+ 12 -2𝑅
3
≥√𝑅⋅𝑅⋅(12 -2𝑅)
3
4 ≥√2 ⋅(6𝑅2 -𝑅3)
3
64 ≥2 ⋅(6𝑅2 -𝑅3)
√3
8 ⋅64 ≥√3
4 ⋅(6𝑅2 -𝑅3)
8√3 ≥𝑉(𝑅)
przy czym równość zachodzi tylko dla tych 𝑅, dla których 𝑅= 12 -2𝑅 i jednocześnie
𝑅∈(0, 6), tj. dla 𝑅= 4.
Zatem funkcja 𝑉 osiąga wartość największą dla 𝑅= 4 i wtedy 𝑉(4) = 8√3.
$8\\sqrt{3}$
"}]}