{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"2","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-2)\nOblicz granicę\nlim\n𝑥→3- |𝑥-3|\n𝑥2 -9\nZapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\nOblicz granicę lim{x→3^-} |x-3| / x^2-9 Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 2. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nXIII.R1) oblicza granice funkcji (w tym\njednostronne).\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda obliczenia granicy oraz poprawny wynik: (-1\n6).\n1 pkt - zapisanie wyrażenia |𝑥-3|\n𝑥2-9 w postaci -1\n𝑥+3 , gdzie 𝑥∈(-3, 3)\nALBO\n- zapisanie wyrażenia | |𝑥 - 3|\n𝑥2 - 9 + 1\n6 | w postaci 1\n6 ⋅| 𝑥 - 3\n𝑥 + 3 |, gdzie 𝑥∈(-3, 3).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy wyrażenie |𝑥-3|\n𝑥2-9 , korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów i definicji\nwartości bezwzględnej:\n|𝑥-3|\n𝑥2 -9 =\n-(𝑥-3)\n(𝑥-3)(𝑥+ 3) = -1\n𝑥+ 3\ndla każdego 𝑥∈(-3, 3).\nPonieważ lim\n𝑥→3-(𝑥+ 3) = 6 oraz lim\n𝑥→3-(-1) = -1, więc\nlim\n𝑥→3- |𝑥-3|\n𝑥2 -9 = -1\n6\nSposób II\nNiech 𝜖 będzie dowolną liczbą dodatnią. Oznaczmy 𝛿= 6𝜖\n1+𝜖 . Wtedy 𝛿> 0 i 𝛿< 6.\nNiech 𝑥 będzie dowolną liczbą rzeczywistą spełniającą warunek -𝛿< 𝑥-3 < 0.\nWówczas\n|𝑥-3|\n𝑥2 -9 + 1\n6| = |\n-(𝑥-3)\n(𝑥-3)(𝑥+ 3) + 1\n6| = | -1\n𝑥+ 3 + 1\n6| = 1\n6 ⋅|𝑥-3\n𝑥+ 3| < 1\n6 ⋅\n𝛿\n|𝑥+ 3| <\n< 1\n6 ⋅\n𝛿\n6 -𝛿= 1\n6 ⋅\n6𝜖\n1 + 𝜖\n6 -\n6𝜖\n1 + 𝜖\n= 1\n6 ⋅6𝜖\n6 < 𝜖\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZatem dla każdego 𝜖> 0 istnieje 𝛿> 0 takie, że dla każdego 𝑥 spełniającego warunek\n-𝛿< 𝑥-3 < 0 zachodzi\n||𝑥-3|\n𝑥2 -9 + 1\n6| < 𝜖\nTo oznacza, że\nlim\n𝑥→3- |𝑥-3|\n𝑥2 -9 = -1\n6","solution":"$-\\dfrac{1}{6}$","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-2.svg","topics":"granice","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 2. (0-2)
Oblicz granicę
lim
𝑥→3- |𝑥-3|
𝑥2 -9
Zapisz obliczenia.

\n

MMAP-R0_100
Oblicz granicę lim{x→3^-} |x-3| / x^2-9 Zapisz obliczenia.

","answer_text_html":"

Zadanie 2. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stosowanie obiektów matematycznych
\n

i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
XIII.R1) oblicza granice funkcji (w tym
jednostronne).
Zasady oceniania
2 pkt - poprawna metoda obliczenia granicy oraz poprawny wynik: (-1
6).
1 pkt - zapisanie wyrażenia |𝑥-3|
𝑥2-9 w postaci -1
𝑥+3 , gdzie 𝑥∈(-3, 3)
ALBO

\n\n

𝑥2 - 9 + 1
6 | w postaci 1
6 ⋅| 𝑥 - 3
𝑥 + 3 |, gdzie 𝑥∈(-3, 3).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Przekształcamy wyrażenie |𝑥-3|
𝑥2-9 , korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów i definicji
wartości bezwzględnej:
|𝑥-3|
𝑥2 -9 =
-(𝑥-3)
(𝑥-3)(𝑥+ 3) = -1
𝑥+ 3
dla każdego 𝑥∈(-3, 3).
Ponieważ lim
𝑥→3-(𝑥+ 3) = 6 oraz lim
𝑥→3-(-1) = -1, więc
lim
𝑥→3- |𝑥-3|
𝑥2 -9 = -1
6
Sposób II
Niech 𝜖 będzie dowolną liczbą dodatnią. Oznaczmy 𝛿= 6𝜖
1+𝜖 . Wtedy 𝛿> 0 i 𝛿< 6.
Niech 𝑥 będzie dowolną liczbą rzeczywistą spełniającą warunek -𝛿< 𝑥-3 < 0.
Wówczas
|𝑥-3|
𝑥2 -9 + 1
6| = |
-(𝑥-3)
(𝑥-3)(𝑥+ 3) + 1
6| = | -1
𝑥+ 3 + 1
6| = 1
6 ⋅|𝑥-3
𝑥+ 3| < 1
6 ⋅
𝛿
|𝑥+ 3| <
< 1
6 ⋅
𝛿
6 -𝛿= 1
6 ⋅
6𝜖
1 + 𝜖
6 -
6𝜖
1 + 𝜖
= 1
6 ⋅6𝜖
6 < 𝜖
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Zatem dla każdego 𝜖> 0 istnieje 𝛿> 0 takie, że dla każdego 𝑥 spełniającego warunek
-𝛿< 𝑥-3 < 0 zachodzi
||𝑥-3|
𝑥2 -9 + 1
6| < 𝜖
To oznacza, że
lim
𝑥→3- |𝑥-3|
𝑥2 -9 = -1
6

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-2.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$-\\dfrac{1}{6}$

"}]}