{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"3","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-3)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 2𝑥+1\n𝑥-4 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠4.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkt 𝑃= (𝑥0 , 5) należy do wykresu\nfunkcji 𝑓.\nOblicz 𝒙𝟎 oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji 𝒇 w punkcie 𝑷.\nZapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\nFunkcja f jest określona wzorem f(x)= 2x+1/x-4 dla każdej liczby rzeczywistej x≠4. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkt P=(x_0,5) należy do wykresu funkcja f. Oblicz x_0 oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nXIII.R2) stosuje definicję pochodnej funkcji,\npodaje interpretację geometryczną\npochodnej;\nXIII.R3) oblicza pochodną funkcji potęgowej\no wykładniku rzeczywistym oraz oblicza\npochodną, korzystając z twierdzeń\no pochodnej sumy, różnicy, iloczynu\ni ilorazu.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥0 = 7 oraz 𝑦= -𝑥+ 12 (lub\n𝑦= -(𝑥-7) + 5).\n2 pkt - obliczenie odciętej punktu 𝑃 i wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓: 𝑥0 = 7 oraz\n𝑓′(𝑥) = 2⋅(𝑥 - 4) - (2𝑥 + 1)⋅1\n(𝑥 - 4)2\n1 pkt - obliczenie odciętej punktu 𝑃: 𝑥0 = 7\nALBO\n- wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓: 𝑓′(𝑥) = 2⋅(𝑥 - 4) - (2𝑥 + 1)⋅1\n(𝑥 - 4)2\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający błędnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji, to może otrzymać co\nnajwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczamy odciętą 𝑥0 punktu 𝑃:\n5 = 2𝑥0 + 1\n𝑥0 -4\n5𝑥0 -20 = 2𝑥0 + 1\n𝑥0 = 7\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑓:\n𝑓′(𝑥) = 2(𝑥-4) -(2𝑥+ 1) ⋅1\n(𝑥-4)2\n𝑓′(𝑥) =\n-9\n(𝑥-4)2\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nWyznaczamy równanie kierunkowe 𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏 stycznej do wykresu funkcji 𝑓\nw punkcie 𝑃. Obliczamy współczynnik kierunkowy 𝑎 w równaniu stycznej:\n𝑎= 𝑓′(7) = -1\nObliczamy współczynnik 𝑏 w równaniu stycznej:\n5 = -1 ∙7 + 𝑏\n𝑏= 12\nStyczna ma równanie 𝑦= -𝑥+ 12.","solution":"$y = -x + 12$","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-3.svg","topics":"funkcje","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 3. (0-3)
Funkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 2𝑥+1
𝑥-4 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠4.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkt 𝑃= (𝑥0 , 5) należy do wykresu
funkcji 𝑓.
Oblicz 𝒙𝟎 oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji 𝒇 w punkcie 𝑷.
Zapisz obliczenia.

\n

MMAP-R0_100
Funkcja f jest określona wzorem f(x)= 2x+1/x-4 dla każdej liczby rzeczywistej x≠4. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkt P=(x_0,5) należy do wykresu funkcja f. Oblicz x_0 oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P. Zapisz obliczenia.

","answer_text_html":"

Zadanie 3. (0-3)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stosowanie obiektów matematycznych
\n

i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
XIII.R2) stosuje definicję pochodnej funkcji,
podaje interpretację geometryczną
pochodnej;
XIII.R3) oblicza pochodną funkcji potęgowej
o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza
pochodną, korzystając z twierdzeń
o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu
i ilorazu.
Zasady oceniania
3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥0 = 7 oraz 𝑦= -𝑥+ 12 (lub
𝑦= -(𝑥-7) + 5).
2 pkt - obliczenie odciętej punktu 𝑃 i wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓: 𝑥0 = 7 oraz
𝑓′(𝑥) = 2⋅(𝑥 - 4) - (2𝑥 + 1)⋅1
(𝑥 - 4)2
1 pkt - obliczenie odciętej punktu 𝑃: 𝑥0 = 7
ALBO

\n\n

(𝑥 - 4)2
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeżeli zdający błędnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji, to może otrzymać co
najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Obliczamy odciętą 𝑥0 punktu 𝑃:
5 = 2𝑥0 + 1
𝑥0 -4
5𝑥0 -20 = 2𝑥0 + 1
𝑥0 = 7
Wyznaczamy pochodną funkcji 𝑓:
𝑓′(𝑥) = 2(𝑥-4) -(2𝑥+ 1) ⋅1
(𝑥-4)2
𝑓′(𝑥) =
-9
(𝑥-4)2
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Wyznaczamy równanie kierunkowe 𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏 stycznej do wykresu funkcji 𝑓
w punkcie 𝑃. Obliczamy współczynnik kierunkowy 𝑎 w równaniu stycznej:
𝑎= 𝑓′(7) = -1
Obliczamy współczynnik 𝑏 w równaniu stycznej:
5 = -1 ∙7 + 𝑏
𝑏= 12
Styczna ma równanie 𝑦= -𝑥+ 12.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-3.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$y = -x + 12$

"}]}