{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-4)\nRozwiąż równanie\n𝐬𝐢𝐧(𝟔𝒙) + √𝟑⋅𝐬𝐢𝐧(𝟓𝒙) + 𝐬𝐢𝐧(𝟒𝒙) = 𝟎\nZapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nRozwiąż równanie sin(6x) + √3⋅sin(5x) + sin(4x) = 0. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVII.R6) rozwiązuje równania\ntrygonometryczne o stopniu trudności nie\nwiększym niż w przykładzie\n4 cos 2𝑥cos 5𝑥= 2 cos 7𝑥+ 1.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑘𝜋\n5 oraz -5\n6 𝜋+ 2𝜋𝑘 oraz\n5\n6 𝜋+ 2𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ.\n3 pkt - rozwiązanie równania sin(5𝑥) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych: 𝑘𝜋\n5 , gdzie 𝑘∈ℤ\nALBO\n- rozwiązanie równania cos 𝑥= -\n√3\n2 w zbiorze liczb rzeczywistych: -5\n6 𝜋+ 2𝜋𝑘 lub\n5\n6 𝜋+ 2𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ.\n2 pkt - przekształcenie równoważne równania do postaci alternatywy dwóch równań\ntrygonometrycznych: sin(5𝑥) = 0 lub cos 𝑥= -\n√3\n2 .\n1 pkt - zastosowanie wzorów na sinus sumy i różnicy kątów i przekształcenie równania do\npostaci\nsin(5𝑥) cos 𝑥+ cos(5𝑥) sin 𝑥+ √3 ⋅sin(5𝑥) + sin(5𝑥) cos 𝑥-cos(5𝑥) sin 𝑥= 0\nALBO\n- zastosowanie wzoru na sumę sinusów i przekształcenie równania do postaci\n2 sin 6𝑥+4𝑥\n2\ncos 6𝑥-4𝑥\n2\n+ √3 ⋅sin(5𝑥) = 0.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nStosujemy wzory na sinus sumy oraz różnicy kątów i przekształcamy równanie równoważnie,\notrzymując:\nsin(6𝑥) + √3 ⋅sin(5𝑥) + sin(4𝑥) = 0\nsin(5𝑥+ 𝑥) + √3 ⋅sin(5𝑥) + sin(5𝑥-𝑥) = 0\nsin(5𝑥) cos 𝑥+ cos(5𝑥) sin 𝑥+ √3 ⋅sin(5𝑥) + sin(5𝑥) cos 𝑥-cos(5𝑥) sin 𝑥= 0\nsin(5𝑥) ⋅(2 cos 𝑥+ √3) = 0\nsin(5𝑥) = 0 ∨ 2 cos 𝑥+ √3 = 0\n5𝑥= 𝑘𝜋 ∨ cos 𝑥= -√3\n2\n𝑥= 𝑘𝜋\n5 ∨ 𝑥= -5\n6 𝜋+ 2𝜋𝑘 ∨ 𝑥= 5\n6 𝜋+ 2𝜋𝑘\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nSposób II\nStosujemy wzór na sumę sinusów i przekształcamy równanie równoważnie, otrzymując:\nsin(6𝑥) + √3 ⋅sin(5𝑥) + sin(4𝑥) = 0\n2 sin 6𝑥+ 4𝑥\n2\ncos 6𝑥-4𝑥\n2\n+ √3 ⋅sin(5𝑥) = 0\n2 sin(5𝑥) cos 𝑥+ √3 ⋅sin(5𝑥) = 0\nsin(5𝑥) ⋅(2 cos 𝑥+ √3) = 0\nsin(5𝑥) = 0 ∨ 2 cos 𝑥+ √3 = 0\n5𝑥= 𝑘𝜋 ∨ cos 𝑥= -√3\n2\n𝑥= 𝑘𝜋\n5 ∨ 𝑥= -5\n6 𝜋+ 2𝜋𝑘 ∨ 𝑥= 5\n6 𝜋+ 2𝜋𝑘\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$x = \\dfrac{k\\pi}{5}$ oraz $x = -\\dfrac{5}{6}\\pi + 2\\pi k$ oraz $x = \\dfrac{5}{6}\\pi + 2\\pi k$, gdzie $k \\in \\mathbb{Z}$","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-9.svg","topics":"trygonometria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 9. (0-4)
Rozwiąż równanie
𝐬𝐢𝐧(𝟔𝒙) + √𝟑⋅𝐬𝐢𝐧(𝟓𝒙) + 𝐬𝐢𝐧(𝟒𝒙) = 𝟎
Zapisz obliczenia.

\n

MMAP-R0_100

\n

MMAP-R0_100
Rozwiąż równanie sin(6x) + √3⋅sin(5x) + sin(4x) = 0. Zapisz obliczenia.

","answer_text_html":"

Zadanie 9. (0-4)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Stosowanie i tworzenie strategii przy
\n

rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Zdający:
VII.R6) rozwiązuje równania
trygonometryczne o stopniu trudności nie
większym niż w przykładzie
4 cos 2𝑥cos 5𝑥= 2 cos 7𝑥+ 1.
Zasady oceniania
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑘𝜋
5 oraz -5
6 𝜋+ 2𝜋𝑘 oraz
5
6 𝜋+ 2𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ.
3 pkt - rozwiązanie równania sin(5𝑥) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych: 𝑘𝜋
5 , gdzie 𝑘∈ℤ
ALBO

\n\n

√3
2 w zbiorze liczb rzeczywistych: -5
6 𝜋+ 2𝜋𝑘 lub
5
6 𝜋+ 2𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ.
2 pkt - przekształcenie równoważne równania do postaci alternatywy dwóch równań
trygonometrycznych: sin(5𝑥) = 0 lub cos 𝑥= -
√3
2 .
1 pkt - zastosowanie wzorów na sinus sumy i różnicy kątów i przekształcenie równania do
postaci
sin(5𝑥) cos 𝑥+ cos(5𝑥) sin 𝑥+ √3 ⋅sin(5𝑥) + sin(5𝑥) cos 𝑥-cos(5𝑥) sin 𝑥= 0
ALBO

\n\n

2 sin 6𝑥+4𝑥
2
cos 6𝑥-4𝑥
2

\n\n

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Stosujemy wzory na sinus sumy oraz różnicy kątów i przekształcamy równanie równoważnie,
otrzymując:
sin(6𝑥) + √3 ⋅sin(5𝑥) + sin(4𝑥) = 0
sin(5𝑥+ 𝑥) + √3 ⋅sin(5𝑥) + sin(5𝑥-𝑥) = 0
sin(5𝑥) cos 𝑥+ cos(5𝑥) sin 𝑥+ √3 ⋅sin(5𝑥) + sin(5𝑥) cos 𝑥-cos(5𝑥) sin 𝑥= 0
sin(5𝑥) ⋅(2 cos 𝑥+ √3) = 0
sin(5𝑥) = 0 ∨ 2 cos 𝑥+ √3 = 0
5𝑥= 𝑘𝜋 ∨ cos 𝑥= -√3
2
𝑥= 𝑘𝜋
5 ∨ 𝑥= -5
6 𝜋+ 2𝜋𝑘 ∨ 𝑥= 5
6 𝜋+ 2𝜋𝑘
gdzie 𝑘∈ℤ.
Sposób II
Stosujemy wzór na sumę sinusów i przekształcamy równanie równoważnie, otrzymując:
sin(6𝑥) + √3 ⋅sin(5𝑥) + sin(4𝑥) = 0
2 sin 6𝑥+ 4𝑥
2
cos 6𝑥-4𝑥
2

\n\n

2 sin(5𝑥) cos 𝑥+ √3 ⋅sin(5𝑥) = 0
sin(5𝑥) ⋅(2 cos 𝑥+ √3) = 0
sin(5𝑥) = 0 ∨ 2 cos 𝑥+ √3 = 0
5𝑥= 𝑘𝜋 ∨ cos 𝑥= -√3
2
𝑥= 𝑘𝜋
5 ∨ 𝑥= -5
6 𝜋+ 2𝜋𝑘 ∨ 𝑥= 5
6 𝜋+ 2𝜋𝑘
gdzie 𝑘∈ℤ.
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-9.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x = \\dfrac{k\\pi}{5}$ oraz $x = -\\dfrac{5}{6}\\pi + 2\\pi k$ oraz $x = \\dfrac{5}{6}\\pi + 2\\pi k$, gdzie $k \\in \\mathbb{Z}$

"}]}