{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nParabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej 𝑓, ma z osiami układu współrzędnych (𝑥, 𝑦)\ndokładnie dwa punkty wspólne: 𝑀= (0, 18) oraz 𝑁= (3, 0).\nWyznacz wzór funkcji kwadratowej 𝑓.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n3.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na\npodstawie pewnych informacji o tej funkcji\nlub o jej wykresie.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda i zapisanie wzoru funkcji 𝑓 z poprawnymi wartościami\nwspółczynników, np.: 𝑓(𝑥) = 2(𝑥-3)2, 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 -12𝑥+ 18 .\n1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej z uwzględnieniem, że punkt 𝑁 jest\nwierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓: 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-3)2\nALBO\n- zapisanie wartości wyrazu wolnego funkcji 𝑓, np.: 𝑐= 18, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 18 ,\nALBO\n- zapisanie równania 𝑏2 -4𝑎𝑐= 0 ,\nALBO\n- zapisanie równania -𝑏\n2𝑎= 3 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPonieważ punkt 𝑁= (3, 0) jest jedynym punktem wspólnym wykresu funkcji 𝑓 i osi 𝑂𝑥,\nwięc jest to wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓.\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej:\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-3)2, gdzie 𝑎≠0\nPunkt 𝑀= (0, 18) leży na wykresie funkcji 𝑓, zatem\n𝑓(0) = 18\n𝑎(0 -3)2 = 18\n9𝑎= 18\n𝑎= 2\nZatem 𝑓(𝑥) = 2(𝑥-3)2 .\nSposób II\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej:\n𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐, gdzie 𝑎≠0 oraz 𝑏, 𝑐∈ℝ\nPunkt 𝑀= (0, 18) leży na wykresie funkcji 𝑓, zatem\n𝑓(0) = 18\n𝑎∙02 + 𝑏∙0 + 𝑐= 18\n𝑐= 18\nPonieważ punkt 𝑁= (3, 0) jest jedynym punktem wspólnym wykresu funkcji 𝑓 i osi 𝑂𝑥,\nwięc liczba 3 jest jedynym miejscem zerowym tej funkcji.\nStąd otrzymujemy:\nΔ = 𝑏2 -4𝑎𝑐= 0 oraz 𝑥0 = -𝑏\n2𝑎= 3\n𝑏2 -4𝑎⋅18 = 0 oraz 𝑏= -6𝑎\nZatem\n(-6𝑎)2 -4𝑎⋅18 = 0\n36𝑎2 -72𝑎= 0\n36𝑎(𝑎-2) = 0\n𝑎= 0 lub 𝑎= 2\nFunkcja 𝑓 jest kwadratowa, więc 𝑎= 2 i wówczas 𝑏= -6𝑎= -12 .\nZatem 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 -12𝑥+ 18 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 31. (0-2)<br>Parabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej 𝑓, ma z osiami układu współrzędnych (𝑥, 𝑦)<br>dokładnie dwa punkty wspólne: 𝑀= (0, 18) oraz 𝑁= (3, 0).<br>Wyznacz wzór funkcji kwadratowej 𝑓.</p>\n<p>EMAP-P0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 31. (0-2)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Modelowanie matematyczne.<br>Zdający:<br>3.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na<br>podstawie pewnych informacji o tej funkcji<br>lub o jej wykresie.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - poprawna metoda i zapisanie wzoru funkcji 𝑓 z poprawnymi wartościami<br>współczynników, np.: 𝑓(𝑥) = 2(𝑥-3)2, 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 -12𝑥+ 18 .<br>1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej z uwzględnieniem, że punkt 𝑁 jest<br>wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓: 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-3)2<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie wartości wyrazu wolnego funkcji 𝑓, np.: 𝑐= 18, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 18 ,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania 𝑏2 -4𝑎𝑐= 0 ,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania -𝑏</li></ul>\n<p>2𝑎= 3 .<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Ponieważ punkt 𝑁= (3, 0) jest jedynym punktem wspólnym wykresu funkcji 𝑓 i osi 𝑂𝑥,<br>więc jest to wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓.<br>Zapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej:<br>𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-3)2, gdzie 𝑎≠0<br>Punkt 𝑀= (0, 18) leży na wykresie funkcji 𝑓, zatem<br>𝑓(0) = 18<br>𝑎(0 -3)2 = 18<br>9𝑎= 18<br>𝑎= 2<br>Zatem 𝑓(𝑥) = 2(𝑥-3)2 .<br>Sposób II<br>Zapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej:<br>𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐, gdzie 𝑎≠0 oraz 𝑏, 𝑐∈ℝ<br>Punkt 𝑀= (0, 18) leży na wykresie funkcji 𝑓, zatem<br>𝑓(0) = 18<br>𝑎∙02 + 𝑏∙0 + 𝑐= 18<br>𝑐= 18<br>Ponieważ punkt 𝑁= (3, 0) jest jedynym punktem wspólnym wykresu funkcji 𝑓 i osi 𝑂𝑥,<br>więc liczba 3 jest jedynym miejscem zerowym tej funkcji.<br>Stąd otrzymujemy:<br>Δ = 𝑏2 -4𝑎𝑐= 0 oraz 𝑥0 = -𝑏<br>2𝑎= 3<br>𝑏2 -4𝑎⋅18 = 0 oraz 𝑏= -6𝑎<br>Zatem<br>(-6𝑎)2 -4𝑎⋅18 = 0<br>36𝑎2 -72𝑎= 0<br>36𝑎(𝑎-2) = 0<br>𝑎= 0 lub 𝑎= 2<br>Funkcja 𝑓 jest kwadratowa, więc 𝑎= 2 i wówczas 𝑏= -6𝑎= -12 .<br>Zatem 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 -12𝑥+ 18 .<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[]}