{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/36","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"36","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 36. (0-5)\nW układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dane są punkty 𝐴= (2, 8) oraz 𝐵= (10, 2).\nSymetralna odcinka 𝐴𝐵 przecina oś 𝑂𝑥 układu współrzędnych w punkcie 𝑃.\nOblicz współrzędne punktu 𝑃 oraz obwód trójkąta 𝐴𝐵𝑃.\n\nEMAP-P0_100\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015","answer":null,"answer_text":"Zadanie 36. (0-5)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n8.1) wyznacza równanie prostej\nprzechodzącej przez dwa dane punkty\n(w postaci kierunkowej lub ogólnej);\n8.3) wyznacza równanie prostej, która jest\n[…] prostopadła do prostej danej w postaci\nkierunkowej i przechodzi przez dany punkt;\n8.4) oblicza współrzędne punktu przecięcia\ndwóch prostych;\n8.5) wyznacza współrzędne środka odcinka;\n8.6) oblicza odległość dwóch punktów.\nZasady oceniania\n5 pkt - poprawna metoda obliczenia współrzędnych punktu 𝑃 oraz obwodu 𝐿 trójkąta 𝐴𝐵𝑃\noraz poprawne wyniki: 𝑃= (9\n4 , 0), 𝐿= 5√41\n2\n+ 10 .\n4 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝑃 oraz obliczenie długości jednego z boków\ntrójkąta 𝐴𝐵𝑃: 𝑃= (9\n4 , 0) oraz |𝐴𝐵| = 10 (lub |𝐴𝑃| = 5√41\n4\n).\n3 pkt - obliczenie długości boku 𝐴𝐵: |𝐴𝐵| = 10 oraz spełnienie jednego z poniższych\nwarunków:\n1) wyznaczenie równania symetralnej odcinka 𝐴𝐵 : 𝑦= 4\n3 𝑥-3\n2) zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi, np.\n√(𝑥𝑝-2)\n2 + (𝑦𝑝-8)\n2 = √(𝑥𝑝-10)\n2 + (𝑦𝑝-2)\n2 i 𝑦𝑝= 0\n3) zapisanie równania, w którym niewiadomą jest pierwsza współrzędna\nwierzchołka 𝑃, wynikające z prostopadłości odpowiednich wektorów, np.\n(-4) ∙(𝑥𝑝-6) + 3 ∙(-5) = 0\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝑃: 𝑃= (9\n4 , 0).\n2 pkt - obliczenie długości boku 𝐴𝐵: |𝐴𝐵| = 10 oraz spełnienie jednego z poniższych\nwarunków:\n1) zapisanie współrzędnych środka 𝑀 odcinka 𝐴𝐵: 𝑀= (6, 5)\n2) wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐵: 𝑎𝐴𝐵= -3\n4 (lub\nzapisanie równania prostej 𝐴𝐵 w postaci ogólnej: 3𝑥+ 4𝑦-38 = 0)\n3) zapisanie drugiej współrzędnej punktu 𝑃 np.: 𝑦𝑝= 0, 𝑃= (𝑥𝑝, 0)\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n4) zapisanie równości |𝐴𝑃| = |𝐵𝑃| w zależności od współrzędnych punktu\n𝑃= (𝑥𝑝, 𝑦𝑝), np.: √(𝑥𝑝-2)\n2 + (𝑦𝑝-8)\n2 = √(𝑥𝑝-10)\n2 + (𝑦𝑝-2)\n2\nALBO\n- wyznaczenie równania symetralnej odcinka 𝐴𝐵 : 𝑦= 4\n3 𝑥-3,\nALBO\n- zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi, np.:\n√(𝑥𝑝-2)\n2 + (𝑦𝑝-8)\n2 = √(𝑥𝑝-10)\n2 + (𝑦𝑝-2)\n2 i 𝑦𝑝= 0\nALBO\n- zapisanie równania, w którym niewiadomą jest pierwsza współrzędna wierzchołka 𝑃,\nwynikającego z prostopadłości odpowiednich wektorów, np.:\n(-4) ∙(𝑥𝑝-6) + 3 ∙(-5) = 0\n1 pkt - obliczenie długości boku 𝐴𝐵: |𝐴𝐵| = 10\nALBO\n- spełnienie jednego z poniższych warunków:\n1) zapisanie współrzędnych środka 𝑀 odcinka 𝐴𝐵: 𝑀= (6, 5)\n2) wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐵: 𝑎𝐴𝐵= -3\n4 (lub\nzapisanie równania prostej 𝐴𝐵 w postaci ogólnej: 3𝑥+ 4𝑦-38 = 0)\n3) zapisanie drugiej współrzędnej punktu 𝑃 np.: 𝑦𝑝= 0, 𝑃= (𝑥𝑝, 0)\n4) zapisanie równości |𝐴𝑃| = |𝐵𝑃| w zależności od współrzędnych punktu\n𝑃= (𝑥𝑝, 𝑦𝑝), np.: √(𝑥𝑝-2)\n2 + (𝑦𝑝-8)\n2 = √(𝑥𝑝-10)\n2 + (𝑦𝑝-2)\n2\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający rozważa punkt 𝑃 leżący na osi 𝑂𝑥 i w rozwiązaniu popełnia tylko błędy\nrachunkowe, które nie przekreślają poprawności rozumowania, to za całe rozwiązanie\nmoże otrzymać co najwyżej 4 punkty.\n2. Jeżeli zdający rysuje w układzie współrzędnych symetralną odcinka 𝐴𝐵 i odczytuje\nwspółrzędne punktu 𝑃 i zapisuje 𝑃= (9\n4 , 0) oraz sprawdzi rachunkowo, że\n|𝐴𝑃| = |𝐵𝑃|, to za tę część rozwiązania otrzymuje 3 punkty (jeżeli tego sprawdzenia nie\nwykona, to otrzymuje za tę część rozwiązania 2 punkty, a gdy odczyta błędne\nwspółrzędne punktu 𝑃, to otrzymuje 0 punktów).\n3. Jeżeli zdający nie sporządzi rysunku i zapisze tylko 𝑃= (9\n4 , 0), to otrzymuje 0 punktów;\njeżeli zdający nie sporządzi rysunku, lecz zapisze 𝑃= (9\n4 , 0) i dalej kontynuuje\nrozwiązanie, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty.\n4. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współczynnik kierunkowy prostej\nb) zastosowanie niepoprawnego związku między współczynnikami kierunkowymi\nprostych prostopadłych\nc) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współrzędne środka odcinka\nd) zastosowanie niepoprawnego warunku prostopadłości wektorów\ne) zastosowanie niepoprawnego wzoru na odległość dwóch punktów\nw kartezjańskim układzie współrzędnych\nf) zastosowanie niepoprawnych własności symetralnej\ng) przyjęcie, że wierzchołek 𝑃 leży poza osią 𝑂𝑥,\ni rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać\n3 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\nJeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)-g), to może otrzymać\nco najwyżej 1 punkt, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\n5. Jeżeli zdający rozważa dwa różne położenia punktu 𝑃 na osi 𝑂𝑥 i nie odrzuca\nniewłaściwego rozwiązania, to otrzymuje co najwyżej 4 punkty.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nObliczamy współczynnik kierunkowy prostej 𝐴𝐵:\n𝑎𝐴𝐵= 2 -8\n10 -2 = -3\n4\nZatem współczynnik kierunkowy symetralnej 𝑘 odcinka 𝐴𝐵 jest równy\n𝑎𝑘= 4\n3\nSymetralna 𝑘 przechodzi przez środek 𝑀 odcinka 𝐴𝐵. Obliczamy współrzędne punktu 𝑀:\n𝑀= (2 + 10\n2\n, 8 + 2\n2\n) = (6, 5)\nZatem prosta 𝑘 ma równanie postaci\n𝑦= 4\n3 (𝑥-6) + 5\n𝑦= 4\n3 𝑥-3\nPunkt 𝑃 jest punktem przecięcia symetralnej 𝑘 z osią 𝑂𝑥, więc współrzędne\npunktu 𝑃= (𝑥𝑝, 𝑦𝑝) spełniają równania\n𝑦𝑝= 4\n3 𝑥𝑝-3 oraz 𝑦𝑝= 0\nStąd otrzymujemy:\n0 = 4\n3 𝑥𝑝-3 oraz 𝑦𝑝= 0\n𝑥𝑝= 9\n4 oraz 𝑦𝑝= 0\nZatem 𝑃= (9\n4 , 0)\nObliczamy długości boków trójkąta 𝐴𝐵𝑃:\n|𝐴𝑃| = |𝐵𝑃| = √(9\n4 -2)\n2\n+ (0 -8)2 = √(1\n4)\n2\n+ (-8)2 = √1\n16 + 64 = √1025\n16\n= 5√41\n4\n|𝐴𝐵| = √(10 -2)2 + (2 -8)2 = √(8)2 + (-6)2 = √64 + 36 = √100 = 10\nObliczamy obwód trójkąta 𝐴𝐵𝑃:\n𝐿= 2 ⋅5√41\n4\n+ 10 = 5√41\n2\n+ 10\nSposób II\nPonieważ punkt 𝑃 leży na osi 𝑂𝑥, więc jego współrzędne są równe 𝑃= (𝑥𝑝, 0).\nPonieważ punkt 𝑃 leży na symetralnej odcinka 𝐴𝐵, więc |𝐴𝑃| = |𝐵𝑃|.\nStąd i ze wzoru na odległość między dwoma punktami otrzymujemy równanie\n√(𝑥𝑝-2)\n2 + (0 -8)2 = √(𝑥𝑝-10)\n2 + (0 -2)2\n(𝑥𝑝-2)\n2 + (0 -8)2 = (𝑥𝑝-10)\n2 + (0 -2)2\n𝑥𝑝\n2 -4𝑥𝑝+ 4 + 64 = 𝑥𝑝\n2 -20𝑥𝑝+ 100 + 4\n16𝑥𝑝= 36\n𝑥𝑝= 9\n4\nZatem 𝑃= (9\n4 , 0).\nObliczamy długości boków trójkąta 𝐴𝐵𝑃:\n|𝐴𝑃| = |𝐵𝑃| = √(9\n4 -2)\n2\n+ (0 -8)2 = √(1\n4)\n2\n+ (-8)2 = √1\n16 + 64 = √1025\n16\n= 5√41\n4\n|𝐴𝐵| = √(10 -2)2 + (2 -8)2 = √(8)2 + (-6)2 = √64 + 36 = √100 = 10\nObliczamy obwód trójkąta 𝐴𝐵𝑃:\n𝐿= 2 ⋅5√41\n4\n+ 10 = 5√41\n2\n+ 10\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób III\nPonieważ punkt 𝑃 leży na osi 𝑂𝑥, więc jego współrzędne są równe 𝑃= (𝑥𝑝, 0).\nObliczamy współrzędne środka 𝑀 odcinka 𝐴𝐵:\n𝑀= (2 + 10\n2\n, 8 + 2\n2\n) = (6, 5)\nObliczamy współrzędne wektorów 𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ oraz 𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ :\n𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [2 -6, 8 -5] = [-4, 3]\n𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [𝑥𝑝-6, 0 -5] = [𝑥𝑝-6, -5]\nWektor 𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ jest prostopadły do wektora 𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , zatem\n-4 ∙(𝑥𝑝-6) + 3 ∙(-5) = 0\n-4𝑥𝑝+ 24 -15 = 0\n𝑥𝑝= 9\n4\nZatem punkt 𝑃 ma współrzędne 𝑃= (9\n4 , 0).\nObliczamy długości boków trójkąta 𝐴𝐵𝑃:\n|𝐴𝑃| = |𝐵𝑃| = √(9\n4 -2)\n2\n+ (0 -8)2 = √(1\n4)\n2\n+ (-8)2 = √1\n16 + 64 = √1025\n16\n= 5√41\n4\n|𝐴𝐵| = √(10 -2)2 + (2 -8)2 = √(8)2 + (-6)2 = √64 + 36 = √100 = 10\nObliczamy obwód trójkąta 𝐴𝐵𝑃:\n𝐿= 2 ⋅5√41\n4\n+ 10 = 5√41\n2\n+ 10\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują Zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez\nstwierdzonej dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\na) ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią (punkty 1.-12.);\nb) dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy,\ntermin dodatkowy 2024.\nI. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:\nbłędnego przepisania\nprzestawienia cyfr\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie\nprzestawienia położenia przecinka\nprzestawienia położenia znaku liczby.\n2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę rozwiązania,\nczęści lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej 1 punkt, zgodnie\nz kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub zapisuje\nnawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne rozumowanie lub\nstosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt za rozwiązanie\nzadania.\n5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji kwadratowej,\nistotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających\nrozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje prawidłową metodę\nwyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nII. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób\nze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 30.\n1 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego\n3𝑥2 -8𝑥+ 4, tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego\ni obliczenie tych pierwiastków\nALBO\n- konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze\ndyskalkulicznym ujemnego wyróżnika) narysowanie paraboli,\nALBO\n- poprawne rozwiązanie nierówności 3𝑥2 -𝑥+ 4 < 0 (tzn. stosuje się punkt 6.\nogólnych zasad oceniania),\nALBO\n- konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz rozpatrywanego\ntrójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność, pomyli porządek liczb na osi liczbowej i zapisze\nzbiór rozwiązań nierówności w postaci (2, 2\n3), to może otrzymać 2 punkty za całe\nrozwiązanie.\n2. Nie stosuje się uwag 2. i 3. z zasad oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 31.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 32.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 33.\n1 pkt - zapisanie, że trójkąty 𝐴𝐵𝑆 oraz 𝐴𝑃𝐵 są podobne\nALBO\n- zapisanie, że trójkąty 𝐴𝐵𝑆 oraz 𝐵𝑃𝑆 są podobne,\nALBO\n- zapisanie, że trójkąty 𝐴𝑃𝐵 oraz 𝐵𝑃𝑆 są podobne.\nZadanie 34.\n1 pkt - zapisanie równania z dwiema niewiadomymi: 𝑥 oraz 𝑟 (gdzie 𝑟 jest różnicą ciągu\narytmetycznego), np. 4𝑥2 -1 + 𝑟= 2𝑥2 + 1.\nZadanie 35.\n1 pkt - zapisanie jedynie liczby 36 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych).\nUwagi:\n1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi 1.\nze standardowych zasad oceniania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 14) i konsekwentnie zapisze\nwynik (np. 14\n36), to otrzymuje 2 punkty.\nZadanie 36.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-36.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":30,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 36. (0-5)<br>W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dane są punkty 𝐴= (2, 8) oraz 𝐵= (10, 2).<br>Symetralna odcinka 𝐴𝐵 przecina oś 𝑂𝑥 układu współrzędnych w punkcie 𝑃.<br>Oblicz współrzędne punktu 𝑃 oraz obwód trójkąta 𝐴𝐵𝑃.</p>\n<p>EMAP-P0_100</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>EMAP-P0_100</p>\n<p>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2015<br>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2015<br>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2015</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 36. (0-5)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Użycie i tworzenie strategii.<br>Zdający:<br>8.1) wyznacza równanie prostej<br>przechodzącej przez dwa dane punkty<br>(w postaci kierunkowej lub ogólnej);<br>8.3) wyznacza równanie prostej, która jest<br>[…] prostopadła do prostej danej w postaci<br>kierunkowej i przechodzi przez dany punkt;<br>8.4) oblicza współrzędne punktu przecięcia<br>dwóch prostych;<br>8.5) wyznacza współrzędne środka odcinka;<br>8.6) oblicza odległość dwóch punktów.<br>Zasady oceniania<br>5 pkt - poprawna metoda obliczenia współrzędnych punktu 𝑃 oraz obwodu 𝐿 trójkąta 𝐴𝐵𝑃<br>oraz poprawne wyniki: 𝑃= (9<br>4 , 0), 𝐿= 5√41<br>2</p>\n<ul><li>10 .</li></ul>\n<p>4 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝑃 oraz obliczenie długości jednego z boków<br>trójkąta 𝐴𝐵𝑃: 𝑃= (9<br>4 , 0) oraz |𝐴𝐵| = 10 (lub |𝐴𝑃| = 5√41<br>4<br>).<br>3 pkt - obliczenie długości boku 𝐴𝐵: |𝐴𝐵| = 10 oraz spełnienie jednego z poniższych<br>warunków:</p>\n<ol><li>wyznaczenie równania symetralnej odcinka 𝐴𝐵 : 𝑦= 4</li></ol>\n<p>3 𝑥-3</p>\n<ol><li>zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi, np.</li></ol>\n<p>√(𝑥𝑝-2)<br>2 + (𝑦𝑝-8)<br>2 = √(𝑥𝑝-10)<br>2 + (𝑦𝑝-2)<br>2 i 𝑦𝑝= 0</p>\n<ol><li>zapisanie równania, w którym niewiadomą jest pierwsza współrzędna</li></ol>\n<p>wierzchołka 𝑃, wynikające z prostopadłości odpowiednich wektorów, np.<br>(-4) ∙(𝑥𝑝-6) + 3 ∙(-5) = 0<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie współrzędnych punktu 𝑃: 𝑃= (9</li></ul>\n<p>4 , 0).<br>2 pkt - obliczenie długości boku 𝐴𝐵: |𝐴𝐵| = 10 oraz spełnienie jednego z poniższych<br>warunków:</p>\n<ol><li>zapisanie współrzędnych środka 𝑀 odcinka 𝐴𝐵: 𝑀= (6, 5)</li><li>wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐵: 𝑎𝐴𝐵= -3</li></ol>\n<p>4 (lub<br>zapisanie równania prostej 𝐴𝐵 w postaci ogólnej: 3𝑥+ 4𝑦-38 = 0)</p>\n<ol><li>zapisanie drugiej współrzędnej punktu 𝑃 np.: 𝑦𝑝= 0, 𝑃= (𝑥𝑝, 0)</li></ol>\n<p>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>\n<ol><li>zapisanie równości |𝐴𝑃| = |𝐵𝑃| w zależności od współrzędnych punktu</li></ol>\n<p>𝑃= (𝑥𝑝, 𝑦𝑝), np.: √(𝑥𝑝-2)<br>2 + (𝑦𝑝-8)<br>2 = √(𝑥𝑝-10)<br>2 + (𝑦𝑝-2)<br>2<br>ALBO</p>\n<ul><li>wyznaczenie równania symetralnej odcinka 𝐴𝐵 : 𝑦= 4</li></ul>\n<p>3 𝑥-3,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi, np.:</li></ul>\n<p>√(𝑥𝑝-2)<br>2 + (𝑦𝑝-8)<br>2 = √(𝑥𝑝-10)<br>2 + (𝑦𝑝-2)<br>2 i 𝑦𝑝= 0<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania, w którym niewiadomą jest pierwsza współrzędna wierzchołka 𝑃,</li></ul>\n<p>wynikającego z prostopadłości odpowiednich wektorów, np.:<br>(-4) ∙(𝑥𝑝-6) + 3 ∙(-5) = 0<br>1 pkt - obliczenie długości boku 𝐴𝐵: |𝐴𝐵| = 10<br>ALBO</p>\n<ul><li>spełnienie jednego z poniższych warunków:</li></ul>\n<ol><li>zapisanie współrzędnych środka 𝑀 odcinka 𝐴𝐵: 𝑀= (6, 5)</li><li>wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐵: 𝑎𝐴𝐵= -3</li></ol>\n<p>4 (lub<br>zapisanie równania prostej 𝐴𝐵 w postaci ogólnej: 3𝑥+ 4𝑦-38 = 0)</p>\n<ol><li>zapisanie drugiej współrzędnej punktu 𝑃 np.: 𝑦𝑝= 0, 𝑃= (𝑥𝑝, 0)</li><li>zapisanie równości |𝐴𝑃| = |𝐵𝑃| w zależności od współrzędnych punktu</li></ol>\n<p>𝑃= (𝑥𝑝, 𝑦𝑝), np.: √(𝑥𝑝-2)<br>2 + (𝑦𝑝-8)<br>2 = √(𝑥𝑝-10)<br>2 + (𝑦𝑝-2)<br>2<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający rozważa punkt 𝑃 leżący na osi 𝑂𝑥 i w rozwiązaniu popełnia tylko błędy</li></ol>\n<p>rachunkowe, które nie przekreślają poprawności rozumowania, to za całe rozwiązanie<br>może otrzymać co najwyżej 4 punkty.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający rysuje w układzie współrzędnych symetralną odcinka 𝐴𝐵 i odczytuje</li></ol>\n<p>współrzędne punktu 𝑃 i zapisuje 𝑃= (9<br>4 , 0) oraz sprawdzi rachunkowo, że<br>|𝐴𝑃| = |𝐵𝑃|, to za tę część rozwiązania otrzymuje 3 punkty (jeżeli tego sprawdzenia nie<br>wykona, to otrzymuje za tę część rozwiązania 2 punkty, a gdy odczyta błędne<br>współrzędne punktu 𝑃, to otrzymuje 0 punktów).</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający nie sporządzi rysunku i zapisze tylko 𝑃= (9</li></ol>\n<p>4 , 0), to otrzymuje 0 punktów;<br>jeżeli zdający nie sporządzi rysunku, lecz zapisze 𝑃= (9<br>4 , 0) i dalej kontynuuje<br>rozwiązanie, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty.</p>\n<ol><li>Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:</li></ol>\n<p>a) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współczynnik kierunkowy prostej<br>b) zastosowanie niepoprawnego związku między współczynnikami kierunkowymi<br>prostych prostopadłych<br>c) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współrzędne środka odcinka<br>d) zastosowanie niepoprawnego warunku prostopadłości wektorów<br>e) zastosowanie niepoprawnego wzoru na odległość dwóch punktów<br>w kartezjańskim układzie współrzędnych<br>f) zastosowanie niepoprawnych własności symetralnej<br>g) przyjęcie, że wierzchołek 𝑃 leży poza osią 𝑂𝑥,<br>i rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać<br>3 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.<br>Jeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)-g), to może otrzymać<br>co najwyżej 1 punkt, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający rozważa dwa różne położenia punktu 𝑃 na osi 𝑂𝑥 i nie odrzuca</li></ol>\n<p>niewłaściwego rozwiązania, to otrzymuje co najwyżej 4 punkty.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej 𝐴𝐵:<br>𝑎𝐴𝐵= 2 -8<br>10 -2 = -3<br>4<br>Zatem współczynnik kierunkowy symetralnej 𝑘 odcinka 𝐴𝐵 jest równy<br>𝑎𝑘= 4<br>3<br>Symetralna 𝑘 przechodzi przez środek 𝑀 odcinka 𝐴𝐵. Obliczamy współrzędne punktu 𝑀:<br>𝑀= (2 + 10<br>2<br>, 8 + 2<br>2<br>) = (6, 5)<br>Zatem prosta 𝑘 ma równanie postaci<br>𝑦= 4<br>3 (𝑥-6) + 5<br>𝑦= 4<br>3 𝑥-3<br>Punkt 𝑃 jest punktem przecięcia symetralnej 𝑘 z osią 𝑂𝑥, więc współrzędne<br>punktu 𝑃= (𝑥𝑝, 𝑦𝑝) spełniają równania<br>𝑦𝑝= 4<br>3 𝑥𝑝-3 oraz 𝑦𝑝= 0<br>Stąd otrzymujemy:<br>0 = 4<br>3 𝑥𝑝-3 oraz 𝑦𝑝= 0<br>𝑥𝑝= 9<br>4 oraz 𝑦𝑝= 0<br>Zatem 𝑃= (9<br>4 , 0)<br>Obliczamy długości boków trójkąta 𝐴𝐵𝑃:<br>|𝐴𝑃| = |𝐵𝑃| = √(9<br>4 -2)<br>2</p>\n<ul><li>(0 -8)2 = √(1</li></ul>\n<p>4)<br>2</p>\n<ul><li>(-8)2 = √1</li></ul>\n<p>16 + 64 = √1025<br>16<br>= 5√41<br>4<br>|𝐴𝐵| = √(10 -2)2 + (2 -8)2 = √(8)2 + (-6)2 = √64 + 36 = √100 = 10<br>Obliczamy obwód trójkąta 𝐴𝐵𝑃:<br>𝐿= 2 ⋅5√41<br>4</p>\n<ul><li>10 = 5√41</li></ul>\n<p>2</p>\n<ul><li>10</li></ul>\n<p>Sposób II<br>Ponieważ punkt 𝑃 leży na osi 𝑂𝑥, więc jego współrzędne są równe 𝑃= (𝑥𝑝, 0).<br>Ponieważ punkt 𝑃 leży na symetralnej odcinka 𝐴𝐵, więc |𝐴𝑃| = |𝐵𝑃|.<br>Stąd i ze wzoru na odległość między dwoma punktami otrzymujemy równanie<br>√(𝑥𝑝-2)<br>2 + (0 -8)2 = √(𝑥𝑝-10)<br>2 + (0 -2)2<br>(𝑥𝑝-2)<br>2 + (0 -8)2 = (𝑥𝑝-10)<br>2 + (0 -2)2<br>𝑥𝑝<br>2 -4𝑥𝑝+ 4 + 64 = 𝑥𝑝<br>2 -20𝑥𝑝+ 100 + 4<br>16𝑥𝑝= 36<br>𝑥𝑝= 9<br>4<br>Zatem 𝑃= (9<br>4 , 0).<br>Obliczamy długości boków trójkąta 𝐴𝐵𝑃:<br>|𝐴𝑃| = |𝐵𝑃| = √(9<br>4 -2)<br>2</p>\n<ul><li>(0 -8)2 = √(1</li></ul>\n<p>4)<br>2</p>\n<ul><li>(-8)2 = √1</li></ul>\n<p>16 + 64 = √1025<br>16<br>= 5√41<br>4<br>|𝐴𝐵| = √(10 -2)2 + (2 -8)2 = √(8)2 + (-6)2 = √64 + 36 = √100 = 10<br>Obliczamy obwód trójkąta 𝐴𝐵𝑃:<br>𝐿= 2 ⋅5√41<br>4</p>\n<ul><li>10 = 5√41</li></ul>\n<p>2</p>\n<ul><li>10</li></ul>\n<p>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Sposób III<br>Ponieważ punkt 𝑃 leży na osi 𝑂𝑥, więc jego współrzędne są równe 𝑃= (𝑥𝑝, 0).<br>Obliczamy współrzędne środka 𝑀 odcinka 𝐴𝐵:<br>𝑀= (2 + 10<br>2<br>, 8 + 2<br>2<br>) = (6, 5)<br>Obliczamy współrzędne wektorów 𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ oraz 𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ :<br>𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [2 -6, 8 -5] = [-4, 3]<br>𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [𝑥𝑝-6, 0 -5] = [𝑥𝑝-6, -5]<br>Wektor 𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ jest prostopadły do wektora 𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , zatem<br>-4 ∙(𝑥𝑝-6) + 3 ∙(-5) = 0<br>-4𝑥𝑝+ 24 -15 = 0<br>𝑥𝑝= 9<br>4<br>Zatem punkt 𝑃 ma współrzędne 𝑃= (9<br>4 , 0).<br>Obliczamy długości boków trójkąta 𝐴𝐵𝑃:<br>|𝐴𝑃| = |𝐵𝑃| = √(9<br>4 -2)<br>2</p>\n<ul><li>(0 -8)2 = √(1</li></ul>\n<p>4)<br>2</p>\n<ul><li>(-8)2 = √1</li></ul>\n<p>16 + 64 = √1025<br>16<br>= 5√41<br>4<br>|𝐴𝐵| = √(10 -2)2 + (2 -8)2 = √(8)2 + (-6)2 = √64 + 36 = √100 = 10<br>Obliczamy obwód trójkąta 𝐴𝐵𝑃:<br>𝐿= 2 ⋅5√41<br>4</p>\n<ul><li>10 = 5√41</li></ul>\n<p>2</p>\n<ul><li>10</li></ul>\n<p>Ocena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią<br>Obowiązują Zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez<br>stwierdzonej dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:<br>a) ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną<br>dyskalkulią (punkty 1.-12.);<br>b) dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy<br>osób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy,<br>termin dodatkowy 2024.<br>I. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną<br>dyskalkulią</p>\n<ol><li>Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:</li></ol>\n<p>błędnego przepisania<br>przestawienia cyfr<br>zapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie<br>przestawienia położenia przecinka<br>przestawienia położenia znaku liczby.</p>\n<ol><li>W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu</li></ol>\n<p>oddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza<br>umiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania<br>badanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.</p>\n<ol><li>We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę rozwiązania,</li></ol>\n<p>części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej 1 punkt, zgodnie<br>z kryteriami do poszczególnych zadań.</p>\n<ol><li>Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub zapisuje</li></ol>\n<p>nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne rozumowanie lub<br>stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt za rozwiązanie<br>zadania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu</li></ol>\n<p>kwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę<br>wyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania<br>wartościach liczbowych.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający</li></ol>\n<p>może otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności<br>kwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej zdający</li></ol>\n<p>może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji kwadratowej,<br>istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych</li></ol>\n<p>lub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie<br>takiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na</li></ol>\n<p>płaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu<br>rozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur<br>geometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać</li></ol>\n<p>przynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających<br>rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje prawidłową metodę<br>wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli</li></ol>\n<p>podaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia<br>rozwiązania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub</li></ol>\n<p>geometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która<br>wyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać<br>1 punkt.<br>II. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób<br>ze stwierdzoną dyskalkulią<br>Zadanie 30.<br>1 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego<br>3𝑥2 -8𝑥+ 4, tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego<br>i obliczenie tych pierwiastków<br>ALBO</p>\n<ul><li>konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze</li></ul>\n<p>dyskalkulicznym ujemnego wyróżnika) narysowanie paraboli,<br>ALBO</p>\n<ul><li>poprawne rozwiązanie nierówności 3𝑥2 -𝑥+ 4 &lt; 0 (tzn. stosuje się punkt 6.</li></ul>\n<p>ogólnych zasad oceniania),<br>ALBO</p>\n<ul><li>konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz rozpatrywanego</li></ul>\n<p>trójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność, pomyli porządek liczb na osi liczbowej i zapisze</li></ol>\n<p>zbiór rozwiązań nierówności w postaci (2, 2<br>3), to może otrzymać 2 punkty za całe<br>rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Nie stosuje się uwag 2. i 3. z zasad oceniania arkusza standardowego.</li></ol>\n<p>Zadanie 31.<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.<br>Zadanie 32.<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.<br>Zadanie 33.<br>1 pkt - zapisanie, że trójkąty 𝐴𝐵𝑆 oraz 𝐴𝑃𝐵 są podobne<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie, że trójkąty 𝐴𝐵𝑆 oraz 𝐵𝑃𝑆 są podobne,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie, że trójkąty 𝐴𝑃𝐵 oraz 𝐵𝑃𝑆 są podobne.</li></ul>\n<p>Zadanie 34.<br>1 pkt - zapisanie równania z dwiema niewiadomymi: 𝑥 oraz 𝑟 (gdzie 𝑟 jest różnicą ciągu<br>arytmetycznego), np. 4𝑥2 -1 + 𝑟= 2𝑥2 + 1.<br>Zadanie 35.<br>1 pkt - zapisanie jedynie liczby 36 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich<br>zdarzeń elementarnych).<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi 1.</li></ol>\n<p>ze standardowych zasad oceniania.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające</li></ol>\n<p>zdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 14) i konsekwentnie zapisze<br>wynik (np. 14<br>36), to otrzymuje 2 punkty.<br>Zadanie 36.<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.</p>","solutions":[]}