{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-4)\nW okrąg o promieniu 4 wpisano trójkąt 𝐴𝐵𝐶. Długość boku 𝐴𝐵 jest równa 6. Bok 𝐵𝐶\nma długość 4√3 i jest najdłuższym bokiem tego trójkąta.\nOblicz długość boku 𝐴𝐶 trójkąta 𝐴𝐵𝐶.\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n7.R4) znajduje związki miarowe w figurach\npłaskich z zastosowaniem twierdzenia\nsinusów i twierdzenia cosinusów.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: √21 -3 (lub √30 -6√21).\n3 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą (długością boku 𝐴𝐶), np.\n(4√3)\n2 = |𝐴𝐶|2 + 62 -2 ⋅6 ⋅|𝐴𝐶| ⋅(-1\n2),\n|𝐴𝐶|2 = (4√3)\n2 + 62 -2 ⋅4√3 ⋅6 ⋅\n√7+3√3\n8\n,\n62 = |𝐴𝐶|2 + (4√3)\n2 -2 ⋅|𝐴𝐶| ⋅4√3 ⋅\n√7\n4\nALBO\n- zapisanie długości boków trójkąta 𝐴𝐶𝐸 za pomocą jednej niewiadomej i zapisanie\nrównania z tą jedną niewiadomą, które prowadzi do jej obliczenia, np. |𝐴𝐸| = 3𝑥\noraz |𝐴𝐶| = 4𝑥, oraz |𝐸𝐶| = √7𝑥, oraz (4√3 -√7𝑥)\n2 + (3𝑥)2 = 62 (dla\nsposobu II),\nALBO\n- obliczenie sinusa kąta 𝐴𝐵𝐶: -3+√21\n8\n(dla sposobu III).\n2 pkt - obliczenie miary kąta 𝐵𝐴𝐶: 120°\nALBO\n- zapisanie długości boków trójkąta 𝐴𝐶𝐸 za pomocą jednej niewiadomej, np.\n|𝐴𝐸| = 3𝑥 oraz |𝐴𝐶| = 4𝑥, oraz |𝐸𝐶| = √7𝑥,\nALBO\n- obliczenie cosinusa kąta 𝐴𝐶𝐵:\n√7\n4 .\n1 pkt - zapisanie równania, w którym jedyną niewiadomą jest miara kąta 𝐵𝐴𝐶 (lub miara\nkąta 𝐴𝐶𝐵), np.\n4√3\nsin|∡𝐵𝐴𝐶| = 8,\n6\nsin|∡𝐴𝐶𝐵| = 8, 1\n2 ⋅6 ⋅sin|∡𝐵𝐴𝐶| = 6⋅4√3\n4⋅4 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający uzyska |∡𝐵𝐴𝐶| = 60° oraz |∡𝐵𝐴𝐶| = 120° i konsekwentnie obliczy\ndługość boku 𝐴𝐶 dla obu tych wartości kątów, ale w rozwiązaniu nie odrzuci wartości\n|𝐴𝐶| = 3 + √21 , to otrzymuje co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nOznaczmy przez 𝑅 promień okręgu opisanego na trójkącie 𝐴𝐵𝐶.\nStosujemy do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 twierdzenie sinusów i otrzymujemy:\n|𝐵𝐶|\nsin|∡𝐵𝐴𝐶| = 2𝑅\n4√3\nsin|∡𝐵𝐴𝐶| = 8\nStąd |∡𝐵𝐴𝐶| = 60° lub |∡𝐵𝐴𝐶| = 120°.\nDługość boku trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg o promieniu 𝑅 jest równa\n𝑅√3 = 4√3 = |𝐵𝐶|. Niech 𝐷 będzie wierzchołkiem trójkąta równobocznego 𝐵𝐶𝐷\nwpisanego w dany okrąg. Ponieważ |𝐴𝐵| = 6, więc 𝐴≠𝐷. Gdyby wierzchołek 𝐴 leżał na\nkrótszym z łuków 𝐵𝐷, to wówczas 𝐴𝐶 byłby najdłuższym bokiem trójkąta 𝐴𝐵𝐶. Gdyby\nwierzchołek 𝐴 leżał na krótszym z łuków 𝐶𝐷, to wówczas 𝐴𝐵 byłby najdłuższym bokiem\ntrójkąta 𝐴𝐵𝐶. Zatem 𝐴 leży na krótszym z łuków 𝐵𝐶 okręgu i |∡𝐵𝐴𝐶| = 120°.\nStosujemy do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 twierdzenie cosinusów i obliczamy długość boku 𝐴𝐶:\n|𝐵𝐶|2 = |𝐴𝐶|2 + |𝐴𝐵|2 -2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐴𝐶| ⋅cos|∡𝐵𝐴𝐶|\n(4√3)\n2 = |𝐴𝐶|2 + 62 -2 ⋅6 ⋅|𝐴𝐶| ⋅(-1\n2)\n|𝐴𝐶|2 + 6 ⋅|𝐴𝐶| -12 = 0\n|𝐴𝐶| = -3 + √21 ∨ |𝐴𝐶| = -3 -√21 < 0\nZatem |𝐴𝐶| = -3 + √21.\nSposób II\nOznaczmy przez 𝑅 promień okręgu opisanego na trójkącie 𝐴𝐵𝐶.\nStosujemy do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 twierdzenie sinusów i otrzymujemy:\n|𝐴𝐵|\nsin|∡𝐴𝐶𝐵| = 2𝑅\n6\nsin|∡𝐴𝐶𝐵| = 8\nStąd sin|∡𝐴𝐶𝐵| = 3\n4 .\nNiech 𝐸 będzie spodkiem wysokości poprowadzonej w trójkącie 𝐴𝐵𝐶 z wierzchołka 𝐴 na\nbok 𝐵𝐶.\nOznaczmy |𝐴𝐸| = 3𝑥. Wtedy |𝐴𝐶| = 4𝑥, |𝐸𝐶| = √7𝑥, |𝐵𝐸| = 4√3 -√7𝑥 (zobacz\nrysunek).\nStosujemy do trójkąta 𝐴𝐸𝐵 twierdzenie Pitagorasa i otrzymujemy\n(4√3 -√7𝑥)\n2 + (3𝑥)2 = 62\n16𝑥2 -8√21𝑥+ 12 = 0\n4𝑥2 -2√21𝑥+ 3 = 0\n𝑥= 2√21 -6\n8\n∨ 𝑥= 2√21 + 6\n8\n4𝑥= √21 -3 ∨ 4𝑥= √21 + 3\nPonieważ √21 + 3 > 7 > 4√3 = |𝐵𝐶|, więc ostatecznie |𝐴𝐶| = √21 -3.\nSposób III\nOznaczmy przez 𝑅 promień okręgu opisanego na trójkącie 𝐴𝐵𝐶.\nStosujemy do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 twierdzenie sinusów i otrzymujemy:\n|𝐵𝐶|\nsin|∡𝐵𝐴𝐶| = 2𝑅\n4√3\nsin|∡𝐵𝐴𝐶| = 8\nStąd |∡𝐵𝐴𝐶| = 60° lub |∡𝐵𝐴𝐶| = 120°.\nDługość boku trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg o promieniu 𝑅 jest równa\n𝑅√3 = 4√3 = |𝐵𝐶|. Niech 𝐷 będzie wierzchołkiem trójkąta równobocznego 𝐵𝐶𝐷\nwpisanego w dany okrąg. Ponieważ |𝐴𝐵| = 6, więc 𝐴≠𝐷. Gdyby wierzchołek 𝐴 leżał na\nkrótszym z łuków 𝐵𝐷, to wówczas 𝐴𝐶 byłby najdłuższym bokiem trójkąta 𝐴𝐵𝐶. Gdyby\nwierzchołek 𝐴 leżał na krótszym z łuków 𝐶𝐷, to wówczas 𝐴𝐵 byłby najdłuższym bokiem\ntrójkąta 𝐴𝐵𝐶. Zatem 𝐴 leży na krótszym z łuków 𝐵𝐶 okręgu i |∡𝐵𝐴𝐶| = 120°.\nPonownie stosujemy do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 twierdzenie sinusów i otrzymujemy:\n|𝐴𝐵|\nsin|∡𝐴𝐶𝐵| = 2𝑅\n6\nsin|∡𝐴𝐶𝐵| = 8\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐸\n3𝑥\n4𝑥\nξ7𝑥\n4ξ3 -ξ7𝑥\n6\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nStąd sin|∡𝐴𝐶𝐵| = 3\n4 .\nKorzystamy z jedynki trygonometrycznej i otrzymujemy\nsin2|∡𝐴𝐶𝐵| + cos2|∡𝐴𝐶𝐵| = 1\n(3\n4)\n2\n+ cos2|∡𝐴𝐶𝐵| = 1\ncos|∡𝐴𝐶𝐵| = √7\n4 ∨ cos|∡𝐴𝐶𝐵| = -√7\n4\nPonieważ 𝐴𝐵 nie jest najdłuższym bokiem trójkąta, więc kąt 𝐴𝐶𝐵 nie jest rozwarty\ni dlatego cos |∡𝐴𝐶𝐵| =\n√7\n4 .\nObliczamy sin |∡𝐴𝐵𝐶|:\nsin|∡𝐴𝐵𝐶| = sin(180° -|∡𝐵𝐴𝐶| -|∡𝐴𝐶𝐵|) = sin(|∡𝐵𝐴𝐶| + |∡𝐴𝐶𝐵|) =\n= sin|∡𝐵𝐴𝐶| ⋅cos|∡𝐴𝐶𝐵| + sin|∡𝐴𝐶𝐵| ⋅cos|∡𝐵𝐴𝐶| =\n= √3\n2 ⋅√7\n4 + 3\n4 ⋅(-1\n2) = -3 + √21\n8\nStosujemy do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 twierdzenie sinusów i otrzymujemy\n|𝐴𝐶|\nsin|∡𝐴𝐵𝐶| = 2𝑅\n|𝐴𝐶| = 2𝑅⋅sin|∡𝐴𝐵𝐶|\n|𝐴𝐶| = 8 ⋅-3 + √21\n8\n= -3 + √21\nUwaga:\nPo obliczeniu cos |∡𝐴𝐶𝐵| można obliczyć cos |∡𝐴𝐵𝐶|:\ncos|∡𝐴𝐵𝐶| = cos(180° -|∡𝐵𝐴𝐶| -|∡𝐴𝐶𝐵|) = -cos(|∡𝐵𝐴𝐶| + |∡𝐴𝐶𝐵|) =\n= -cos|∡𝐵𝐴𝐶| ⋅cos|∡𝐴𝐶𝐵| + sin|∡𝐴𝐶𝐵| ⋅sin|∡𝐵𝐴𝐶| =\n= 1\n2 ⋅√7\n4 + 3\n4 ⋅√3\n2 = √7 + 3√3\n8\nPo zastosowaniu twierdzenia cosinusów otrzymujemy:\n|𝐴𝐶|2 = |𝐴𝐵|2 + |𝐵𝐶|2 -2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅cos|∡𝐴𝐵𝐶|\n|𝐴𝐶|2 = 62 + (4√3)\n2 -2 ⋅6 ⋅4√3 ⋅√7 + 3√3\n8\n|𝐴𝐶| = √30 -6√21\n|𝐴𝐶| = √(√21 -3)\n2\n|𝐴𝐶| = √21 -3\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 10. (0-4)
W okrąg o promieniu 4 wpisano trójkąt 𝐴𝐵𝐶. Długość boku 𝐴𝐵 jest równa 6. Bok 𝐵𝐶
ma długość 4√3 i jest najdłuższym bokiem tego trójkąta.
Oblicz długość boku 𝐴𝐶 trójkąta 𝐴𝐵𝐶.

\n

EMAP-R0_100

\n

EMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 10. (0-4)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Zdający:
7.R4) znajduje związki miarowe w figurach
płaskich z zastosowaniem twierdzenia
sinusów i twierdzenia cosinusów.
Zasady oceniania
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: √21 -3 (lub √30 -6√21).
3 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą (długością boku 𝐴𝐶), np.
(4√3)
2 = |𝐴𝐶|2 + 62 -2 ⋅6 ⋅|𝐴𝐶| ⋅(-1
2),
|𝐴𝐶|2 = (4√3)
2 + 62 -2 ⋅4√3 ⋅6 ⋅
√7+3√3
8
,
62 = |𝐴𝐶|2 + (4√3)
2 -2 ⋅|𝐴𝐶| ⋅4√3 ⋅
√7
4
ALBO

\n\n

równania z tą jedną niewiadomą, które prowadzi do jej obliczenia, np. |𝐴𝐸| = 3𝑥
oraz |𝐴𝐶| = 4𝑥, oraz |𝐸𝐶| = √7𝑥, oraz (4√3 -√7𝑥)
2 + (3𝑥)2 = 62 (dla
sposobu II),
ALBO

\n\n

8
(dla sposobu III).
2 pkt - obliczenie miary kąta 𝐵𝐴𝐶: 120°
ALBO

\n\n

|𝐴𝐸| = 3𝑥 oraz |𝐴𝐶| = 4𝑥, oraz |𝐸𝐶| = √7𝑥,
ALBO

\n\n

√7
4 .
1 pkt - zapisanie równania, w którym jedyną niewiadomą jest miara kąta 𝐵𝐴𝐶 (lub miara
kąta 𝐴𝐶𝐵), np.
4√3
sin|∡𝐵𝐴𝐶| = 8,
6
sin|∡𝐴𝐶𝐵| = 8, 1
2 ⋅6 ⋅sin|∡𝐵𝐴𝐶| = 6⋅4√3
4⋅4 .
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeżeli zdający uzyska |∡𝐵𝐴𝐶| = 60° oraz |∡𝐵𝐴𝐶| = 120° i konsekwentnie obliczy
długość boku 𝐴𝐶 dla obu tych wartości kątów, ale w rozwiązaniu nie odrzuci wartości
|𝐴𝐶| = 3 + √21 , to otrzymuje co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Oznaczmy przez 𝑅 promień okręgu opisanego na trójkącie 𝐴𝐵𝐶.
Stosujemy do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 twierdzenie sinusów i otrzymujemy:
|𝐵𝐶|
sin|∡𝐵𝐴𝐶| = 2𝑅
4√3
sin|∡𝐵𝐴𝐶| = 8
Stąd |∡𝐵𝐴𝐶| = 60° lub |∡𝐵𝐴𝐶| = 120°.
Długość boku trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg o promieniu 𝑅 jest równa
𝑅√3 = 4√3 = |𝐵𝐶|. Niech 𝐷 będzie wierzchołkiem trójkąta równobocznego 𝐵𝐶𝐷
wpisanego w dany okrąg. Ponieważ |𝐴𝐵| = 6, więc 𝐴≠𝐷. Gdyby wierzchołek 𝐴 leżał na
krótszym z łuków 𝐵𝐷, to wówczas 𝐴𝐶 byłby najdłuższym bokiem trójkąta 𝐴𝐵𝐶. Gdyby
wierzchołek 𝐴 leżał na krótszym z łuków 𝐶𝐷, to wówczas 𝐴𝐵 byłby najdłuższym bokiem
trójkąta 𝐴𝐵𝐶. Zatem 𝐴 leży na krótszym z łuków 𝐵𝐶 okręgu i |∡𝐵𝐴𝐶| = 120°.
Stosujemy do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 twierdzenie cosinusów i obliczamy długość boku 𝐴𝐶:
|𝐵𝐶|2 = |𝐴𝐶|2 + |𝐴𝐵|2 -2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐴𝐶| ⋅cos|∡𝐵𝐴𝐶|
(4√3)
2 = |𝐴𝐶|2 + 62 -2 ⋅6 ⋅|𝐴𝐶| ⋅(-1
2)
|𝐴𝐶|2 + 6 ⋅|𝐴𝐶| -12 = 0
|𝐴𝐶| = -3 + √21 ∨ |𝐴𝐶| = -3 -√21 < 0
Zatem |𝐴𝐶| = -3 + √21.
Sposób II
Oznaczmy przez 𝑅 promień okręgu opisanego na trójkącie 𝐴𝐵𝐶.
Stosujemy do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 twierdzenie sinusów i otrzymujemy:
|𝐴𝐵|
sin|∡𝐴𝐶𝐵| = 2𝑅
6
sin|∡𝐴𝐶𝐵| = 8
Stąd sin|∡𝐴𝐶𝐵| = 3
4 .
Niech 𝐸 będzie spodkiem wysokości poprowadzonej w trójkącie 𝐴𝐵𝐶 z wierzchołka 𝐴 na
bok 𝐵𝐶.
Oznaczmy |𝐴𝐸| = 3𝑥. Wtedy |𝐴𝐶| = 4𝑥, |𝐸𝐶| = √7𝑥, |𝐵𝐸| = 4√3 -√7𝑥 (zobacz
rysunek).
Stosujemy do trójkąta 𝐴𝐸𝐵 twierdzenie Pitagorasa i otrzymujemy
(4√3 -√7𝑥)
2 + (3𝑥)2 = 62
16𝑥2 -8√21𝑥+ 12 = 0
4𝑥2 -2√21𝑥+ 3 = 0
𝑥= 2√21 -6
8
∨ 𝑥= 2√21 + 6
8
4𝑥= √21 -3 ∨ 4𝑥= √21 + 3
Ponieważ √21 + 3 > 7 > 4√3 = |𝐵𝐶|, więc ostatecznie |𝐴𝐶| = √21 -3.
Sposób III
Oznaczmy przez 𝑅 promień okręgu opisanego na trójkącie 𝐴𝐵𝐶.
Stosujemy do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 twierdzenie sinusów i otrzymujemy:
|𝐵𝐶|
sin|∡𝐵𝐴𝐶| = 2𝑅
4√3
sin|∡𝐵𝐴𝐶| = 8
Stąd |∡𝐵𝐴𝐶| = 60° lub |∡𝐵𝐴𝐶| = 120°.
Długość boku trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg o promieniu 𝑅 jest równa
𝑅√3 = 4√3 = |𝐵𝐶|. Niech 𝐷 będzie wierzchołkiem trójkąta równobocznego 𝐵𝐶𝐷
wpisanego w dany okrąg. Ponieważ |𝐴𝐵| = 6, więc 𝐴≠𝐷. Gdyby wierzchołek 𝐴 leżał na
krótszym z łuków 𝐵𝐷, to wówczas 𝐴𝐶 byłby najdłuższym bokiem trójkąta 𝐴𝐵𝐶. Gdyby
wierzchołek 𝐴 leżał na krótszym z łuków 𝐶𝐷, to wówczas 𝐴𝐵 byłby najdłuższym bokiem
trójkąta 𝐴𝐵𝐶. Zatem 𝐴 leży na krótszym z łuków 𝐵𝐶 okręgu i |∡𝐵𝐴𝐶| = 120°.
Ponownie stosujemy do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 twierdzenie sinusów i otrzymujemy:
|𝐴𝐵|
sin|∡𝐴𝐶𝐵| = 2𝑅
6
sin|∡𝐴𝐶𝐵| = 8
𝐴
𝐵
𝐶
𝐸
3𝑥
4𝑥
ξ7𝑥
4ξ3 -ξ7𝑥
6
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Stąd sin|∡𝐴𝐶𝐵| = 3
4 .
Korzystamy z jedynki trygonometrycznej i otrzymujemy
sin2|∡𝐴𝐶𝐵| + cos2|∡𝐴𝐶𝐵| = 1
(3
4)
2

\n\n

cos|∡𝐴𝐶𝐵| = √7
4 ∨ cos|∡𝐴𝐶𝐵| = -√7
4
Ponieważ 𝐴𝐵 nie jest najdłuższym bokiem trójkąta, więc kąt 𝐴𝐶𝐵 nie jest rozwarty
i dlatego cos |∡𝐴𝐶𝐵| =
√7
4 .
Obliczamy sin |∡𝐴𝐵𝐶|:
sin|∡𝐴𝐵𝐶| = sin(180° -|∡𝐵𝐴𝐶| -|∡𝐴𝐶𝐵|) = sin(|∡𝐵𝐴𝐶| + |∡𝐴𝐶𝐵|) =
= sin|∡𝐵𝐴𝐶| ⋅cos|∡𝐴𝐶𝐵| + sin|∡𝐴𝐶𝐵| ⋅cos|∡𝐵𝐴𝐶| =
= √3
2 ⋅√7
4 + 3
4 ⋅(-1

\n
  1. = -3 + √21
\n

8
Stosujemy do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 twierdzenie sinusów i otrzymujemy
|𝐴𝐶|
sin|∡𝐴𝐵𝐶| = 2𝑅
|𝐴𝐶| = 2𝑅⋅sin|∡𝐴𝐵𝐶|
|𝐴𝐶| = 8 ⋅-3 + √21
8
= -3 + √21
Uwaga:
Po obliczeniu cos |∡𝐴𝐶𝐵| można obliczyć cos |∡𝐴𝐵𝐶|:
cos|∡𝐴𝐵𝐶| = cos(180° -|∡𝐵𝐴𝐶| -|∡𝐴𝐶𝐵|) = -cos(|∡𝐵𝐴𝐶| + |∡𝐴𝐶𝐵|) =
= -cos|∡𝐵𝐴𝐶| ⋅cos|∡𝐴𝐶𝐵| + sin|∡𝐴𝐶𝐵| ⋅sin|∡𝐵𝐴𝐶| =
= 1
2 ⋅√7
4 + 3
4 ⋅√3
2 = √7 + 3√3
8
Po zastosowaniu twierdzenia cosinusów otrzymujemy:
|𝐴𝐶|2 = |𝐴𝐵|2 + |𝐵𝐶|2 -2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅cos|∡𝐴𝐵𝐶|
|𝐴𝐶|2 = 62 + (4√3)
2 -2 ⋅6 ⋅4√3 ⋅√7 + 3√3
8
|𝐴𝐶| = √30 -6√21
|𝐴𝐶| = √(√21 -3)
2
|𝐴𝐶| = √21 -3
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[]}