{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-4)\nRozwiąż równanie\nsin(6𝑥) + √3 ⋅sin(5𝑥) + sin(4𝑥) = 0\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n6.R6) rozwiązuje równania\ntrygonometryczne […].\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑘𝜋\n5 oraz -5\n6 𝜋+ 2𝜋𝑘 oraz\n5\n6 𝜋+ 2𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ.\n3 pkt - rozwiązanie równania sin(5𝑥) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych: 𝑘𝜋\n5 , gdzie 𝑘∈ℤ\nALBO\n- rozwiązanie równania cos 𝑥= -\n√3\n2 w zbiorze liczb rzeczywistych: -5\n6 𝜋+ 2𝜋𝑘 lub\n5\n6 𝜋+ 2𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ.\n2 pkt - przekształcenie równoważne równania do postaci alternatywy dwóch równań\ntrygonometrycznych: sin(5𝑥) = 0 lub cos 𝑥= -\n√3\n2 .\n1 pkt - zastosowanie wzorów na sinus sumy i różnicy kątów i przekształcenie równania do\npostaci\nsin(5𝑥) cos 𝑥+ cos(5𝑥) sin 𝑥+ √3 ⋅sin(5𝑥) + sin(5𝑥) cos 𝑥-cos(5𝑥) sin 𝑥= 0\nALBO\n- zastosowanie wzoru na sumę sinusów i przekształcenie równania do postaci\n2 sin 6𝑥+4𝑥\n2\ncos 6𝑥-4𝑥\n2\n+ √3 ⋅sin(5𝑥) = 0.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nStosujemy wzory na sinus sumy oraz różnicy kątów i przekształcamy równanie równoważnie,\notrzymując:\nsin(6𝑥) + √3 ⋅sin(5𝑥) + sin(4𝑥) = 0\nsin(5𝑥+ 𝑥) + √3 ⋅sin(5𝑥) + sin(5𝑥-𝑥) = 0\nsin(5𝑥) cos 𝑥+ cos(5𝑥) sin 𝑥+ √3 ⋅sin(5𝑥) + sin(5𝑥) cos 𝑥-cos(5𝑥) sin 𝑥= 0\nsin(5𝑥) ⋅(2 cos 𝑥+ √3) = 0\nsin(5𝑥) = 0 ∨ 2 cos 𝑥+ √3 = 0\n5𝑥= 𝑘𝜋 ∨ cos 𝑥= -√3\n2\n𝑥= 𝑘𝜋\n5 ∨ 𝑥= -5\n6 𝜋+ 2𝜋𝑘 ∨ 𝑥= 5\n6 𝜋+ 2𝜋𝑘\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nSposób II\nStosujemy wzór na sumę sinusów i przekształcamy równanie równoważnie, otrzymując:\nsin(6𝑥) + √3 ⋅sin(5𝑥) + sin(4𝑥) = 0\n2 sin 6𝑥+ 4𝑥\n2\ncos 6𝑥-4𝑥\n2\n+ √3 ⋅sin(5𝑥) = 0\n2 sin(5𝑥) cos 𝑥+ √3 ⋅sin(5𝑥) = 0\nsin(5𝑥) ⋅(2 cos 𝑥+ √3) = 0\nsin(5𝑥) = 0 ∨ 2 cos 𝑥+ √3 = 0\n5𝑥= 𝑘𝜋 ∨ cos 𝑥= -√3\n2\n𝑥= 𝑘𝜋\n5 ∨ 𝑥= -5\n6 𝜋+ 2𝜋𝑘 ∨ 𝑥= 5\n6 𝜋+ 2𝜋𝑘\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 11. (0-4)<br>Rozwiąż równanie<br>sin(6𝑥) + √3 ⋅sin(5𝑥) + sin(4𝑥) = 0</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 11. (0-4)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Użycie i tworzenie strategii.<br>Zdający:<br>6.R6) rozwiązuje równania<br>trygonometryczne […].<br>Zasady oceniania<br>4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑘𝜋<br>5 oraz -5<br>6 𝜋+ 2𝜋𝑘 oraz<br>5<br>6 𝜋+ 2𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ.<br>3 pkt - rozwiązanie równania sin(5𝑥) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych: 𝑘𝜋<br>5 , gdzie 𝑘∈ℤ<br>ALBO</p>\n<ul><li>rozwiązanie równania cos 𝑥= -</li></ul>\n<p>√3<br>2 w zbiorze liczb rzeczywistych: -5<br>6 𝜋+ 2𝜋𝑘 lub<br>5<br>6 𝜋+ 2𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ.<br>2 pkt - przekształcenie równoważne równania do postaci alternatywy dwóch równań<br>trygonometrycznych: sin(5𝑥) = 0 lub cos 𝑥= -<br>√3<br>2 .<br>1 pkt - zastosowanie wzorów na sinus sumy i różnicy kątów i przekształcenie równania do<br>postaci<br>sin(5𝑥) cos 𝑥+ cos(5𝑥) sin 𝑥+ √3 ⋅sin(5𝑥) + sin(5𝑥) cos 𝑥-cos(5𝑥) sin 𝑥= 0<br>ALBO</p>\n<ul><li>zastosowanie wzoru na sumę sinusów i przekształcenie równania do postaci</li></ul>\n<p>2 sin 6𝑥+4𝑥<br>2<br>cos 6𝑥-4𝑥<br>2</p>\n<ul><li>√3 ⋅sin(5𝑥) = 0.</li></ul>\n<p>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Stosujemy wzory na sinus sumy oraz różnicy kątów i przekształcamy równanie równoważnie,<br>otrzymując:<br>sin(6𝑥) + √3 ⋅sin(5𝑥) + sin(4𝑥) = 0<br>sin(5𝑥+ 𝑥) + √3 ⋅sin(5𝑥) + sin(5𝑥-𝑥) = 0<br>sin(5𝑥) cos 𝑥+ cos(5𝑥) sin 𝑥+ √3 ⋅sin(5𝑥) + sin(5𝑥) cos 𝑥-cos(5𝑥) sin 𝑥= 0<br>sin(5𝑥) ⋅(2 cos 𝑥+ √3) = 0<br>sin(5𝑥) = 0 ∨ 2 cos 𝑥+ √3 = 0<br>5𝑥= 𝑘𝜋 ∨ cos 𝑥= -√3<br>2<br>𝑥= 𝑘𝜋<br>5 ∨ 𝑥= -5<br>6 𝜋+ 2𝜋𝑘 ∨ 𝑥= 5<br>6 𝜋+ 2𝜋𝑘<br>gdzie 𝑘∈ℤ.<br>Sposób II<br>Stosujemy wzór na sumę sinusów i przekształcamy równanie równoważnie, otrzymując:<br>sin(6𝑥) + √3 ⋅sin(5𝑥) + sin(4𝑥) = 0<br>2 sin 6𝑥+ 4𝑥<br>2<br>cos 6𝑥-4𝑥<br>2</p>\n<ul><li>√3 ⋅sin(5𝑥) = 0</li></ul>\n<p>2 sin(5𝑥) cos 𝑥+ √3 ⋅sin(5𝑥) = 0<br>sin(5𝑥) ⋅(2 cos 𝑥+ √3) = 0<br>sin(5𝑥) = 0 ∨ 2 cos 𝑥+ √3 = 0<br>5𝑥= 𝑘𝜋 ∨ cos 𝑥= -√3<br>2<br>𝑥= 𝑘𝜋<br>5 ∨ 𝑥= -5<br>6 𝜋+ 2𝜋𝑘 ∨ 𝑥= 5<br>6 𝜋+ 2𝜋𝑘<br>gdzie 𝑘∈ℤ.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[]}