{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"13","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-6)\nProsta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8\nw punktach 𝐴 oraz 𝐵, które są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷.\nWierzchołek 𝐴 ma pierwszą współrzędną ujemną. Wierzchołek 𝐶 leży na prostej\no równaniu 𝑦= -1\n2 𝑥+ 1 i ma pierwszą współrzędną dodatnią. Odległość punktu 𝐶 od\nprostej zawierającej bok 𝐴𝐵 równoległoboku jest równa 9√10\n5\nOblicz długość boku 𝐵𝐶 tego równoległoboku.\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13. (0-6)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n8.R1) oblicza odległość punktu od prostej.\nZasady oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nPierwszy etap polega na obliczeniu współrzędnych punktów 𝐴 oraz 𝐵. Za poprawne\nwykonanie tego etapu zdający otrzymuje 2 punkty.\nPodział punktów za pierwszy etap rozwiązania:\n2 pkt - obliczenie współrzędnych punktów 𝐴 oraz 𝐵 przecięcia paraboli i prostej\n3𝑥+ 𝑦= 2 = 0: 𝐴= (-3, 7) oraz 𝐵= (2, -8).\n1 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą (jedną ze współrzędnych punktu 𝐴 lub 𝐵),\nktóre wynika z układu równań { 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8\n3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 , np.\n3𝑥+ 𝑥2 -2𝑥-8 + 2 = 0, 𝑦= (-𝑦+2\n3 )\n2\n+ 2(𝑦+2)\n3\n-8.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nDrugi etap polega na obliczeniu współrzędnych punktu 𝐶. Za poprawne wykonanie tego\netapu zdający otrzymuje 3 punkty.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:\n3 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐶: 𝐶= (6, -2).\n2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą (pierwszą/drugą współrzędną punktu 𝐶), np.\n|3𝑐+(-1\n2𝑐+1)+2|\n√32+12\n= 9√10\n5\n1 pkt - uzależnienie drugiej/pierwszej współrzędnej punktu 𝐶 od pierwszej/drugiej\nwspółrzędnej, np. 𝐶= (𝑐, -1\n2 𝑐+ 1).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nTrzeci etap polega na obliczeniu długości boku 𝐵𝐶.\nZa poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\n1 pkt - obliczenie długości boku 𝐵𝐶 równoległoboku: |𝐵𝐶| = 2√13.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczamy współrzędne punktów przecięcia paraboli z prostą o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0:\n{ 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8\n3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0\n{ 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8\n3𝑥+ 𝑥2 -2𝑥-8 + 2 = 0\n{ 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8\n𝑥2 + 𝑥-6 = 0\n{ 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8\n𝑥= -3 ∨ 𝑥= 2\nStąd 𝐴= (-3 , 7) oraz 𝐵= (2 , -8).\nPunkt 𝐶 leży na prostej o równaniu 𝑦= -1\n2 𝑥+ 1 i ma pierwszą współrzędną dodatnią,\nwięc 𝐶= (𝑐, -1\n2 𝑐+ 1) przy pewnym 𝑐> 0.\nKorzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej i otrzymujemy kolejno:\n|3𝑐+ (-\n1\n2 𝑐+ 1) + 2|\n√32 + 12\n= 9√10\n5\n|2,5𝑐+ 3|\n√10\n= 9√10\n5\n|2,5𝑐+ 3| = 18\n𝑐= 6 ∨ 𝑐= -42\n5\nZatem 𝐶= (6, -2).\nObliczamy długość boku 𝐵𝐶:\n|𝐵𝐶| = √(6 -2)2 + (-2 + 8)2 = 2√13\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 13. (0-6)
Prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8
w punktach 𝐴 oraz 𝐵, które są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷.
Wierzchołek 𝐴 ma pierwszą współrzędną ujemną. Wierzchołek 𝐶 leży na prostej
o równaniu 𝑦= -1
2 𝑥+ 1 i ma pierwszą współrzędną dodatnią. Odległość punktu 𝐶 od
prostej zawierającej bok 𝐴𝐵 równoległoboku jest równa 9√10
5
Oblicz długość boku 𝐵𝐶 tego równoległoboku.

\n

EMAP-R0_100

\n

EMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 13. (0-6)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Zdający:
8.R1) oblicza odległość punktu od prostej.
Zasady oceniania
Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.
Pierwszy etap polega na obliczeniu współrzędnych punktów 𝐴 oraz 𝐵. Za poprawne
wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 2 punkty.
Podział punktów za pierwszy etap rozwiązania:
2 pkt - obliczenie współrzędnych punktów 𝐴 oraz 𝐵 przecięcia paraboli i prostej
3𝑥+ 𝑦= 2 = 0: 𝐴= (-3, 7) oraz 𝐵= (2, -8).
1 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą (jedną ze współrzędnych punktu 𝐴 lub 𝐵),
które wynika z układu równań { 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8
3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 , np.
3𝑥+ 𝑥2 -2𝑥-8 + 2 = 0, 𝑦= (-𝑦+2
3 )
2

\n\n

3
-8.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Drugi etap polega na obliczeniu współrzędnych punktu 𝐶. Za poprawne wykonanie tego
etapu zdający otrzymuje 3 punkty.
Podział punktów za drugi etap rozwiązania:
3 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐶: 𝐶= (6, -2).
2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą (pierwszą/drugą współrzędną punktu 𝐶), np.
|3𝑐+(-1
2𝑐+1)+2|
√32+12
= 9√10
5
1 pkt - uzależnienie drugiej/pierwszej współrzędnej punktu 𝐶 od pierwszej/drugiej
współrzędnej, np. 𝐶= (𝑐, -1
2 𝑐+ 1).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Trzeci etap polega na obliczeniu długości boku 𝐵𝐶.
Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
1 pkt - obliczenie długości boku 𝐵𝐶 równoległoboku: |𝐵𝐶| = 2√13.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Obliczamy współrzędne punktów przecięcia paraboli z prostą o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0:
{ 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8
3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0
{ 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8
3𝑥+ 𝑥2 -2𝑥-8 + 2 = 0
{ 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8
𝑥2 + 𝑥-6 = 0
{ 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8
𝑥= -3 ∨ 𝑥= 2
Stąd 𝐴= (-3 , 7) oraz 𝐵= (2 , -8).
Punkt 𝐶 leży na prostej o równaniu 𝑦= -1
2 𝑥+ 1 i ma pierwszą współrzędną dodatnią,
więc 𝐶= (𝑐, -1
2 𝑐+ 1) przy pewnym 𝑐> 0.
Korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej i otrzymujemy kolejno:
|3𝑐+ (-
1
2 𝑐+ 1) + 2|
√32 + 12
= 9√10
5
|2,5𝑐+ 3|
√10
= 9√10
5
|2,5𝑐+ 3| = 18
𝑐= 6 ∨ 𝑐= -42
5
Zatem 𝐶= (6, -2).
Obliczamy długość boku 𝐵𝐶:
|𝐵𝐶| = √(6 -2)2 + (-2 + 8)2 = 2√13
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[]}