{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"15","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (0-7)\nRozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma\ndługość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ramion trapezu.\na) Wykaż, że pole 𝑃 trapezu jako funkcja długości 𝑥 odcinka łączącego środki ramion\ntrapezu jest określone wzorem\n𝑃(𝑥) = 𝑥⋅√100 -𝑥2\nb) Wyznacz dziedzinę funkcji 𝑃(𝑥).\nc) Oblicz długość 𝑥 odcinka łączącego środki ramion tego z rozpatrywanych trapezów,\nktórego pole jest największe. Oblicz to największe pole.\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-R0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2015","answer":null,"answer_text":"Zadanie 15. (0-7)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n11.R6) stosuje pochodne do rozwiązywania\nzagadnień optymalizacyjnych.\nZasady oceniania\nCzęść a)\n2 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n1 pkt - zapisanie wysokości trapezu w zależności od długości 𝑥 odcinka łączącego środki\nramion trapezu: |𝐷𝐺| = √100 -𝑥2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nCzęść b)\n1 pkt - wyznaczenie dziedziny funkcji 𝑃: (0, 10).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nCzęść c)\n4 pkt - uzasadnienie, że funkcja 𝑔 przyjmuje wartość największą dla 𝑥= 5√2 i obliczenie\nwartości największej funkcji 𝑃: 50.\n3 pkt - uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja 𝑔 przyjmuje\nwartość największą dla 𝑥= 5√2\nALBO\n- przekształcenie nierówności\n√𝑥2+(√100-𝑥2)\n2\n2\n≥√𝑥⋅√100 -𝑥2 do postaci\n50 ≥𝑥⋅√100 -𝑥2 oraz zapisanie, że równość zachodzi tylko wtedy, gdy liczby 𝑥\noraz √100 -𝑥2 są równe,\nALBO\n- przekształcenie trójmianu 100𝑥2 -𝑥4 do postaci -(𝑥2 -50)2 + 2500\ni zapisanie, że 𝑔(𝑥) ≤2500, oraz rozwiązanie równania 𝑥2 -50 = 0 w zbiorze\nliczb dodatnich: 𝑥= 5√2.\n2 pkt - obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji 𝑔: 𝑥= 5√2\nALBO\n- obliczenie wartości 𝑥, dla której zachodzi równość średniej kwadratowej\ni geometrycznej liczb dodatnich 𝑥 oraz √100 -𝑥2: 𝑥= 5√2,\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- przekształcenie nierówności\n√𝑥2+(√100-𝑥2)\n2\n2\n≥√𝑥⋅√100 -𝑥2 do postaci\n50 ≥𝑥⋅√100 -𝑥2,\nALBO\n- przekształcenie trójmianu 100𝑥2 -𝑥4 do postaci -(𝑥2 -50)2 + 2500\ni zapisanie, że 𝑔(𝑥) ≤2500,\nALBO\n- przekształcenie trójmianu 100𝑥2 -𝑥4 do postaci -(𝑥2 -50)2 + 2500\ni rozwiązanie równania 𝑥2 -50 = 0 w zbiorze liczb dodatnich: 𝑥= 5√2.\n1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑔: 𝑔′(𝑥) = 200𝑥-4𝑥3\nALBO\n- zapisanie nierówności między średnią kwadratową a geometryczną liczb 𝑥 oraz\n√100 -𝑥2:\n√𝑥2 + (√100 -𝑥2)\n2\n2\n≥√𝑥⋅√100 -𝑥2\nALBO\n- przekształcenie trójmianu 100𝑥2 -𝑥4 do postaci -(𝑥2 -50)2 + 2500.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi do części c):\n1. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja posiada wartość największą dla\nwyznaczonej wartości 𝑥, przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy\nzdający bada znak pochodnej oraz:\n- opisuje (słownie lub graficznie - np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝑔\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑥 funkcja 𝑔 ma maksimum lokalne i jest to\njednocześnie jej największa wartość\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑥 funkcja 𝑔 ma maksimum lokalne i jest to\njedyne ekstremum tej funkcji.\nJeśli zdający nie przedstawi takiego uzasadnienia to za część c) może otrzymać co\nnajwyżej 2 punkty.\n2. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres\nfunkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku,\nnp. znakami „+” i „-”, znak pochodnej.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\na)\nRozpatrzmy trapez równoramienny 𝐴𝐵𝐶𝐷 o podstawach 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷, ramionach 𝐴𝐷 i 𝐵𝐶,\nw którym każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝐷𝐺 będzie wysokością trapezu\npoprowadzoną z wierzchołka 𝐷 na podstawę 𝐴𝐵 trapezu. Oznaczmy przez 𝐸 środek\nboku 𝐴𝐷 oraz przez 𝐹 - środek boku 𝐵𝐶 (zobacz rysunek). Niech 𝑥 oznacza długość\nodcinka łączącego środki ramion trapezu.\nTrapez jest równoramienny, więc |𝐵𝐺| = |𝐴𝐵| -|𝐴𝐺| =\n|𝐴𝐵|+|𝐶𝐷|\n2\n= |𝐸𝐹| = 𝑥.\nStosujemy do trójkąta 𝐵𝐷𝐺 twierdzenie Pitagorasa i otrzymujemy\n|𝐵𝐺|2 + |𝐷𝐺|2 = |𝐵𝐷|2\n|𝐷𝐺| = √|𝐵𝐷|2 -|𝐵𝐺|2\n|𝐷𝐺| = √100 -𝑥2\nZatem pole 𝑃 trapezu jest równe 𝑃=\n|𝐴𝐵|+|𝐶𝐷|\n2\n⋅|𝐷𝐺| = 𝑥⋅√100 -𝑥2.\nb)\nPonieważ |𝐸𝐹| = 𝑥> 0 oraz |𝐷𝐺| > 0 i |𝐷𝐺|2 = |𝐵𝐷|2 -|𝐵𝐺|2 = 100 -𝑥2, więc\n𝑥> 0 i 100 -𝑥2 > 0. Stąd 𝑥∈(0, 10). Dziedziną funkcji 𝑃 jest zbiór (0, 10).\nc)\nSposób I\nPrzekształcamy wzór funkcji 𝑃 do postaci 𝑃(𝑥) = √100𝑥2 -𝑥4, gdzie 𝑥∈(0, 10).\nObliczamy największą wartość funkcji 𝑃.\nPonieważ funkcja 𝑓(𝑡) = √𝑡 określona dla 𝑡≥0 jest rosnąca, więc funkcja 𝑃 osiąga\nwartość największą dla takiego argumentu 𝑥, dla którego funkcja 𝑔(𝑥) = 100𝑥2 -𝑥4\nokreślona dla 𝑥∈(0, 10) osiąga wartość największą.\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑔: 𝑔′(𝑥) = 200𝑥-4𝑥3 dla 𝑥∈(0, 10).\nObliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑔:\n𝑔′(𝑥) = 0\n200𝑥-4𝑥3 = 0\n-4𝑥(𝑥2 -50) = 0\n𝑥= 0 ∉(0, 10) ∨ 𝑥= -5√2 ∉(0,10) ∨ 𝑥= 5√2 ∈(0,10)\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐺\n𝐸\n𝐹\n𝑥\n10\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nBadamy znak pochodnej:\n𝑔′(𝑥) < 0 dla 𝑥∈(5√2, 10)\n𝑔′(𝑥) > 0 dla 𝑥∈(0, 5√2).\nZatem funkcja 𝑔 jest rosnąca w przedziale (0, 5√2⟩ oraz malejąca w przedziale\n⟨5√2, 10).\nStąd dla 𝑥= 5√2 funkcja 𝑔 osiąga wartość największą.\nZatem funkcja 𝑃 osiąga wartość największą dla 𝑥= 5√2. Wtedy\n𝑃(5√2) = √100 ⋅(5√2)\n2 -(5√2)\n4 = √5000 -2500 = √2500 = 50\nSpośród rozważanych trapezów największe pole równe 50 ma trapez, w którym odcinek\nłączący środki ramion trapezu ma długość 5√2.\nSposób II\nGdy 𝑥∈(0, 10), to liczby 𝑥 oraz √100 -𝑥2 są dodatnie. Z nierówności między średnią\nkwadratową a geometryczną liczb dodatnich 𝑥 i √100 -𝑥2 otrzymujemy:\n√𝑥2 + (√100 -𝑥2)\n2\n2\n≥√𝑥⋅√100 -𝑥2 /(\n)2\n𝑥2 + 100 -𝑥2\n2\n≥𝑥⋅√100 -𝑥2\n50 ≥𝑃(𝑥)\nprzy czym równość zachodzi tylko dla tych 𝑥, dla których 𝑥= √100 -𝑥2 i jednocześnie\n𝑥∈(0, 10), tj. dla 𝑥= 5√2.\nZatem funkcja 𝑃 osiąga wartość największą dla 𝑥= 5√2 i wtedy\n𝑃(5√2) = 5√2 ⋅√100 -(5√2)\n2 = 50\nSpośród rozważanych trapezów największe pole równe 50 ma trapez, w którym odcinek\nłączący środki ramion trapezu ma długość 5√2.\nSposób III\nPrzekształcamy wzór funkcji 𝑃 do postaci 𝑃(𝑥) = √100𝑥2 -𝑥4, gdzie 𝑥∈(0, 10).\nObliczamy największą wartość funkcji 𝑃.\nPonieważ funkcja 𝑓(𝑡) = √𝑡 określona dla 𝑡≥0 jest rosnąca, więc funkcja 𝑃 osiąga\nwartość największą dla takiego argumentu 𝑥, dla którego funkcja 𝑔(𝑥) = 100𝑥2 -𝑥4\nokreślona dla 𝑥∈(0, 10) osiąga wartość największą.\nPrzekształcamy wzór funkcji 𝑔:\n𝑔(𝑥) = 100𝑥2 -𝑥4 = -(𝑥4 -100𝑥2 + 2500) + 2500 = -(𝑥2 -50)2 + 2500\nKwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc 𝑔(𝑥) ≤2500, przy czym równość\nzachodzi tylko gdy 𝑥2 -50 = 0 oraz 𝑥∈(0, 10), tj. dla 𝑥= 5√2.\nStąd dla 𝑥= 5√2 funkcja 𝑔 osiąga wartość największą.\nZatem funkcja 𝑃 osiąga wartość największą dla 𝑥= 5√2. Wtedy\n𝑃(5√2) = √100 ⋅(5√2)\n2 -(5√2)\n4 = √5000 -2500 = √2500 = 50\nSpośród rozważanych trapezów największe pole równe 50 ma trapez, w którym odcinek\nłączący środki ramion trapezu ma długość 5√2.","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 15. (0-7)<br>Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma<br>długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ramion trapezu.<br>a) Wykaż, że pole 𝑃 trapezu jako funkcja długości 𝑥 odcinka łączącego środki ramion<br>trapezu jest określone wzorem<br>𝑃(𝑥) = 𝑥⋅√100 -𝑥2<br>b) Wyznacz dziedzinę funkcji 𝑃(𝑥).<br>c) Oblicz długość 𝑥 odcinka łączącego środki ramion tego z rozpatrywanych trapezów,<br>którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>\n<p>EMAP-R0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>\n<p>MATEMATYKA<br>Poziom rozszerzony<br>Formuła 2015<br>MATEMATYKA<br>Poziom rozszerzony<br>Formuła 2015<br>MATEMATYKA<br>Poziom rozszerzony<br>Formuła 2015</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 15. (0-7)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Modelowanie matematyczne.<br>Zdający:<br>11.R6) stosuje pochodne do rozwiązywania<br>zagadnień optymalizacyjnych.<br>Zasady oceniania<br>Część a)<br>2 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania.<br>1 pkt - zapisanie wysokości trapezu w zależności od długości 𝑥 odcinka łączącego środki<br>ramion trapezu: |𝐷𝐺| = √100 -𝑥2.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Część b)<br>1 pkt - wyznaczenie dziedziny funkcji 𝑃: (0, 10).<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Część c)<br>4 pkt - uzasadnienie, że funkcja 𝑔 przyjmuje wartość największą dla 𝑥= 5√2 i obliczenie<br>wartości największej funkcji 𝑃: 50.<br>3 pkt - uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja 𝑔 przyjmuje<br>wartość największą dla 𝑥= 5√2<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie nierówności</li></ul>\n<p>√𝑥2+(√100-𝑥2)<br>2<br>2<br>≥√𝑥⋅√100 -𝑥2 do postaci<br>50 ≥𝑥⋅√100 -𝑥2 oraz zapisanie, że równość zachodzi tylko wtedy, gdy liczby 𝑥<br>oraz √100 -𝑥2 są równe,<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie trójmianu 100𝑥2 -𝑥4 do postaci -(𝑥2 -50)2 + 2500</li></ul>\n<p>i zapisanie, że 𝑔(𝑥) ≤2500, oraz rozwiązanie równania 𝑥2 -50 = 0 w zbiorze<br>liczb dodatnich: 𝑥= 5√2.<br>2 pkt - obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji 𝑔: 𝑥= 5√2<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie wartości 𝑥, dla której zachodzi równość średniej kwadratowej</li></ul>\n<p>i geometrycznej liczb dodatnich 𝑥 oraz √100 -𝑥2: 𝑥= 5√2,<br>ALBO<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>\n<ul><li>przekształcenie nierówności</li></ul>\n<p>√𝑥2+(√100-𝑥2)<br>2<br>2<br>≥√𝑥⋅√100 -𝑥2 do postaci<br>50 ≥𝑥⋅√100 -𝑥2,<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie trójmianu 100𝑥2 -𝑥4 do postaci -(𝑥2 -50)2 + 2500</li></ul>\n<p>i zapisanie, że 𝑔(𝑥) ≤2500,<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie trójmianu 100𝑥2 -𝑥4 do postaci -(𝑥2 -50)2 + 2500</li></ul>\n<p>i rozwiązanie równania 𝑥2 -50 = 0 w zbiorze liczb dodatnich: 𝑥= 5√2.<br>1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑔: 𝑔′(𝑥) = 200𝑥-4𝑥3<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie nierówności między średnią kwadratową a geometryczną liczb 𝑥 oraz</li></ul>\n<p>√100 -𝑥2:<br>√𝑥2 + (√100 -𝑥2)<br>2<br>2<br>≥√𝑥⋅√100 -𝑥2<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie trójmianu 100𝑥2 -𝑥4 do postaci -(𝑥2 -50)2 + 2500.</li></ul>\n<p>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi do części c):</p>\n<ol><li>Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja posiada wartość największą dla</li></ol>\n<p>wyznaczonej wartości 𝑥, przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy<br>zdający bada znak pochodnej oraz:</p>\n<ul><li>opisuje (słownie lub graficznie - np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝑔</li></ul>\n<p>LUB</p>\n<ul><li>zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑥 funkcja 𝑔 ma maksimum lokalne i jest to</li></ul>\n<p>jednocześnie jej największa wartość<br>LUB</p>\n<ul><li>zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑥 funkcja 𝑔 ma maksimum lokalne i jest to</li></ul>\n<p>jedyne ekstremum tej funkcji.<br>Jeśli zdający nie przedstawi takiego uzasadnienia to za część c) może otrzymać co<br>najwyżej 2 punkty.</p>\n<ol><li>Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres</li></ol>\n<p>funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku,<br>np. znakami „+” i „-”, znak pochodnej.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>a)<br>Rozpatrzmy trapez równoramienny 𝐴𝐵𝐶𝐷 o podstawach 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷, ramionach 𝐴𝐷 i 𝐵𝐶,<br>w którym każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝐷𝐺 będzie wysokością trapezu<br>poprowadzoną z wierzchołka 𝐷 na podstawę 𝐴𝐵 trapezu. Oznaczmy przez 𝐸 środek<br>boku 𝐴𝐷 oraz przez 𝐹 - środek boku 𝐵𝐶 (zobacz rysunek). Niech 𝑥 oznacza długość<br>odcinka łączącego środki ramion trapezu.<br>Trapez jest równoramienny, więc |𝐵𝐺| = |𝐴𝐵| -|𝐴𝐺| =<br>|𝐴𝐵|+|𝐶𝐷|<br>2<br>= |𝐸𝐹| = 𝑥.<br>Stosujemy do trójkąta 𝐵𝐷𝐺 twierdzenie Pitagorasa i otrzymujemy<br>|𝐵𝐺|2 + |𝐷𝐺|2 = |𝐵𝐷|2<br>|𝐷𝐺| = √|𝐵𝐷|2 -|𝐵𝐺|2<br>|𝐷𝐺| = √100 -𝑥2<br>Zatem pole 𝑃 trapezu jest równe 𝑃=<br>|𝐴𝐵|+|𝐶𝐷|<br>2<br>⋅|𝐷𝐺| = 𝑥⋅√100 -𝑥2.<br>b)<br>Ponieważ |𝐸𝐹| = 𝑥&gt; 0 oraz |𝐷𝐺| &gt; 0 i |𝐷𝐺|2 = |𝐵𝐷|2 -|𝐵𝐺|2 = 100 -𝑥2, więc<br>𝑥&gt; 0 i 100 -𝑥2 &gt; 0. Stąd 𝑥∈(0, 10). Dziedziną funkcji 𝑃 jest zbiór (0, 10).<br>c)<br>Sposób I<br>Przekształcamy wzór funkcji 𝑃 do postaci 𝑃(𝑥) = √100𝑥2 -𝑥4, gdzie 𝑥∈(0, 10).<br>Obliczamy największą wartość funkcji 𝑃.<br>Ponieważ funkcja 𝑓(𝑡) = √𝑡 określona dla 𝑡≥0 jest rosnąca, więc funkcja 𝑃 osiąga<br>wartość największą dla takiego argumentu 𝑥, dla którego funkcja 𝑔(𝑥) = 100𝑥2 -𝑥4<br>określona dla 𝑥∈(0, 10) osiąga wartość największą.<br>Wyznaczamy pochodną funkcji 𝑔: 𝑔′(𝑥) = 200𝑥-4𝑥3 dla 𝑥∈(0, 10).<br>Obliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑔:<br>𝑔′(𝑥) = 0<br>200𝑥-4𝑥3 = 0<br>-4𝑥(𝑥2 -50) = 0<br>𝑥= 0 ∉(0, 10) ∨ 𝑥= -5√2 ∉(0,10) ∨ 𝑥= 5√2 ∈(0,10)<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷<br>𝐺<br>𝐸<br>𝐹<br>𝑥<br>10<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Badamy znak pochodnej:<br>𝑔′(𝑥) &lt; 0 dla 𝑥∈(5√2, 10)<br>𝑔′(𝑥) &gt; 0 dla 𝑥∈(0, 5√2).<br>Zatem funkcja 𝑔 jest rosnąca w przedziale (0, 5√2⟩ oraz malejąca w przedziale<br>⟨5√2, 10).<br>Stąd dla 𝑥= 5√2 funkcja 𝑔 osiąga wartość największą.<br>Zatem funkcja 𝑃 osiąga wartość największą dla 𝑥= 5√2. Wtedy<br>𝑃(5√2) = √100 ⋅(5√2)<br>2 -(5√2)<br>4 = √5000 -2500 = √2500 = 50<br>Spośród rozważanych trapezów największe pole równe 50 ma trapez, w którym odcinek<br>łączący środki ramion trapezu ma długość 5√2.<br>Sposób II<br>Gdy 𝑥∈(0, 10), to liczby 𝑥 oraz √100 -𝑥2 są dodatnie. Z nierówności między średnią<br>kwadratową a geometryczną liczb dodatnich 𝑥 i √100 -𝑥2 otrzymujemy:<br>√𝑥2 + (√100 -𝑥2)<br>2<br>2<br>≥√𝑥⋅√100 -𝑥2 /(<br>)2<br>𝑥2 + 100 -𝑥2<br>2<br>≥𝑥⋅√100 -𝑥2<br>50 ≥𝑃(𝑥)<br>przy czym równość zachodzi tylko dla tych 𝑥, dla których 𝑥= √100 -𝑥2 i jednocześnie<br>𝑥∈(0, 10), tj. dla 𝑥= 5√2.<br>Zatem funkcja 𝑃 osiąga wartość największą dla 𝑥= 5√2 i wtedy<br>𝑃(5√2) = 5√2 ⋅√100 -(5√2)<br>2 = 50<br>Spośród rozważanych trapezów największe pole równe 50 ma trapez, w którym odcinek<br>łączący środki ramion trapezu ma długość 5√2.<br>Sposób III<br>Przekształcamy wzór funkcji 𝑃 do postaci 𝑃(𝑥) = √100𝑥2 -𝑥4, gdzie 𝑥∈(0, 10).<br>Obliczamy największą wartość funkcji 𝑃.<br>Ponieważ funkcja 𝑓(𝑡) = √𝑡 określona dla 𝑡≥0 jest rosnąca, więc funkcja 𝑃 osiąga<br>wartość największą dla takiego argumentu 𝑥, dla którego funkcja 𝑔(𝑥) = 100𝑥2 -𝑥4<br>określona dla 𝑥∈(0, 10) osiąga wartość największą.<br>Przekształcamy wzór funkcji 𝑔:<br>𝑔(𝑥) = 100𝑥2 -𝑥4 = -(𝑥4 -100𝑥2 + 2500) + 2500 = -(𝑥2 -50)2 + 2500<br>Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc 𝑔(𝑥) ≤2500, przy czym równość<br>zachodzi tylko gdy 𝑥2 -50 = 0 oraz 𝑥∈(0, 10), tj. dla 𝑥= 5√2.<br>Stąd dla 𝑥= 5√2 funkcja 𝑔 osiąga wartość największą.<br>Zatem funkcja 𝑃 osiąga wartość największą dla 𝑥= 5√2. Wtedy<br>𝑃(5√2) = √100 ⋅(5√2)<br>2 -(5√2)<br>4 = √5000 -2500 = √2500 = 50<br>Spośród rozważanych trapezów największe pole równe 50 ma trapez, w którym odcinek<br>łączący środki ramion trapezu ma długość 5√2.</p>","solutions":[]}