{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-3)\nDoświadczenie losowe polega na dziesięciokrotnym rzucie symetryczną monetą.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tym doświadczeniu\nlosowym orzeł wypadł dokładnie trzy razy z rzędu, jeśli wiadomo, że wypadł dokładnie trzy\nrazy.\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n10.R2) oblicza prawdopodobieństwo\nwarunkowe.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 1\n15 .\n2 pkt - zapisanie liczby elementów zbioru 𝐴∩𝐵 i wyznaczenie/zapisanie liczby elementów\nzbioru 𝐵: |𝐴∩𝐵| = 8 i |𝐵| = (10\n3 )\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- wyznaczenie/zapisanie prawdopodobieństwa zdarzeń 𝐴∩𝐵 oraz 𝐵:\n𝑃(𝐴∩𝐵) = 8\n210 oraz 𝑃(𝐵) =\n(10\n3 )\n210 .\n1 pkt - zapisanie liczby elementów zbioru 𝐴∩𝐵: 8\nALBO\n- wyznaczenie/zapisanie liczby elementów zbioru 𝐵, np. (10\n3 ),\nALBO\n- wyznaczenie/zapisanie prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐵, np. 𝑃(𝐵) =\n(10\n3 )\n210 ,\nALBO\n- wyznaczenie/zapisanie prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴∩𝐵, np. 𝑃(𝐴∩𝐵) = 8\n210.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝐴 - zdarzenie polegające na wyrzuceniu trzech orłów z rzędu w dziesięciu rzutach monetą,\n𝐵 - zdarzenie polegające na wyrzuceniu trzech orłów w dziesięciu rzutach monetą,\nΩ - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych.\nWynikiem każdego rzutu jest orzeł (𝑜) lub reszka (𝑟). Wynikiem doświadczenia losowego\njest dziesięciowyrazowy ciąg o wyrazach ze zbioru {𝑜, 𝑟}. Zatem liczba elementów zbioru Ω\njest równa 210 = 1024.\nObliczamy liczbę elementów zbioru 𝐵: |𝐵| = (10\n3 ) = 120.\nZdarzenie 𝐴∩𝐵 polega na wyrzuceniu w dziesięciu rzutach dokładnie trzech orłów i to\ntrzech orłów z rzędu. Obliczamy liczbę elementów zbioru 𝐴∩𝐵: |𝐴∩𝐵| = 8.\nObliczamy prawdopodobieństwo 𝑃(𝐴|𝐵):\n𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴∩𝐵)\n𝑃(𝐵)\n|𝐴∩𝐵|\n|Ω|\n|𝐵|\n|Ω|\n8\n1024\n120\n1024\n8\n120 = 1\n15\nUwagi:\n1. Zdający może rozwiązać zadanie poprzez obliczenie prawdopodobieństw zdarzeń 𝐵 oraz\n𝐴∩𝐵.\n2. Zdający może obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐵, korzystając ze schematu\nBernoullego. Sukcesem w pojedynczej próbie jest wyrzucenie orła. Prawdopodobieństwo\n𝑝 sukcesu jest równe 𝑝= 1\n2 . Przy liczbie prób 𝑛= 10 oraz liczbie sukcesów 𝑘= 3\notrzymujemy\n𝑃(𝐵) = (𝑛\n𝑘) ⋅𝑝𝑘⋅(1 -𝑝)𝑛-𝑘= (10\n3 ) ⋅(1\n2)\n3\n⋅(1 -1\n2)\n7\n= 120\n210","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 6. (0-3)<br>Doświadczenie losowe polega na dziesięciokrotnym rzucie symetryczną monetą.<br>Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tym doświadczeniu<br>losowym orzeł wypadł dokładnie trzy razy z rzędu, jeśli wiadomo, że wypadł dokładnie trzy<br>razy.</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 6. (0-3)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Modelowanie matematyczne.<br>Zdający:<br>10.R2) oblicza prawdopodobieństwo<br>warunkowe.<br>Zasady oceniania<br>3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 1<br>15 .<br>2 pkt - zapisanie liczby elementów zbioru 𝐴∩𝐵 i wyznaczenie/zapisanie liczby elementów<br>zbioru 𝐵: |𝐴∩𝐵| = 8 i |𝐵| = (10<br>3 )<br>ALBO<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>\n<ul><li>wyznaczenie/zapisanie prawdopodobieństwa zdarzeń 𝐴∩𝐵 oraz 𝐵:</li></ul>\n<p>𝑃(𝐴∩𝐵) = 8<br>210 oraz 𝑃(𝐵) =<br>(10<br>3 )<br>210 .<br>1 pkt - zapisanie liczby elementów zbioru 𝐴∩𝐵: 8<br>ALBO</p>\n<ul><li>wyznaczenie/zapisanie liczby elementów zbioru 𝐵, np. (10</li></ul>\n<p>3 ),<br>ALBO</p>\n<ul><li>wyznaczenie/zapisanie prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐵, np. 𝑃(𝐵) =</li></ul>\n<p>(10<br>3 )<br>210 ,<br>ALBO</p>\n<ul><li>wyznaczenie/zapisanie prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴∩𝐵, np. 𝑃(𝐴∩𝐵) = 8</li></ul>\n<p>210.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Przyjmijmy następujące oznaczenia:<br>𝐴 - zdarzenie polegające na wyrzuceniu trzech orłów z rzędu w dziesięciu rzutach monetą,<br>𝐵 - zdarzenie polegające na wyrzuceniu trzech orłów w dziesięciu rzutach monetą,<br>Ω - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych.<br>Wynikiem każdego rzutu jest orzeł (𝑜) lub reszka (𝑟). Wynikiem doświadczenia losowego<br>jest dziesięciowyrazowy ciąg o wyrazach ze zbioru {𝑜, 𝑟}. Zatem liczba elementów zbioru Ω<br>jest równa 210 = 1024.<br>Obliczamy liczbę elementów zbioru 𝐵: |𝐵| = (10<br>3 ) = 120.<br>Zdarzenie 𝐴∩𝐵 polega na wyrzuceniu w dziesięciu rzutach dokładnie trzech orłów i to<br>trzech orłów z rzędu. Obliczamy liczbę elementów zbioru 𝐴∩𝐵: |𝐴∩𝐵| = 8.<br>Obliczamy prawdopodobieństwo 𝑃(𝐴|𝐵):<br>𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴∩𝐵)<br>𝑃(𝐵)<br>|𝐴∩𝐵|<br>|Ω|<br>|𝐵|<br>|Ω|<br>8<br>1024<br>120<br>1024<br>8<br>120 = 1<br>15<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Zdający może rozwiązać zadanie poprzez obliczenie prawdopodobieństw zdarzeń 𝐵 oraz</li></ol>\n<p>𝐴∩𝐵.</p>\n<ol><li>Zdający może obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐵, korzystając ze schematu</li></ol>\n<p>Bernoullego. Sukcesem w pojedynczej próbie jest wyrzucenie orła. Prawdopodobieństwo<br>𝑝 sukcesu jest równe 𝑝= 1<br>2 . Przy liczbie prób 𝑛= 10 oraz liczbie sukcesów 𝑘= 3<br>otrzymujemy<br>𝑃(𝐵) = (𝑛<br>𝑘) ⋅𝑝𝑘⋅(1 -𝑝)𝑛-𝑘= (10<br>3 ) ⋅(1<br>2)<br>3<br>⋅(1 -1<br>2)<br>7<br>= 120<br>210</p>","solutions":[]}