{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"7","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-3)\nWykaż, że dla każdej liczby dodatniej 𝑎 i każdej liczby dodatniej 𝑏 takich, że 𝑎+ 𝑏= 1,\nprawdziwa jest nierówność\n1\n2𝑎+ 𝑏+\n1\n𝑎+ 2𝑏≥4\n3\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n3.R7) rozwiązuje proste nierówności\nwymierne […].\nZasady oceniania\n3 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n2 pkt - wykorzystanie założenia i przekształcenie nierówności\n1\n2𝑎 + 𝑏+\n1\n𝑎 + 2𝑏≥4\n3 do\npostaci 4𝑎2 -4𝑎+ 1 ≥0, 4𝑏2 -4𝑏+ 1 ≥0 albo 𝑎2 -2𝑎𝑏+ 𝑏2 ≥0\nALBO\n- zapisanie nierówności między odpowiednimi średnimi liczb\n1\n2𝑎 + 𝑏 oraz\n1\n𝑎 + 2𝑏 (lub\nmiędzy odpowiednimi średnimi liczb 2𝑎+ 𝑏 oraz 𝑎+ 2𝑏) i przekształcenie tej\nnierówności do postaci, z której można bezpośrednio wnioskować o prawdziwości\ntezy, np. 3\n2 ≥\n2\n1\n2𝑎+𝑏 +\n1\n𝑎+2𝑏\n1 pkt - zapisanie nierówności w postaci równoważnej jako nierówności wymiernej\n𝑃(𝑎,𝑏)\n𝑄(𝑎,𝑏) ≥0, np. 3(𝑎+2𝑏)+3(2𝑎+𝑏)-4(𝑎+2𝑏)(2𝑎+𝑏)\n3(2𝑎+𝑏)(𝑎+2𝑏)\n≥0\nALBO\n- zapisanie nierówności w postaci równoważnej jako nierówności wielomianowej, np.\n3(1 + 𝑏) + 3(𝑎+ 1) ≥4(𝑎+ 1)(1 + 𝑏),\nALBO\n- zapisanie nierówności między średnią harmoniczną a arytmetyczną liczb\n1\n2𝑎 + 𝑏\noraz\n1\n𝑎 + 2𝑏 (lub między odpowiednimi średnimi liczb 2𝑎+ 𝑏 oraz 𝑎+ 2𝑏), np.\n1\n2𝑎+𝑏+\n1\n𝑎+2𝑏\n2\n≥\n2\n1\n1\n2𝑎+𝑏\n1\n1\n𝑎+2𝑏\n, 2𝑎+𝑏+𝑎+2𝑏\n2\n≥\n2\n1\n2𝑎+𝑏+\n1\n𝑎+2𝑏\n,\nALBO\n- wykorzystanie założenia i zapisanie nierówności w postaci równoważnej jako\nnierówności wymiernej z jedną niewiadomą, np.\n1\n2𝑎 +(1-𝑎) +\n1\n𝑎 + 2(1-𝑎) ≥4\n3 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPonieważ 𝑎> 0 i 𝑏> 0, więc (2𝑎 + 𝑏)(𝑎+ 2𝑏) > 0.\nPrzekształcamy równoważnie nierówność\n1\n2𝑎 + 𝑏+\n1\n𝑎 + 2𝑏≥4\n3 i otrzymujemy:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n1\n2𝑎 + 𝑏+\n1\n𝑎 + 2𝑏≥4\n3\n3(𝑎+ 2𝑏)\n3(2𝑎 + 𝑏)(𝑎+ 2𝑏) +\n3(2𝑎+ 𝑏)\n3(𝑎 + 2𝑏)(2𝑎+ 𝑏) -4(𝑎+ 2𝑏)(2𝑎+ 𝑏)\n3(𝑎+ 2𝑏)(2𝑎+ 𝑏) ≥0\n3𝑎+ 6𝑏+ 6𝑎+ 3𝑏-8𝑎2 -20𝑎𝑏-8𝑏2\n3(2𝑎 + 𝑏)(𝑎+ 2𝑏)\n≥0\n9𝑎+ 9𝑏-8𝑎2 -20𝑎𝑏-8𝑏2\n3(2𝑎 + 𝑏)(𝑎+ 2𝑏)\n≥0\n9𝑎+ 9𝑏-8𝑎2 -20𝑎𝑏-8𝑏2 ≥0\nKorzystamy z założenia i otrzymujemy dalej\n9𝑎+ 9(1 -𝑎) -8𝑎2 -20𝑎(1 -𝑎) -8(1 -𝑎)2 ≥0\n4𝑎2 -4𝑎+ 1 ≥0\n(2𝑎-1)2 ≥0\nKwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc nierówność (2𝑎-1)2 ≥0\njest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎. To oznacza, że nierówność\n1\n2𝑎 + 𝑏+\n1\n𝑎 + 2𝑏≥4\n3 jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej 𝑎 i dla każdej\nliczby rzeczywistej dodatniej 𝑏 takich, że 𝑎+ 𝑏= 1.\nSposób II\nKorzystamy z założenia 𝑎+ 𝑏= 1 i nierówność\n1\n2𝑎 + 𝑏+\n1\n𝑎 + 2𝑏≥4\n3 zapisujemy\nw postaci\n1\n𝑎 + 1 +\n1\n1 + 𝑏≥4\n3\nMnożymy obie strony tej nierówności przez liczbę dodatnią 3(𝑎+ 1)(1 + 𝑏) i ponownie\nkorzystamy z założenia, otrzymując kolejno:\n3(1 + 𝑏) + 3(𝑎+ 1) ≥4(𝑎+ 1)(1 + 𝑏)\n2 -(𝑎+ 𝑏) ≥4𝑎𝑏\n1 ≥4𝑎𝑏\n(𝑎+ 𝑏)2 ≥4𝑎𝑏\n(𝑎-𝑏)2 ≥0\nPonieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc nierówność\n(𝑎-𝑏)2 ≥0 jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 i każdej liczby\nrzeczywistej 𝑏. To oznacza, że nierówność\n1\n2𝑎 + 𝑏+\n1\n𝑎 + 2𝑏≥4\n3 jest prawdziwa dla każdej\nliczby rzeczywistej dodatniej 𝑎 i dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej 𝑏 takich, że\n𝑎+ 𝑏= 1.\nSposób III\nKorzystamy z nierówności między średnią arytmetyczną a harmoniczną dla liczb dodatnich\n1\n2𝑎 + 𝑏 oraz\n1\n𝑎 + 2𝑏 i otrzymujemy:\n1\n2𝑎+𝑏+\n1\n𝑎+2𝑏\n2\n≥\n2\n1\n1\n2𝑎+𝑏\n1\n1\n𝑎+2𝑏\n1\n2𝑎+𝑏+\n1\n𝑎+2𝑏\n2\n≥\n2\n2𝑎+ 𝑏+ 𝑎+ 2𝑏\n1\n2𝑎+𝑏+\n1\n𝑎+2𝑏\n2\n≥\n2\n3(𝑎+ 𝑏)\n1\n2𝑎 + 𝑏+\n1\n𝑎 + 2𝑏≥\n4\n3(𝑎+ 𝑏)\nPo skorzystaniu z założenia 𝑎+ 𝑏= 1 otrzymujemy tezę.\nSposób IV\nKorzystamy z założenia 𝑎+ 𝑏= 1 i nierówność\n1\n2𝑎 + 𝑏+\n1\n𝑎 + 2𝑏≥4\n3 zapisujemy\nw postaci\n1\n2𝑎 + 1 -𝑎+\n1\n𝑎+ 2(1 -𝑎) ≥4\n3\nMnożymy obie strony tej nierówności przez liczbę dodatnią 3(𝑎+ 1)(2 -𝑎) i otrzymujemy\nkolejno:\n1\n𝑎 + 1 +\n1\n2 -𝑎≥4\n3\n3(2 -𝑎) + 3(𝑎+ 1) ≥4(𝑎+ 1)(2 -𝑎)\n6 -3𝑎+ 3𝑎+ 3 ≥-4𝑎2 + 4𝑎+ 8\n4𝑎2 -4𝑎+ 1 ≥0\n(2𝑎-1)2 ≥0\nPonieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc nierówność\n(2𝑎-1)2 ≥0 jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎, więc w szczególności dla\nkażdego 𝑎∈(0, 1). To oznacza, że nierówność\n1\n2𝑎 + 𝑏+\n1\n𝑎 + 2𝑏≥4\n3 jest prawdziwa dla\nkażdej liczby rzeczywistej dodatniej 𝑎 i dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej 𝑏 takich, że\n𝑎+ 𝑏= 1.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 7. (0-3)
Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej 𝑎 i każdej liczby dodatniej 𝑏 takich, że 𝑎+ 𝑏= 1,
prawdziwa jest nierówność
1
2𝑎+ 𝑏+
1
𝑎+ 2𝑏≥4
3

\n

EMAP-R0_100

\n

EMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 7. (0-3)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
V. Rozumowanie i argumentacja.
Zdający:
3.R7) rozwiązuje proste nierówności
wymierne […].
Zasady oceniania
3 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania.
2 pkt - wykorzystanie założenia i przekształcenie nierówności
1
2𝑎 + 𝑏+
1
𝑎 + 2𝑏≥4
3 do
postaci 4𝑎2 -4𝑎+ 1 ≥0, 4𝑏2 -4𝑏+ 1 ≥0 albo 𝑎2 -2𝑎𝑏+ 𝑏2 ≥0
ALBO

\n\n

1
2𝑎 + 𝑏 oraz
1
𝑎 + 2𝑏 (lub
między odpowiednimi średnimi liczb 2𝑎+ 𝑏 oraz 𝑎+ 2𝑏) i przekształcenie tej
nierówności do postaci, z której można bezpośrednio wnioskować o prawdziwości
tezy, np. 3
2 ≥
2
1
2𝑎+𝑏 +
1
𝑎+2𝑏
1 pkt - zapisanie nierówności w postaci równoważnej jako nierówności wymiernej
𝑃(𝑎,𝑏)
𝑄(𝑎,𝑏) ≥0, np. 3(𝑎+2𝑏)+3(2𝑎+𝑏)-4(𝑎+2𝑏)(2𝑎+𝑏)
3(2𝑎+𝑏)(𝑎+2𝑏)
≥0
ALBO

\n\n

3(1 + 𝑏) + 3(𝑎+ 1) ≥4(𝑎+ 1)(1 + 𝑏),
ALBO

\n\n

1
2𝑎 + 𝑏
oraz
1
𝑎 + 2𝑏 (lub między odpowiednimi średnimi liczb 2𝑎+ 𝑏 oraz 𝑎+ 2𝑏), np.
1
2𝑎+𝑏+
1
𝑎+2𝑏
2
≥
2
1
1
2𝑎+𝑏
1
1
𝑎+2𝑏
, 2𝑎+𝑏+𝑎+2𝑏
2
≥
2
1
2𝑎+𝑏+
1
𝑎+2𝑏
,
ALBO

\n\n

nierówności wymiernej z jedną niewiadomą, np.
1
2𝑎 +(1-𝑎) +
1
𝑎 + 2(1-𝑎) ≥4
3 .
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Ponieważ 𝑎> 0 i 𝑏> 0, więc (2𝑎 + 𝑏)(𝑎+ 2𝑏) > 0.
Przekształcamy równoważnie nierówność
1
2𝑎 + 𝑏+
1
𝑎 + 2𝑏≥4
3 i otrzymujemy:
Zasady oceniania rozwiązań zadań
1
2𝑎 + 𝑏+
1
𝑎 + 2𝑏≥4
3
3(𝑎+ 2𝑏)
3(2𝑎 + 𝑏)(𝑎+ 2𝑏) +
3(2𝑎+ 𝑏)
3(𝑎 + 2𝑏)(2𝑎+ 𝑏) -4(𝑎+ 2𝑏)(2𝑎+ 𝑏)
3(𝑎+ 2𝑏)(2𝑎+ 𝑏) ≥0
3𝑎+ 6𝑏+ 6𝑎+ 3𝑏-8𝑎2 -20𝑎𝑏-8𝑏2
3(2𝑎 + 𝑏)(𝑎+ 2𝑏)
≥0
9𝑎+ 9𝑏-8𝑎2 -20𝑎𝑏-8𝑏2
3(2𝑎 + 𝑏)(𝑎+ 2𝑏)
≥0
9𝑎+ 9𝑏-8𝑎2 -20𝑎𝑏-8𝑏2 ≥0
Korzystamy z założenia i otrzymujemy dalej
9𝑎+ 9(1 -𝑎) -8𝑎2 -20𝑎(1 -𝑎) -8(1 -𝑎)2 ≥0
4𝑎2 -4𝑎+ 1 ≥0
(2𝑎-1)2 ≥0
Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc nierówność (2𝑎-1)2 ≥0
jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎. To oznacza, że nierówność
1
2𝑎 + 𝑏+
1
𝑎 + 2𝑏≥4
3 jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej 𝑎 i dla każdej
liczby rzeczywistej dodatniej 𝑏 takich, że 𝑎+ 𝑏= 1.
Sposób II
Korzystamy z założenia 𝑎+ 𝑏= 1 i nierówność
1
2𝑎 + 𝑏+
1
𝑎 + 2𝑏≥4
3 zapisujemy
w postaci
1
𝑎 + 1 +
1
1 + 𝑏≥4
3
Mnożymy obie strony tej nierówności przez liczbę dodatnią 3(𝑎+ 1)(1 + 𝑏) i ponownie
korzystamy z założenia, otrzymując kolejno:
3(1 + 𝑏) + 3(𝑎+ 1) ≥4(𝑎+ 1)(1 + 𝑏)
2 -(𝑎+ 𝑏) ≥4𝑎𝑏
1 ≥4𝑎𝑏
(𝑎+ 𝑏)2 ≥4𝑎𝑏
(𝑎-𝑏)2 ≥0
Ponieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc nierówność
(𝑎-𝑏)2 ≥0 jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 i każdej liczby
rzeczywistej 𝑏. To oznacza, że nierówność
1
2𝑎 + 𝑏+
1
𝑎 + 2𝑏≥4
3 jest prawdziwa dla każdej
liczby rzeczywistej dodatniej 𝑎 i dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej 𝑏 takich, że
𝑎+ 𝑏= 1.
Sposób III
Korzystamy z nierówności między średnią arytmetyczną a harmoniczną dla liczb dodatnich
1
2𝑎 + 𝑏 oraz
1
𝑎 + 2𝑏 i otrzymujemy:
1
2𝑎+𝑏+
1
𝑎+2𝑏
2
≥
2
1
1
2𝑎+𝑏
1
1
𝑎+2𝑏
1
2𝑎+𝑏+
1
𝑎+2𝑏
2
≥
2
2𝑎+ 𝑏+ 𝑎+ 2𝑏
1
2𝑎+𝑏+
1
𝑎+2𝑏
2
≥
2
3(𝑎+ 𝑏)
1
2𝑎 + 𝑏+
1
𝑎 + 2𝑏≥
4
3(𝑎+ 𝑏)
Po skorzystaniu z założenia 𝑎+ 𝑏= 1 otrzymujemy tezę.
Sposób IV
Korzystamy z założenia 𝑎+ 𝑏= 1 i nierówność
1
2𝑎 + 𝑏+
1
𝑎 + 2𝑏≥4
3 zapisujemy
w postaci
1
2𝑎 + 1 -𝑎+
1
𝑎+ 2(1 -𝑎) ≥4
3
Mnożymy obie strony tej nierówności przez liczbę dodatnią 3(𝑎+ 1)(2 -𝑎) i otrzymujemy
kolejno:
1
𝑎 + 1 +
1
2 -𝑎≥4
3
3(2 -𝑎) + 3(𝑎+ 1) ≥4(𝑎+ 1)(2 -𝑎)
6 -3𝑎+ 3𝑎+ 3 ≥-4𝑎2 + 4𝑎+ 8
4𝑎2 -4𝑎+ 1 ≥0
(2𝑎-1)2 ≥0
Ponieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc nierówność
(2𝑎-1)2 ≥0 jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎, więc w szczególności dla
każdego 𝑎∈(0, 1). To oznacza, że nierówność
1
2𝑎 + 𝑏+
1
𝑎 + 2𝑏≥4
3 jest prawdziwa dla
każdej liczby rzeczywistej dodatniej 𝑎 i dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej 𝑏 takich, że
𝑎+ 𝑏= 1.
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[]}