Zadanie 9. (0-4)
Nieskończony ciąg geometryczny (𝑎𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.
Suma wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛) o numerach nieparzystych jest równa 16, tj.
𝑎1 + 𝑎3 + 𝑎5 + … = 16
Ponadto 𝑎1 + 𝑎3 = 5
2 ⋅𝑎2 .
Wyznacz wzór ogólny na 𝑛-ty wyraz ciągu (𝑎𝑛).
EMAP-R0_100
\nEMAP-R0_100
","answer_text_html":"Zadanie 9. (0-4)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Modelowanie matematyczne.
Zdający:
5.R2) rozpoznaje szeregi geometryczne
zbieżne i oblicza ich sumy.
Zasady oceniania
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑎𝑛= 12 ⋅(1
2)
𝑛-1
,
𝑎𝑛= 24 ⋅(1
2)
𝑛
3 pkt - odrzucenie wartości 𝑞= 2 oraz poprawne zastosowanie wzoru na sumę szeregu
geometrycznego i zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎1 :
𝑎1
1-(1
2)
2 = 16 (dla
sposobu I)
ALBO
równania, np.
16(1 -𝑞2) + 16(1 -𝑞2) ⋅𝑞2 = 5
2 ⋅16(1 -𝑞2) ⋅𝑞
i 𝑞= 1 oraz 𝑞= -1, oraz 𝑞= 1
2 , oraz 𝑞= 2 ,
oraz odrzucenie tych wartości 𝑞, dla których nie jest spełniony warunek zbieżności
|𝑞2| < 1 (dla sposobu II).
2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑞 oraz obliczenie pierwiastków tego
równania, np. 2𝑞2 -5𝑞+ 2 = 0 i 𝑞= 1
2 oraz 𝑞= 2 (dla sposobu I)
ALBO
2 𝑎1 ⋅𝑞 oraz 𝑎1
1-𝑞2 = 16 (dla sposobu II).
1 pkt - zapisanie równania 𝑎1 + 𝑎1 ⋅𝑞2 = 5
2 𝑎1 ⋅𝑞 (dla sposobu I)
ALBO
równania 𝑎1
1-𝑞2 = 16 (dla sposobu II).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
𝑎1
1-𝑞 i rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, to otrzymuje 3 punkty za całe
rozwiązanie.
rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Niech 𝑞 oznacza iloraz ciągu geometrycznego (𝑎𝑛). Z warunku 𝑎1 + 𝑎3 = 5
2 𝑎2 oraz
z własności ciągu geometrycznego otrzymujemy
𝑎1 + 𝑎1 ⋅𝑞2 = 5
2 ⋅𝑎1 ⋅𝑞
𝑎1 ⋅(1 + 𝑞2 -5
2 𝑞) = 0
𝑎1 = 0 ∨ 𝑞2 -5
2 𝑞+ 1 = 0
𝑎1 = 0 ∨ 𝑞= 2 ∨ 𝑞= 1
2
Rozważmy nieskończony ciąg wyrazów o numerach nieparzystych, tj. 𝑎1, 𝑎3, 𝑎5, … . Jest to
ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie równym 𝑎1 oraz ilorazie 𝑞2. Ponieważ suma
wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛) o numerach nieparzystych istnieje i jest równa 16, więc
𝑎1 ≠0 oraz |𝑞2| < 1 i 𝑎1
1-𝑞2 = 16. Pozostaje zatem rozpatrzeć przypadki 𝑞= 2 oraz
𝑞= 1
2 .
Gdy 𝑞= 2, to warunek |𝑞2| < 1 nie jest spełniony.
Gdy 𝑞= 1
2 , to warunek |𝑞2| < 1 jest spełniony. Wtedy
𝑎1
1-(1
2)
2 = 16 i stąd 𝑎1 = 12.
Nieskończony ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie równym 12 i ilorazie 1
2 spełnia
warunki zadania. Wzór ogólny na 𝑛-ty wyraz ciągu (𝑎𝑛) ma postać 𝑎𝑛= 12 ⋅(1
2)
𝑛-1
Sposób II
Niech 𝑞 oznacza iloraz ciągu geometrycznego (𝑎𝑛).
Rozważmy nieskończony ciąg wyrazów o numerach nieparzystych, tj. 𝑎1, 𝑎3, 𝑎5, … . Jest to
ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie równym 𝑎1 oraz ilorazie 𝑞2. Ponieważ suma
wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛) o numerach nieparzystych istnieje i jest równa 16, więc
𝑎1 ≠0 oraz |𝑞2| < 1 i 𝑎1
1-𝑞2 = 16. Zatem 𝑎1 = 16(1 -𝑞2).
Z warunku 𝑎1 + 𝑎3 = 5
2 𝑎2 oraz z własności ciągu geometrycznego otrzymujemy
𝑎1 + 𝑎1 ⋅𝑞2 = 5
2 ⋅𝑎1 ⋅𝑞
Stąd oraz z równości 𝑎1 = 16(1 -𝑞2) otrzymujemy kolejno:
16(1 -𝑞2) + 16(1 -𝑞2) ⋅𝑞2 = 5
2 ⋅16(1 -𝑞2) ⋅𝑞
16 -16𝑞2 + 16𝑞2 -16𝑞4 = 40𝑞-40𝑞3
Zasady oceniania rozwiązań zadań
-16𝑞4 + 40𝑞3 -40𝑞+ 16 = 0
-16(𝑞4 -1) + 40𝑞(𝑞2 -1) = 0
-16(𝑞2 -1)(𝑞2 + 1) + 40𝑞(𝑞2 -1) = 0
(𝑞2 -1)[-16(𝑞2 + 1) + 40𝑞] = 0
(𝑞2 -1)(-16𝑞2 + 40𝑞-16) = 0
𝑞2 -1 = 0 ∨ -16𝑞2 + 40𝑞-16 = 0
𝑞= 1 ∨ 𝑞= -1 ∨ 𝑞= 2 ∨ 𝑞= 1
2
Uwzględniając warunek |𝑞2| < 1, otrzymujemy 𝑞= 1
2 . Zatem 𝑎1 = 12. Nieskończony ciąg
geometryczny o pierwszym wyrazie równym 12 i ilorazie 1
2 spełnia warunki zadania. Wzór
ogólny na 𝑛-ty wyraz ciągu (𝑎𝑛) ma postać 𝑎𝑛= 12 ⋅(1
2)
𝑛-1