{"id":"matematyka-2024-egzamin-osmoklasisty/zad/17","paper_id":"matematyka-2024-egzamin-osmoklasisty","number":"17","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2024,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 17. (0-3)\nProstokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 podzielono na trzy trójkąty: 𝐴𝐸𝐷, 𝐴𝐶𝐸, 𝐴𝐵𝐶 (zobacz rysunek).\nNa rysunku podano również długości dwóch boków trójkąta 𝐴𝐸𝐷 oraz zaznaczono dwa\nkąty trójkąta 𝐴𝐶𝐸, o takiej samej mierze 𝛼.\nOblicz pole trapezu 𝑨𝑩𝑪𝑬. Zapisz obliczenia.\n15 cm\n𝐸\n𝐷\n𝐶\n𝐵\n𝐴\n𝛼\n𝛼\n20 cm\nOMAP-100-2405","answer":"650 cm^2","answer_text":"Zadanie 17. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3. Stosowanie strategii wynikającej\nz treści zadania, tworzenie strategii\nrozwiązania problemu, również\nw rozwiązaniach wieloetapowych oraz\nw takich, które wymagają umiejętności\nłączenia wiedzy z różnych działów\nmatematyki.\nXVI. Własności figur geometrycznych na\npłaszczyźnie. Uczeń:\n4) zna i stosuje własności trójkątów\nrównoramiennych (równość kątów przy\npodstawie);\n6) zna i stosuje w sytuacjach praktycznych\ntwierdzenie Pitagorasa (bez twierdzenia\nodwrotnego).\nXVII. Wielokąty. Uczeń:\n5) stosuje wzory na pole […] trapezu […]\nprzedstawionych[ego] na rysunku […].\nZasady oceniania\n3 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób obliczenia pola trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐸, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy\nwynik liczbowy zgodny z zastosowaną jednostką (650 cm2).\n2 punkty\n• zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do obliczenia długości odcinka 𝐴𝐸 oraz wskazanie\nrówności długości odcinków 𝐴𝐸 i 𝐸𝐶 z wykorzystaniem własności trójkąta\nrównoramiennego oraz poprawny sposób obliczenia długości odcinka 𝐴𝐵, np. zapisanie\n|𝐴𝐸|2 = 152 + 202 oraz |𝐴𝐸| = |𝐸𝐶| oraz 15 + |𝐸𝐶| = |𝐴𝐵|\nLUB\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n• zapisanie, że długość odcinka 𝐴𝐸 jest równa 25 cm oraz zapisanie, że długość\nodcinka 𝐴𝐵 jest równa 40 cm (np. na rysunku) bez przedstawienia sposobów ich\nobliczenia,\nLUB\n• zapisanie wzoru na pole trapezu zgodnie z oznaczeniami z uwzględnieniem zależności\nmiędzy długościami podstaw oraz zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do obliczenia\ndługości odcinka 𝐴𝐸, np.\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐸= 1\n2 (|𝐸𝐶| + |𝐸𝐶| + 15) ⋅20 oraz |𝐴𝐸|2 = 152 + 202,\nLUB\n• zapisanie wzoru na pole trapezu zgodnie z oznaczeniami z uwzględnieniem zależności\nmiędzy długościami podstaw oraz wskazanie równości długości odcinków 𝐴𝐸 i 𝐸𝐶\nz wykorzystaniem własności trójkąta równoramiennego, np.\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐸= 1\n2 (|𝐸𝐶| + |𝐸𝐶| + 15) ⋅20 oraz |𝐴𝐸| = |𝐸𝐶|,\nLUB\n• zapisanie wzoru na pole prostokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 (albo prostokąta o bokach 𝐸𝐶 i 𝐶𝐵) zgodnie\nz oznaczeniami oraz zastosowanie twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝐸𝐷 oraz\npoprawny sposób obliczenia pola trójkąta 𝐴𝐸𝐷,\nLUB\n• zapisanie wzoru na pole prostokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 (albo prostokąta o bokach 𝐸𝐶 i 𝐶𝐵) zgodnie\nz oznaczeniami oraz wskazanie równości długości odcinków 𝐴𝐸 i 𝐸𝐶 z wykorzystaniem\nwłasności trójkąta równoramiennego oraz poprawny sposób obliczenia pola trójkąta 𝐴𝐸𝐷.\n1 punkt\n• poprawny sposób obliczenia długości odcinka 𝐴𝐸, czyli poprawne zastosowanie\ntwierdzenia Pitagorasa, np. zapisanie\n|𝐴𝐸|2 = 152 + 202\nLUB\n• zapisanie, że długość odcinka 𝐴𝐸 jest równa 25 cm (np. na rysunku) bez przedstawienia\nsposobu jej obliczenia,\nLUB\n• wskazanie równości długości odcinków 𝐴𝐸 i 𝐸𝐶 z wykorzystaniem własności trójkąta\nrównoramiennego, np. zapisanie\n|𝐴𝐸| = |𝐸𝐶|,\nLUB\n• zapisanie wzoru na pole trapezu zgodnie z oznaczeniami z uwzględnieniem zależności\nmiędzy długościami podstaw, np.\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐸= 1\n2 (|𝐸𝐶| + |𝐸𝐶| + 15) ⋅20 lub zapisy równoważne,\nLUB\n• zapisanie zgodnie z oznaczeniami, że pole trapezu jest sumą pola trójkąta prostokątnego\nprzystającego do trójkąta 𝐴𝐸𝐷 i pola prostokąta o bokach 𝐸𝐶 oraz 𝐶𝐵,\nLUB\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2024 r.\n• zapisanie zgodnie z oznaczeniami, że pole trapezu jest różnicą pola prostokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷\ni pola trójkąta prostokątnego 𝐴𝐸𝐷, np.\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐸= 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷-𝑃𝐴𝐸𝐷.\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nUwagi\n1.\nBrak jednostki lub zapisanie niewłaściwej jednostki w wyniku końcowym traktuje się jako\nbłąd rachunkowy.\n2.\nJeżeli uczeń bez wyznaczenia długości odcinka 𝐴𝐸 przyjmuje, że długości podstaw\ntrapezu są równe 40 cm i 25 cm oraz konsekwentnie do tego założenia stosuje\npoprawny wzór na pole trapezu, nie popełnia błędów rachunkowych i zapisuje wynik\nz prawidłową jednostką (650 cm2), to otrzymuje 1 punkt.\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 3 punkty\nI sposób\nObliczymy długość przeciwprostokątnej 𝐴𝐸 trójkąta 𝐴𝐸𝐷:\n|𝐴𝐸|2 = 152 + 202 = 225 + 400 = 625\n|𝐴𝐸| = 25 (cm)\nTrójkąt 𝐴𝐶𝐸 jest równoramienny (kąty przy podstawie 𝐴𝐶 mają taką samą miarę 𝛼), zatem:\n|𝐴𝐸| = |𝐸𝐶|\n|𝐸𝐶| = 25 (cm)\nObliczymy długość boku 𝐴𝐵 prostokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷:\n|𝐴𝐵| = 15 + 25 = 40 (cm)\nObliczymy pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐸:\n𝑃= 1\n2 ∙(25 + 40) · 20 = 650 (cm2)\nOdpowiedź: Pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐸 jest równe 650 cm2.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nII sposób\nProstokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest podzielony na trzy trójkąty: 𝐴𝐸𝐷, 𝐴𝐶𝐸, 𝐴𝐵𝐶.\nTrójkąt 𝐴𝐸𝐷 jest prostokątny.\nObliczymy długość przeciwprostokątnej 𝐴𝐸 trójkąta 𝐴𝐸𝐷:\n|𝐴𝐸|2 = 152 + 202 = 225 + 400 = 625\n|𝐴𝐸| = 25 (cm)\nTrójkąt 𝐴𝐶𝐸 jest równoramienny (kąty przy podstawie 𝐴𝐶 mają taką samą miarę 𝛼), zatem:\n|𝐴𝐸| = |𝐸𝐶|\n|𝐸𝐶| = 25 (cm)\nZauważymy, że długość podstawy 𝐴𝐵 trapezu jest równa sumie |𝐸𝐶| + 15 (cm):\n|𝐴𝐵| = |𝐸𝐶| + 15 (cm)\nObliczymy pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐸:\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐸= 1\n2 (|𝐸𝐶| + |𝐸𝐶| + 15) ⋅20\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐸= 1\n2 (25 + 25 + 15) ⋅20\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐸= 1\n2 ⋅65 ⋅20 = 650 (cm2)\nOdpowiedź: Pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐸 jest równe 650 cm2.\n15 cm\n𝐸\n𝐷\n𝐶\n𝐵\n𝐴\n𝛼\n𝛼\n20 cm\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2024 r.\nIII sposób\nW prostokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 z punktu 𝐸 poprowadzimy odcinek 𝐸𝐹 prostopadły do boku 𝐴𝐵.\nZauważymy, że trójkąty 𝐴𝐸𝐷 oraz 𝐸𝐴𝐹 są przystające.\nObliczymy pole trójkąta 𝐸𝐴𝐹:\n𝑃𝐸𝐴𝐹= 1\n2 ⋅15 ⋅20 = 150 (cm2)\nObliczymy długość przeciwprostokątnej 𝐴𝐸:\n|𝐴𝐸|2 = 152 + 202 = 225 + 400 = 625\n|𝐴𝐸| = 25 (cm)\nW trójkącie 𝐴𝐶𝐸 kąty przy podstawie 𝐴𝐶 mają taką samą miarę 𝛼, więc jest on trójkątem\nrównoramiennym, zatem:\n|𝐴𝐸| = |𝐸𝐶|\n|𝐸𝐶| = 25 (cm)\nObliczymy pole prostokąta 𝐹𝐵𝐶𝐸:\n𝑃𝐹𝐵𝐶𝐸= |𝐸𝐶| ⋅|𝐶𝐵|\n𝑃𝐹𝐵𝐶𝐸= 25 ⋅20 = 500 (cm2)\nPole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐸 jest sumą pola prostokąta 𝐹𝐵𝐶𝐸 i pola trójkąta prostokątnego 𝐸𝐴𝐹:\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐸= 𝑃𝐹𝐵𝐶𝐸+ 𝑃𝐸𝐴𝐹\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐸= 500 + 150 = 650 (cm2)\nOdpowiedź: Pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐸 jest równe 650 cm2.\n𝐹\n15 cm\n𝐸\n𝐷\n𝐶\n𝐵\n𝐴\n𝛼\n𝛼\n20 cm\n15 cm\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nIV sposób\nTrójkąt 𝐴𝐸𝐷 jest prostokątny.\nObliczymy długość przeciwprostokątnej 𝐴𝐸 trójkąta 𝐴𝐸𝐷:\n|𝐴𝐸|2 = 152 + 202 = 225 + 400 = 625\n|𝐴𝐸| = 25 (cm)\nTrójkąt 𝐴𝐶𝐸 jest równoramienny (kąty przy podstawie 𝐴𝐶 mają taką samą miarę 𝛼), zatem:\n|𝐴𝐸| = |𝐸𝐶|\n|𝐸𝐶| = 25 (cm)\nDługość boku 𝐴𝐵 prostokąta jest równa sumie |𝐸𝐶| + 15 (cm):\n|𝐴𝐵| = |𝐸𝐶| + 15 (cm)\n|𝐴𝐵| = 25 + 15 = 40 (cm)\nZauważymy, że pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐸 jest różnicą pola prostokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 i pola trójkąta\nprostokątnego 𝐴𝐸𝐷:\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐸= 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷-𝑃𝐴𝐸𝐷\nObliczymy pole prostokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷:\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= |𝐴𝐷| ⋅|𝐴𝐵|\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 20 ⋅40 = 800 (cm2)\nObliczymy pole trójkąta 𝐴𝐸𝐷:\n𝑃𝐴𝐸𝐷= 1\n2 ⋅15 ⋅20 = 150 (cm2)\nPole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐸 jest równe:\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐸= 800 -150 = 650 (cm2)\nOdpowiedź: Pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐸 jest równe 650 cm2.\n15 cm\n𝐸\n𝐷\n𝐶\n𝐵\n𝐴\n𝛼\n𝛼\n20 cm\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2024 r.","solution":"Trójkąt AED jest prostokątny. Z twierdzenia Pitagorasa:\n\nAE=√(15^2+20^2)=√(225+400)=√(625)=25 cm\n\nW trójkącie ACE kąty przy wierzchołkach A i C mają taką samą miarę, więc boki leżące naprzeciw nich są równe:\n\nEC=AE=25 cm\n\nDługość boku prostokąta:\n\nAB=DC=DE+EC=15+25=40 cm\n\nTrapez ABCE ma podstawy długości 40 cm i 25 cm oraz wysokość 20 cm:\n\nP=((40+25)·20)/(2)=650 cm^2\n\nOdpowiedź: 650 cm^2 .","image":"img/matematyka-2024-egzamin-osmoklasisty/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":"Pola i obwody","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2024","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty","text_html":"

Zadanie 17. (0-3)
Prostokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 podzielono na trzy trójkąty: 𝐴𝐸𝐷, 𝐴𝐶𝐸, 𝐴𝐵𝐶 (zobacz rysunek).
Na rysunku podano również długości dwóch boków trójkąta 𝐴𝐸𝐷 oraz zaznaczono dwa
kąty trójkąta 𝐴𝐶𝐸, o takiej samej mierze 𝛼.
Oblicz pole trapezu 𝑨𝑩𝑪𝑬. Zapisz obliczenia.
15 cm
𝐸
𝐷
𝐶
𝐵
𝐴
𝛼
𝛼
20 cm
OMAP-100-2405

","answer_text_html":"

Zadanie 17. (0-3)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Stosowanie strategii wynikającej
\n

z treści zadania, tworzenie strategii
rozwiązania problemu, również
w rozwiązaniach wieloetapowych oraz
w takich, które wymagają umiejętności
łączenia wiedzy z różnych działów
matematyki.
XVI. Własności figur geometrycznych na
płaszczyźnie. Uczeń:

\n
  1. zna i stosuje własności trójkątów
\n

równoramiennych (równość kątów przy
podstawie);

\n
  1. zna i stosuje w sytuacjach praktycznych
\n

twierdzenie Pitagorasa (bez twierdzenia
odwrotnego).
XVII. Wielokąty. Uczeń:

\n
  1. stosuje wzory na pole […] trapezu […]
\n

przedstawionych[ego] na rysunku […].
Zasady oceniania
3 punkty - pełne rozwiązanie
poprawny sposób obliczenia pola trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐸, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy
wynik liczbowy zgodny z zastosowaną jednostką (650 cm2).
2 punkty
• zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do obliczenia długości odcinka 𝐴𝐸 oraz wskazanie
równości długości odcinków 𝐴𝐸 i 𝐸𝐶 z wykorzystaniem własności trójkąta
równoramiennego oraz poprawny sposób obliczenia długości odcinka 𝐴𝐵, np. zapisanie
|𝐴𝐸|2 = 152 + 202 oraz |𝐴𝐸| = |𝐸𝐶| oraz 15 + |𝐸𝐶| = |𝐴𝐵|
LUB
Zasady oceniania rozwiązań zadań
• zapisanie, że długość odcinka 𝐴𝐸 jest równa 25 cm oraz zapisanie, że długość
odcinka 𝐴𝐵 jest równa 40 cm (np. na rysunku) bez przedstawienia sposobów ich
obliczenia,
LUB
• zapisanie wzoru na pole trapezu zgodnie z oznaczeniami z uwzględnieniem zależności
między długościami podstaw oraz zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do obliczenia
długości odcinka 𝐴𝐸, np.
𝑃𝐴𝐵𝐶𝐸= 1
2 (|𝐸𝐶| + |𝐸𝐶| + 15) ⋅20 oraz |𝐴𝐸|2 = 152 + 202,
LUB
• zapisanie wzoru na pole trapezu zgodnie z oznaczeniami z uwzględnieniem zależności
między długościami podstaw oraz wskazanie równości długości odcinków 𝐴𝐸 i 𝐸𝐶
z wykorzystaniem własności trójkąta równoramiennego, np.
𝑃𝐴𝐵𝐶𝐸= 1
2 (|𝐸𝐶| + |𝐸𝐶| + 15) ⋅20 oraz |𝐴𝐸| = |𝐸𝐶|,
LUB
• zapisanie wzoru na pole prostokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 (albo prostokąta o bokach 𝐸𝐶 i 𝐶𝐵) zgodnie
z oznaczeniami oraz zastosowanie twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝐸𝐷 oraz
poprawny sposób obliczenia pola trójkąta 𝐴𝐸𝐷,
LUB
• zapisanie wzoru na pole prostokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 (albo prostokąta o bokach 𝐸𝐶 i 𝐶𝐵) zgodnie
z oznaczeniami oraz wskazanie równości długości odcinków 𝐴𝐸 i 𝐸𝐶 z wykorzystaniem
własności trójkąta równoramiennego oraz poprawny sposób obliczenia pola trójkąta 𝐴𝐸𝐷.
1 punkt
• poprawny sposób obliczenia długości odcinka 𝐴𝐸, czyli poprawne zastosowanie
twierdzenia Pitagorasa, np. zapisanie
|𝐴𝐸|2 = 152 + 202
LUB
• zapisanie, że długość odcinka 𝐴𝐸 jest równa 25 cm (np. na rysunku) bez przedstawienia
sposobu jej obliczenia,
LUB
• wskazanie równości długości odcinków 𝐴𝐸 i 𝐸𝐶 z wykorzystaniem własności trójkąta
równoramiennego, np. zapisanie
|𝐴𝐸| = |𝐸𝐶|,
LUB
• zapisanie wzoru na pole trapezu zgodnie z oznaczeniami z uwzględnieniem zależności
między długościami podstaw, np.
𝑃𝐴𝐵𝐶𝐸= 1
2 (|𝐸𝐶| + |𝐸𝐶| + 15) ⋅20 lub zapisy równoważne,
LUB
• zapisanie zgodnie z oznaczeniami, że pole trapezu jest sumą pola trójkąta prostokątnego
przystającego do trójkąta 𝐴𝐸𝐷 i pola prostokąta o bokach 𝐸𝐶 oraz 𝐶𝐵,
LUB
Egzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2024 r.
• zapisanie zgodnie z oznaczeniami, że pole trapezu jest różnicą pola prostokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷
i pola trójkąta prostokątnego 𝐴𝐸𝐷, np.
𝑃𝐴𝐵𝐶𝐸= 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷-𝑃𝐴𝐸𝐷.
0 punktów
rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.
Uwagi
1.
Brak jednostki lub zapisanie niewłaściwej jednostki w wyniku końcowym traktuje się jako
błąd rachunkowy.
2.
Jeżeli uczeń bez wyznaczenia długości odcinka 𝐴𝐸 przyjmuje, że długości podstaw
trapezu są równe 40 cm i 25 cm oraz konsekwentnie do tego założenia stosuje
poprawny wzór na pole trapezu, nie popełnia błędów rachunkowych i zapisuje wynik
z prawidłową jednostką (650 cm2), to otrzymuje 1 punkt.
Przykładowe rozwiązania ocenione na 3 punkty
I sposób
Obliczymy długość przeciwprostokątnej 𝐴𝐸 trójkąta 𝐴𝐸𝐷:
|𝐴𝐸|2 = 152 + 202 = 225 + 400 = 625
|𝐴𝐸| = 25 (cm)
Trójkąt 𝐴𝐶𝐸 jest równoramienny (kąty przy podstawie 𝐴𝐶 mają taką samą miarę 𝛼), zatem:
|𝐴𝐸| = |𝐸𝐶|
|𝐸𝐶| = 25 (cm)
Obliczymy długość boku 𝐴𝐵 prostokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷:
|𝐴𝐵| = 15 + 25 = 40 (cm)
Obliczymy pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐸:
𝑃= 1
2 ∙(25 + 40) · 20 = 650 (cm2)
Odpowiedź: Pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐸 jest równe 650 cm2.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
II sposób
Prostokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest podzielony na trzy trójkąty: 𝐴𝐸𝐷, 𝐴𝐶𝐸, 𝐴𝐵𝐶.
Trójkąt 𝐴𝐸𝐷 jest prostokątny.
Obliczymy długość przeciwprostokątnej 𝐴𝐸 trójkąta 𝐴𝐸𝐷:
|𝐴𝐸|2 = 152 + 202 = 225 + 400 = 625
|𝐴𝐸| = 25 (cm)
Trójkąt 𝐴𝐶𝐸 jest równoramienny (kąty przy podstawie 𝐴𝐶 mają taką samą miarę 𝛼), zatem:
|𝐴𝐸| = |𝐸𝐶|
|𝐸𝐶| = 25 (cm)
Zauważymy, że długość podstawy 𝐴𝐵 trapezu jest równa sumie |𝐸𝐶| + 15 (cm):
|𝐴𝐵| = |𝐸𝐶| + 15 (cm)
Obliczymy pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐸:
𝑃𝐴𝐵𝐶𝐸= 1
2 (|𝐸𝐶| + |𝐸𝐶| + 15) ⋅20
𝑃𝐴𝐵𝐶𝐸= 1
2 (25 + 25 + 15) ⋅20
𝑃𝐴𝐵𝐶𝐸= 1
2 ⋅65 ⋅20 = 650 (cm2)
Odpowiedź: Pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐸 jest równe 650 cm2.
15 cm
𝐸
𝐷
𝐶
𝐵
𝐴
𝛼
𝛼
20 cm
Egzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2024 r.
III sposób
W prostokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 z punktu 𝐸 poprowadzimy odcinek 𝐸𝐹 prostopadły do boku 𝐴𝐵.
Zauważymy, że trójkąty 𝐴𝐸𝐷 oraz 𝐸𝐴𝐹 są przystające.
Obliczymy pole trójkąta 𝐸𝐴𝐹:
𝑃𝐸𝐴𝐹= 1
2 ⋅15 ⋅20 = 150 (cm2)
Obliczymy długość przeciwprostokątnej 𝐴𝐸:
|𝐴𝐸|2 = 152 + 202 = 225 + 400 = 625
|𝐴𝐸| = 25 (cm)
W trójkącie 𝐴𝐶𝐸 kąty przy podstawie 𝐴𝐶 mają taką samą miarę 𝛼, więc jest on trójkątem
równoramiennym, zatem:
|𝐴𝐸| = |𝐸𝐶|
|𝐸𝐶| = 25 (cm)
Obliczymy pole prostokąta 𝐹𝐵𝐶𝐸:
𝑃𝐹𝐵𝐶𝐸= |𝐸𝐶| ⋅|𝐶𝐵|
𝑃𝐹𝐵𝐶𝐸= 25 ⋅20 = 500 (cm2)
Pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐸 jest sumą pola prostokąta 𝐹𝐵𝐶𝐸 i pola trójkąta prostokątnego 𝐸𝐴𝐹:
𝑃𝐴𝐵𝐶𝐸= 𝑃𝐹𝐵𝐶𝐸+ 𝑃𝐸𝐴𝐹
𝑃𝐴𝐵𝐶𝐸= 500 + 150 = 650 (cm2)
Odpowiedź: Pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐸 jest równe 650 cm2.
𝐹
15 cm
𝐸
𝐷
𝐶
𝐵
𝐴
𝛼
𝛼
20 cm
15 cm
Zasady oceniania rozwiązań zadań
IV sposób
Trójkąt 𝐴𝐸𝐷 jest prostokątny.
Obliczymy długość przeciwprostokątnej 𝐴𝐸 trójkąta 𝐴𝐸𝐷:
|𝐴𝐸|2 = 152 + 202 = 225 + 400 = 625
|𝐴𝐸| = 25 (cm)
Trójkąt 𝐴𝐶𝐸 jest równoramienny (kąty przy podstawie 𝐴𝐶 mają taką samą miarę 𝛼), zatem:
|𝐴𝐸| = |𝐸𝐶|
|𝐸𝐶| = 25 (cm)
Długość boku 𝐴𝐵 prostokąta jest równa sumie |𝐸𝐶| + 15 (cm):
|𝐴𝐵| = |𝐸𝐶| + 15 (cm)
|𝐴𝐵| = 25 + 15 = 40 (cm)
Zauważymy, że pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐸 jest różnicą pola prostokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 i pola trójkąta
prostokątnego 𝐴𝐸𝐷:
𝑃𝐴𝐵𝐶𝐸= 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷-𝑃𝐴𝐸𝐷
Obliczymy pole prostokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷:
𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= |𝐴𝐷| ⋅|𝐴𝐵|
𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 20 ⋅40 = 800 (cm2)
Obliczymy pole trójkąta 𝐴𝐸𝐷:
𝑃𝐴𝐸𝐷= 1
2 ⋅15 ⋅20 = 150 (cm2)
Pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐸 jest równe:
𝑃𝐴𝐵𝐶𝐸= 800 -150 = 650 (cm2)
Odpowiedź: Pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐸 jest równe 650 cm2.
15 cm
𝐸
𝐷
𝐶
𝐵
𝐴
𝛼
𝛼
20 cm
Egzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2024 r.

","solutions":[{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Trójkąt AED jest prostokątny. Z twierdzenia Pitagorasa:

\n

AE=√(15^2+20^2)=√(225+400)=√(625)=25 cm

\n

W trójkącie ACE kąty przy wierzchołkach A i C mają taką samą miarę, więc boki leżące naprzeciw nich są równe:

\n

EC=AE=25 cm

\n

Długość boku prostokąta:

\n

AB=DC=DE+EC=15+25=40 cm

\n

Trapez ABCE ma podstawy długości 40 cm i 25 cm oraz wysokość 20 cm:

\n

P=((40+25)·20)/(2)=650 cm^2

\n

Odpowiedź: 650 cm^2 .

"}]}