{"id":"matematyka-2024-egzamin-osmoklasisty/zad/19","paper_id":"matematyka-2024-egzamin-osmoklasisty","number":"19","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2024,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 19. (0-2)\nZ trzech jednakowych klocków w kształcie sześcianu i jednego klocka w kształcie ostrosłupa\nprawidłowego czworokątnego zbudowano dwie wieże (zobacz rysunek).\nKrawędź sześcianu ma długość 10 cm. Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego\nczworokątnego ma długość 9 cm, a jego objętość jest równa 324 cm3.\nOblicz różnicę wysokości obu wież. Zapisz obliczenia.\nI wieża\nII wieża\nOMAP-100-2405\nBrudnopis (nie podlega ocenie)\nMATEMATYKA\nEgzamin ósmoklasisty\nMATEMATYKA\nEgzamin ósmoklasisty\nMATEMATYKA\nEgzamin ósmoklasisty","answer":"2 cm","answer_text":"Zadanie 19. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Używanie prostych, dobrze znanych\nobiektów matematycznych,\ninterpretowanie pojęć matematycznych\ni operowanie obiektami matematycznymi.\nXIX. Geometria przestrzenna. Uczeń:\n6) oblicza objętości […] ostrosłupów\nprawidłowych.\nXII. Równania z jedną niewiadomą. Uczeń:\n5) przekształca proste wzory, aby wyznaczyć\nzadaną wielkość we wzorach geometrycznych\n[…].\nZasady oceniania\n2 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób obliczenia różnicy wysokości obu wież, prawidłowe obliczenia oraz\nprawidłowy wynik liczbowy zgodny z zastosowaną jednostką (2 cm).\n1 punkt\npoprawny sposób obliczenia wysokości ostrosłupa, tzn. zapisanie równania z jedną\nniewiadomą lub wyrażeń arytmetycznych z wykorzystaniem wzoru na jego objętość oraz\nz uwzględnieniem wszystkich danych liczbowych (długości krawędzi podstawy ostrosłupa\ni jego objętości), np.\n324 = 1\n3 ∙9 ∙9 ∙𝐻\nalbo\n324 ∶(1\n3 ∙9 ∙9) .\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nUwaga\nNie ocenia się stosowania jednostki.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 2 punkty\nI sposób\nObliczymy wysokość ostrosłupa, skorzystamy ze wzoru na jego objętość:\n𝑉= 1\n3 ∙𝑃𝑝∙𝐻\n324 = 1\n3 ∙9 ∙9 ∙𝐻\n324 = 27 ∙𝐻\n𝐻= 324\n27\n𝐻= 12 (cm)\nObliczymy wysokości obu wież:\nWieża I: 12 + 10 = 22 (cm)\nWieża II: 10 + 10 = 20 (cm)\nObliczymy różnicę wysokości obu wież:\n22 -20 = 2 (cm)\nOdpowiedź: Różnica wysokości obu wież jest równa 2 cm.\nII sposób\nObliczymy wysokość ostrosłupa, skorzystamy ze wzoru na jego objętość:\n𝑉= 1\n3 ∙𝑃𝑝∙𝐻\n324 = 1\n3 ∙9 ∙9 ∙𝐻\n324 = 27 ∙𝐻\n𝐻= 324\n27\n𝐻= 12 (cm)\nPonieważ obie wieże w podstawie mają klocki sześcienne o tych samych wymiarach,\nwystarczy porównać wysokość ostrosłupa i wysokość sześcianu.\nZatem różnica wysokości obu wież jest równa:\n12 -10 = 2 (cm)\nOdpowiedź: Różnica wysokości obu wież jest równa 2 cm.\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2024 r.\nIII sposób\nObliczymy pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego:\n𝑃𝑝= 92 = 81 (cm2)\nPrzekształcimy wzór na objętość ostrosłupa i obliczymy jego wysokość:\n𝑉= 1\n3 ∙𝑃𝑝∙𝐻 /∙3\n3 ∙𝑉= 𝑃𝑝∙𝐻\n𝐻= 3 ∙𝑉\n𝑃𝑝\n𝐻= 3 ∙324 (cm3)\n81 (cm2)\n𝐻= 324 (cm3)\n27 (cm2)\n𝐻= 12 (cm)\nObliczymy wysokości obu wież:\nWieża I: 12 + 10 = 22 (cm)\nWieża II: 10 + 10 = 20 (cm)\nObliczymy różnicę wysokości obu wież:\n22 -20 = 2 (cm)\nOdpowiedź: Różnica wysokości obu wież jest równa 2 cm.","solution":"Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa:\n\nV=(1)/(3)P_p· h\n\nPole kwadratowej podstawy:\n\nP_p=9^2=81 cm^2\n\nWyznaczamy wysokość ostrosłupa:\n\n324=(1)/(3)·81· h\n\n324=27h, h=12 cm\n\nWysokość pierwszej wieży:\n\n10+12=22 cm\n\nWysokość drugiej wieży:\n\n2·10=20 cm\n\nRóżnica wysokości:\n\n22-20=2 cm\n\nOdpowiedź: różnica wysokości wież wynosi 2 cm.","image":"img/matematyka-2024-egzamin-osmoklasisty/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":"Stereometria","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2024","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty","text_html":"<p>Zadanie 19. (0-2)<br>Z trzech jednakowych klocków w kształcie sześcianu i jednego klocka w kształcie ostrosłupa<br>prawidłowego czworokątnego zbudowano dwie wieże (zobacz rysunek).<br>Krawędź sześcianu ma długość 10 cm. Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego<br>czworokątnego ma długość 9 cm, a jego objętość jest równa 324 cm3.<br>Oblicz różnicę wysokości obu wież. Zapisz obliczenia.<br>I wieża<br>II wieża<br>OMAP-100-2405<br>Brudnopis (nie podlega ocenie)<br>MATEMATYKA<br>Egzamin ósmoklasisty<br>MATEMATYKA<br>Egzamin ósmoklasisty<br>MATEMATYKA<br>Egzamin ósmoklasisty</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 19. (0-2)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Używanie prostych, dobrze znanych</li></ol>\n<p>obiektów matematycznych,<br>interpretowanie pojęć matematycznych<br>i operowanie obiektami matematycznymi.<br>XIX. Geometria przestrzenna. Uczeń:</p>\n<ol><li>oblicza objętości […] ostrosłupów</li></ol>\n<p>prawidłowych.<br>XII. Równania z jedną niewiadomą. Uczeń:</p>\n<ol><li>przekształca proste wzory, aby wyznaczyć</li></ol>\n<p>zadaną wielkość we wzorach geometrycznych<br>[…].<br>Zasady oceniania<br>2 punkty - pełne rozwiązanie<br>poprawny sposób obliczenia różnicy wysokości obu wież, prawidłowe obliczenia oraz<br>prawidłowy wynik liczbowy zgodny z zastosowaną jednostką (2 cm).<br>1 punkt<br>poprawny sposób obliczenia wysokości ostrosłupa, tzn. zapisanie równania z jedną<br>niewiadomą lub wyrażeń arytmetycznych z wykorzystaniem wzoru na jego objętość oraz<br>z uwzględnieniem wszystkich danych liczbowych (długości krawędzi podstawy ostrosłupa<br>i jego objętości), np.<br>324 = 1<br>3 ∙9 ∙9 ∙𝐻<br>albo<br>324 ∶(1<br>3 ∙9 ∙9) .<br>0 punktów<br>rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.<br>Uwaga<br>Nie ocenia się stosowania jednostki.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Przykładowe rozwiązania ocenione na 2 punkty<br>I sposób<br>Obliczymy wysokość ostrosłupa, skorzystamy ze wzoru na jego objętość:<br>𝑉= 1<br>3 ∙𝑃𝑝∙𝐻<br>324 = 1<br>3 ∙9 ∙9 ∙𝐻<br>324 = 27 ∙𝐻<br>𝐻= 324<br>27<br>𝐻= 12 (cm)<br>Obliczymy wysokości obu wież:<br>Wieża I: 12 + 10 = 22 (cm)<br>Wieża II: 10 + 10 = 20 (cm)<br>Obliczymy różnicę wysokości obu wież:<br>22 -20 = 2 (cm)<br>Odpowiedź: Różnica wysokości obu wież jest równa 2 cm.<br>II sposób<br>Obliczymy wysokość ostrosłupa, skorzystamy ze wzoru na jego objętość:<br>𝑉= 1<br>3 ∙𝑃𝑝∙𝐻<br>324 = 1<br>3 ∙9 ∙9 ∙𝐻<br>324 = 27 ∙𝐻<br>𝐻= 324<br>27<br>𝐻= 12 (cm)<br>Ponieważ obie wieże w podstawie mają klocki sześcienne o tych samych wymiarach,<br>wystarczy porównać wysokość ostrosłupa i wysokość sześcianu.<br>Zatem różnica wysokości obu wież jest równa:<br>12 -10 = 2 (cm)<br>Odpowiedź: Różnica wysokości obu wież jest równa 2 cm.<br>Egzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2024 r.<br>III sposób<br>Obliczymy pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego:<br>𝑃𝑝= 92 = 81 (cm2)<br>Przekształcimy wzór na objętość ostrosłupa i obliczymy jego wysokość:<br>𝑉= 1<br>3 ∙𝑃𝑝∙𝐻 /∙3<br>3 ∙𝑉= 𝑃𝑝∙𝐻<br>𝐻= 3 ∙𝑉<br>𝑃𝑝<br>𝐻= 3 ∙324 (cm3)<br>81 (cm2)<br>𝐻= 324 (cm3)<br>27 (cm2)<br>𝐻= 12 (cm)<br>Obliczymy wysokości obu wież:<br>Wieża I: 12 + 10 = 22 (cm)<br>Wieża II: 10 + 10 = 20 (cm)<br>Obliczymy różnicę wysokości obu wież:<br>22 -20 = 2 (cm)<br>Odpowiedź: Różnica wysokości obu wież jest równa 2 cm.</p>","solutions":[{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa:</p>\n<p>V=(1)/(3)P_p· h</p>\n<p>Pole kwadratowej podstawy:</p>\n<p>P_p=9^2=81 cm^2</p>\n<p>Wyznaczamy wysokość ostrosłupa:</p>\n<p>324=(1)/(3)·81· h</p>\n<p>324=27h, h=12 cm</p>\n<p>Wysokość pierwszej wieży:</p>\n<p>10+12=22 cm</p>\n<p>Wysokość drugiej wieży:</p>\n<p>2·10=20 cm</p>\n<p>Różnica wysokości:</p>\n<p>22-20=2 cm</p>\n<p>Odpowiedź: różnica wysokości wież wynosi 2 cm.</p>"}]}