{"id":"matematyka-2024-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/16","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny","number":"16","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2024,"month":"grudzien","level":null,"text":"Zadanie 16. (0-2)","answer":"15 osób","answer_text":"Zadanie 16. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\n2. Weryfikowanie i interpretowanie\notrzymanych wyników oraz ocena\nsensowności rozwiązania.\nKLASY IV-VI\nII. Działania na liczbach naturalnych. Uczeń:\n11) znajduje największy wspólny dzielnik\n(NWD) i najmniejszą wspólną wielokrotność\n(NWW) dwóch liczb naturalnych co najwyżej\ntrzycyfrowych metodą rozkładu na czynniki.\nZasady oceniania\n2 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób obliczenia liczby uczestników festynu, którzy otrzymali i sok, i ciastko,\nprawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik liczbowy (15).\n1 punkt\n• poprawny sposób obliczenia najmniejszej wspólnej wielokrotności (NWW) liczb 6 i 10\nLUB\n• ustalenie bez obliczeń, że co 30 osoba otrzyma i sok, i ciastko,\nLUB\n• zapisanie kilku początkowych kolejnych numerów uczestników, którzy otrzymali sok oraz\nzapisanie kilku początkowych kolejnych numerów uczestników, którzy otrzymali ciastko\noraz wskazanie numeru uczestnika różnego od 1, który otrzyma i sok, i ciastko, np.\nuczestnicy, którzy otrzymali sok: 1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, …\nuczestnicy, którzy otrzymali ciastko: 1, 11, 21, 31, 41, …\nLUB\n• ustalenie bez obliczeń, że drugą osobą, która otrzyma i sok, i ciastko jest uczestnik\no numerze 31.\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 2 punkty\nI sposób\nWypiszemy kilka początkowych kolejnych wielokrotności liczby 6 :\n6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, …\nWypiszemy kilka początkowych kolejnych wielokrotności liczby 10 :\n10, 20, 30, 40, 50, 60, …\nZauważymy, że najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 6 i 10 jest liczba 30, czyli\nNWW (6, 10) = 30\nTo oznacza, że co 30 osoba, licząc od pierwszej (tzn. 1, 31, 61, …) otrzymała i sok, i ciastko.\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki. Test diagnostyczny - grudzień 2024 r.\nObliczymy, na ile takich 30-osobowych grup można było podzielić 450 uczestników festynu:\n450 ∶30 = 15\nOdpowiedź: Sok i ciastko otrzymało 15 uczestników tego festynu.\nII sposób\nWypiszemy kilka początkowych kolejnych wielokrotności liczby 6 :\n6, 12, 18, 24, 30, 36, …\nZauważymy, że najmniejszą wielokrotnością liczby 6, podzielną przez 10 jest liczba 30.\nCzyli spośród każdych kolejnych 30 osób pierwsza osoba otrzymała i sok, i ciastko.\nObliczymy, na ile 30-osobowych grup można podzielić 450 uczestników festynu:\n450 ∶30 = 15\nPierwsza osoba w każdej z tych piętnastu 30-osobowych grup otrzymała i sok, i ciastko,\nzatem 15 osób otrzymało i sok, i ciastko.\nOdpowiedź: Sok i ciastko otrzymało 15 uczestników tego festynu.\nIII sposób\nWypiszemy kilka początkowych numerów uczestników, którzy otrzymali sok:\n1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, …\nWypiszemy kilka początkowych numerów uczestników, którzy otrzymali ciastko:\n1, 11, 21, 31, 41, …\nZauważymy, że sok i ciastko otrzymuje co 30 osoba, czyli:\n1, 31, 61, 91, 121, 151, 181, 211, 241, 271, 301, 331, 361, 391, 421, 451\nOdpowiedź: Sok i ciastko otrzymało 15 uczestników tego festynu.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Osoby, które otrzymały jednocześnie sok i ciastko, pojawiały się co liczbę równą najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb 6 i 10.\n\nRozkładamy liczby 6 i 10 na czynniki pierwsze:\n\n6=2·3\n\n10=2·5\n\nNajmniejsza wspólna wielokrotność musi zawierać wszystkie czynniki pierwsze występujące w obu rozkładach:\n\nNWW(6,10)=2·3·5=30\n\nPierwszy uczestnik otrzymał i sok, i ciastko. Następne takie osoby pojawiały się co 30 miejsc:\n\n1, 31, 61, 91, 121, 151, 181, 211, 241, 271, 301, 331, 361, 391, 421\n\nKolejna osoba miałaby numer:\n\n421+30=451\n\nNa festyn przyszło tylko 450 osób, więc numer 451 już nie występuje. Na liście znajduje się dokładnie 15 numerów.\n\nOdpowiedź: 15 osób.","image":"img/matematyka-2024-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":"NWW i NWD, Zadania tekstowe","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · grudzień 2024","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty","text_html":"<p>Zadanie 16. (0-2)</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 16. (0-2)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>I. Sprawność rachunkowa.</p>\n<ol><li>Weryfikowanie i interpretowanie</li></ol>\n<p>otrzymanych wyników oraz ocena<br>sensowności rozwiązania.<br>KLASY IV-VI<br>II. Działania na liczbach naturalnych. Uczeń:</p>\n<ol><li>znajduje największy wspólny dzielnik</li></ol>\n<p>(NWD) i najmniejszą wspólną wielokrotność<br>(NWW) dwóch liczb naturalnych co najwyżej<br>trzycyfrowych metodą rozkładu na czynniki.<br>Zasady oceniania<br>2 punkty - pełne rozwiązanie<br>poprawny sposób obliczenia liczby uczestników festynu, którzy otrzymali i sok, i ciastko,<br>prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik liczbowy (15).<br>1 punkt<br>• poprawny sposób obliczenia najmniejszej wspólnej wielokrotności (NWW) liczb 6 i 10<br>LUB<br>• ustalenie bez obliczeń, że co 30 osoba otrzyma i sok, i ciastko,<br>LUB<br>• zapisanie kilku początkowych kolejnych numerów uczestników, którzy otrzymali sok oraz<br>zapisanie kilku początkowych kolejnych numerów uczestników, którzy otrzymali ciastko<br>oraz wskazanie numeru uczestnika różnego od 1, który otrzyma i sok, i ciastko, np.<br>uczestnicy, którzy otrzymali sok: 1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, …<br>uczestnicy, którzy otrzymali ciastko: 1, 11, 21, 31, 41, …<br>LUB<br>• ustalenie bez obliczeń, że drugą osobą, która otrzyma i sok, i ciastko jest uczestnik<br>o numerze 31.<br>0 punktów<br>rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe rozwiązania ocenione na 2 punkty<br>I sposób<br>Wypiszemy kilka początkowych kolejnych wielokrotności liczby 6 :<br>6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, …<br>Wypiszemy kilka początkowych kolejnych wielokrotności liczby 10 :<br>10, 20, 30, 40, 50, 60, …<br>Zauważymy, że najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 6 i 10 jest liczba 30, czyli<br>NWW (6, 10) = 30<br>To oznacza, że co 30 osoba, licząc od pierwszej (tzn. 1, 31, 61, …) otrzymała i sok, i ciastko.<br>Egzamin ósmoklasisty z matematyki. Test diagnostyczny - grudzień 2024 r.<br>Obliczymy, na ile takich 30-osobowych grup można było podzielić 450 uczestników festynu:<br>450 ∶30 = 15<br>Odpowiedź: Sok i ciastko otrzymało 15 uczestników tego festynu.<br>II sposób<br>Wypiszemy kilka początkowych kolejnych wielokrotności liczby 6 :<br>6, 12, 18, 24, 30, 36, …<br>Zauważymy, że najmniejszą wielokrotnością liczby 6, podzielną przez 10 jest liczba 30.<br>Czyli spośród każdych kolejnych 30 osób pierwsza osoba otrzymała i sok, i ciastko.<br>Obliczymy, na ile 30-osobowych grup można podzielić 450 uczestników festynu:<br>450 ∶30 = 15<br>Pierwsza osoba w każdej z tych piętnastu 30-osobowych grup otrzymała i sok, i ciastko,<br>zatem 15 osób otrzymało i sok, i ciastko.<br>Odpowiedź: Sok i ciastko otrzymało 15 uczestników tego festynu.<br>III sposób<br>Wypiszemy kilka początkowych numerów uczestników, którzy otrzymali sok:<br>1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, …<br>Wypiszemy kilka początkowych numerów uczestników, którzy otrzymali ciastko:<br>1, 11, 21, 31, 41, …<br>Zauważymy, że sok i ciastko otrzymuje co 30 osoba, czyli:<br>1, 31, 61, 91, 121, 151, 181, 211, 241, 271, 301, 331, 361, 391, 421, 451<br>Odpowiedź: Sok i ciastko otrzymało 15 uczestników tego festynu.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Osoby, które otrzymały jednocześnie sok i ciastko, pojawiały się co liczbę równą najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb 6 i 10.</p>\n<p>Rozkładamy liczby 6 i 10 na czynniki pierwsze:</p>\n<p>6=2·3</p>\n<p>10=2·5</p>\n<p>Najmniejsza wspólna wielokrotność musi zawierać wszystkie czynniki pierwsze występujące w obu rozkładach:</p>\n<p>NWW(6,10)=2·3·5=30</p>\n<p>Pierwszy uczestnik otrzymał i sok, i ciastko. Następne takie osoby pojawiały się co 30 miejsc:</p>\n<p>1, 31, 61, 91, 121, 151, 181, 211, 241, 271, 301, 331, 361, 391, 421</p>\n<p>Kolejna osoba miałaby numer:</p>\n<p>421+30=451</p>\n<p>Na festyn przyszło tylko 450 osób, więc numer 451 już nie występuje. Na liście znajduje się dokładnie 15 numerów.</p>\n<p>Odpowiedź: 15 osób.</p>"}]}