{"id":"matematyka-2024-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/17","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny","number":"17","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2024,"month":"grudzien","level":null,"text":"Zadanie 17. (0-3)","answer":null,"answer_text":"Zadanie 17. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie prostego\nrozumowania, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność\nrozumowania, rozróżnianie dowodu\nod przykładu.\nKLASY IV-VI\nIX. Wielokąty, koła i okręgi. Uczeń:\n1) rozpoznaje i nazywa trójkąty […]\nrównoboczne […].\nKLASY VII i VIII\nIII. Tworzenie wyrażeń algebraicznych z jedną\ni wieloma zmiennymi. Uczeń:\n2) oblicza wartości liczbowe wyrażeń\nalgebraicznych.\nIV. Przekształcanie wyrażeń algebraicznych.\nSumy algebraiczne i działania na nich. Uczeń:\n2) dodaje i odejmuje sumy algebraiczne,\nredukując wyrazy podobne.\nVIII. Własności figur geometrycznych na\npłaszczyźnie. Uczeń:\n8) przeprowadza dowody geometryczne […].\nZasady oceniania\n3 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób obliczenia długości boków 𝐴𝐶 oraz 𝐴𝐵 lub 𝐵𝐶 oraz 𝐴𝐵 trójkąta 𝐴𝐵𝐶,\nprawidłowe obliczenia, prawidłowy wynik liczbowy (48) oraz zapisanie wniosku,\nże trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoboczny.\n2 punkty\npoprawny sposób obliczenia długości jednego boku trójkąta 𝐴𝐵𝐶.\n1 punkt\nzapisanie poprawnego równania, prowadzącego do obliczenia niewiadomej 𝑥, np.\n3𝑥-12 = 88 -2𝑥\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nUwagi\n1. Jeżeli uczeń sprawdza warunki zadania dla konkretnej wartości zmiennej 𝑥, to za\nrozwiązanie zadania otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli uczeń w wyniku błędu rachunkowego otrzymuje, że długość jednego z boków jest\nliczbą ujemną, to za rozwiązanie zadania może maksymalnie otrzymać 1 punkt.\n3. Jeżeli uczeń rozwiązuje równanie 1,5𝑥+ 18 = 88 -2𝑥 lub 1,5𝑥+ 18 = 3𝑥-12 i bez\nbłędów rachunkowych doprowadza rozwiązanie zadania do końca, to otrzymuje 3 punkty.\nJeśli nie doprowadza rozwiązania zadania do końca lub na którymkolwiek etapie popełnia\nbłąd rachunkowy, to otrzymuje 0 punktów.\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki. Test diagnostyczny - grudzień 2024 r.\n4. Jeżeli uczeń rozwiązuje trzy równania:\n1,5𝑥+ 18 = 88 -2𝑥 oraz 1,5𝑥+ 18 = 3𝑥-12 oraz 3𝑥-12 = 88 -2𝑥\ni na podstawie otrzymanej wartości zmiennej 𝑥, formułuje poprawny wniosek o równości\nboków trójkąta 𝐴𝐵𝐶, to otrzymuje 3 punkty.\n5. Nie ocenia się stosowania jednostki.\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 3 punkty\nI sposób\nDługość boku 𝐴𝐶 w tym trójkącie jest równa długości boku 𝐵𝐶, zatem zapiszemy\nrównanie:\n3𝑥-12 = 88 -2𝑥\n5𝑥= 100\n𝑥= 20\nObliczymy długości boków trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n|𝐴𝐶| = 3 ⋅20 -12 = 60 -12 = 48\n|𝐵𝐶| = 88 -2 ⋅20 = 88 -40 = 48\n|𝐴𝐵| = 1,5 ⋅20 + 18 = 30 + 18 = 48\n|𝐴𝐶| = |𝐵𝐶| = |𝐴𝐵| = 48\nBoki tego trójkąta są jednakowej długości, zatem trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoboczny.\nII sposób\nDługość boku 𝐴𝐶 w tym trójkącie jest równa długości boku 𝐵𝐶, zatem zapiszemy\nrównanie:\n3𝑥-12 = 88 -2𝑥\n5𝑥= 100\n𝑥= 20\nStąd wynika, że bok 𝐴𝐵 ma długość:\n1,5𝑥+ 18 = 1,5 ⋅20 + 18 = 48\nObliczymy długość boku 𝐴𝐶:\n3𝑥-12 = 60 -12 = 48\nWiadomo, że |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶| = 48 oraz |𝐴𝐵| = 48, zatem trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoboczny.\nBoki tego trójkąta są jednakowej długości, zatem trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoboczny.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Z warunku AC=BC otrzymujemy równanie:\n\n3x-12=88-2x\n\n5x=100 x=20\n\nDługości boków:\n\nAC=3·20-12=48\n\nBC=88-2·20=48\n\nAB=1 , 5·20+18=48\n\nWszystkie trzy boki mają tę samą długość, więc trójkąt ABC jest równoboczny.\n\nOdpowiedź: każdy bok ma długość 48.","image":"img/matematyka-2024-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":"Planimetria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · grudzień 2024","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty","text_html":"

Zadanie 17. (0-3)

","answer_text_html":"

Zadanie 17. (0-3)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Przeprowadzanie prostego
\n

rozumowania, podawanie argumentów
uzasadniających poprawność
rozumowania, rozróżnianie dowodu
od przykładu.
KLASY IV-VI
IX. Wielokąty, koła i okręgi. Uczeń:

\n
  1. rozpoznaje i nazywa trójkąty […]
\n

równoboczne […].
KLASY VII i VIII
III. Tworzenie wyrażeń algebraicznych z jedną
i wieloma zmiennymi. Uczeń:

\n
  1. oblicza wartości liczbowe wyrażeń
\n

algebraicznych.
IV. Przekształcanie wyrażeń algebraicznych.
Sumy algebraiczne i działania na nich. Uczeń:

\n
  1. dodaje i odejmuje sumy algebraiczne,
\n

redukując wyrazy podobne.
VIII. Własności figur geometrycznych na
płaszczyźnie. Uczeń:

\n
  1. przeprowadza dowody geometryczne […].
\n

Zasady oceniania
3 punkty - pełne rozwiązanie
poprawny sposób obliczenia długości boków 𝐴𝐶 oraz 𝐴𝐵 lub 𝐵𝐶 oraz 𝐴𝐵 trójkąta 𝐴𝐵𝐶,
prawidłowe obliczenia, prawidłowy wynik liczbowy (48) oraz zapisanie wniosku,
że trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoboczny.
2 punkty
poprawny sposób obliczenia długości jednego boku trójkąta 𝐴𝐵𝐶.
1 punkt
zapisanie poprawnego równania, prowadzącego do obliczenia niewiadomej 𝑥, np.
3𝑥-12 = 88 -2𝑥
0 punktów
rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.
Uwagi

\n
  1. Jeżeli uczeń sprawdza warunki zadania dla konkretnej wartości zmiennej 𝑥, to za
\n

rozwiązanie zadania otrzymuje 0 punktów.

\n
  1. Jeżeli uczeń w wyniku błędu rachunkowego otrzymuje, że długość jednego z boków jest
\n

liczbą ujemną, to za rozwiązanie zadania może maksymalnie otrzymać 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli uczeń rozwiązuje równanie 1,5𝑥+ 18 = 88 -2𝑥 lub 1,5𝑥+ 18 = 3𝑥-12 i bez
\n

błędów rachunkowych doprowadza rozwiązanie zadania do końca, to otrzymuje 3 punkty.
Jeśli nie doprowadza rozwiązania zadania do końca lub na którymkolwiek etapie popełnia
błąd rachunkowy, to otrzymuje 0 punktów.
Egzamin ósmoklasisty z matematyki. Test diagnostyczny - grudzień 2024 r.

\n
  1. Jeżeli uczeń rozwiązuje trzy równania:
\n

1,5𝑥+ 18 = 88 -2𝑥 oraz 1,5𝑥+ 18 = 3𝑥-12 oraz 3𝑥-12 = 88 -2𝑥
i na podstawie otrzymanej wartości zmiennej 𝑥, formułuje poprawny wniosek o równości
boków trójkąta 𝐴𝐵𝐶, to otrzymuje 3 punkty.

\n
  1. Nie ocenia się stosowania jednostki.
\n

Przykładowe rozwiązania ocenione na 3 punkty
I sposób
Długość boku 𝐴𝐶 w tym trójkącie jest równa długości boku 𝐵𝐶, zatem zapiszemy
równanie:
3𝑥-12 = 88 -2𝑥
5𝑥= 100
𝑥= 20
Obliczymy długości boków trójkąta 𝐴𝐵𝐶:
|𝐴𝐶| = 3 ⋅20 -12 = 60 -12 = 48
|𝐵𝐶| = 88 -2 ⋅20 = 88 -40 = 48
|𝐴𝐵| = 1,5 ⋅20 + 18 = 30 + 18 = 48
|𝐴𝐶| = |𝐵𝐶| = |𝐴𝐵| = 48
Boki tego trójkąta są jednakowej długości, zatem trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoboczny.
II sposób
Długość boku 𝐴𝐶 w tym trójkącie jest równa długości boku 𝐵𝐶, zatem zapiszemy
równanie:
3𝑥-12 = 88 -2𝑥
5𝑥= 100
𝑥= 20
Stąd wynika, że bok 𝐴𝐵 ma długość:
1,5𝑥+ 18 = 1,5 ⋅20 + 18 = 48
Obliczymy długość boku 𝐴𝐶:
3𝑥-12 = 60 -12 = 48
Wiadomo, że |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶| = 48 oraz |𝐴𝐵| = 48, zatem trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoboczny.
Boki tego trójkąta są jednakowej długości, zatem trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoboczny.
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Z warunku AC=BC otrzymujemy równanie:

\n

3x-12=88-2x

\n

5x=100 x=20

\n

Długości boków:

\n

AC=3·20-12=48

\n

BC=88-2·20=48

\n

AB=1 , 5·20+18=48

\n

Wszystkie trzy boki mają tę samą długość, więc trójkąt ABC jest równoboczny.

\n

Odpowiedź: każdy bok ma długość 48.

"}]}