{"id":"matematyka-2024-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/18","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny","number":"18","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2024,"month":"grudzien","level":null,"text":"Zadanie 18. (0-3)","answer":"204 cm^2","answer_text":"Zadanie 18. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Używanie prostych, dobrze znanych\nobiektów matematycznych,\ninterpretowanie pojęć matematycznych\ni operowanie obiektami matematycznymi.\nKLASY IV-VI\nXI. Obliczenia w geometrii. Uczeń:\n3) oblicza pola: […] trapezu,\nprzedstawionych[ego] na rysunku […].\nKLASY VII i VIII\nVIII. Własności figur geometrycznych na\npłaszczyźnie. Uczeń:\n7) zna i stosuje w sytuacjach praktycznych\ntwierdzenie Pitagorasa […].\nZasady oceniania\n3 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób obliczenia pola trapezu, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik\nliczbowy zgodny z zastosowaną jednostką (204 cm2).\n2 punkty\n• poprawny sposób obliczenia długości odcinka 𝐴𝐸, czyli poprawne zastosowanie\ntwierdzenia Pitagorasa oraz poprawny sposób obliczenia długości podstawy 𝐴𝐵 trapezu,\nnp. zapisanie poprawnego wyrażenia arytmetycznego, oraz poprawny sposób obliczenia\npola trapezu (zgodnie z przyjętymi oznaczeniami lub długościami odcinków otrzymanymi\nw wyniku zastosowania poprawnego sposobu ich obliczenia), np.\n122 + |𝐴𝐸|2 = 132 oraz 12 cm + 2 ⋅|𝐴𝐸| = |𝐴𝐵| oraz 𝑃=\n(|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|) ⋅ |𝐷𝐸|\n2\n(lub zapisy równoważne)\nalbo\n122 + |𝐴𝐸|2 = 132 oraz 12 cm + 2 ⋅5 cm = 22 cm oraz 𝑃=\n(12 + 22) ⋅12\n2\n(lub zapisy równoważne)\nLUB\n• ustalenie (np. zapisanie na rysunku) długości odcinka 𝐴𝐸 (5 cm) oraz ustalenie (np.\nzapisanie na rysunku) długości podstawy 𝐴𝐵 trapezu (22 cm) oraz poprawny sposób\nobliczenia pola trapezu (zgodnie z przyjętymi oznaczeniami lub poprawnymi wartościami\nliczbowymi), np. zapisanie:\n|𝐴𝐸| = 5 cm oraz |𝐴𝐵| = 22 cm oraz 𝑃=\n(|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|) ⋅ |𝐷𝐸|\n2\n(lub zapisy równoważne)\nalbo\n|𝐴𝐸| = 5 cm oraz |𝐴𝐵| = 22 cm oraz 𝑃=\n(12 + 22) ⋅12\n2\n(lub zapisy równoważne),\nLUB\n• zapisanie zgodnie z oznaczeniami, że pole trapezu jest sumą pola trójkąta prostokątnego\n𝐴𝐸𝐷 o przyprostokątnej 12 cm, pola trójkąta przystającego do niego i pola kwadratu\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki. Test diagnostyczny - grudzień 2024 r.\no boku długości 12 cm oraz poprawny sposób obliczenia długości odcinka 𝐴𝐸, np.\nzapisanie:\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 2 ⋅1\n2 ⋅|𝐴𝐸| ⋅12 + 122 oraz 122 + |𝐴𝐸|2 = 132 (lub zapisy równoważne).\n1 punkt\n• poprawny sposób obliczenia długości odcinka 𝐴𝐸, czyli poprawne zastosowanie\ntwierdzenia Pitagorasa, np. zapisanie:\n122 + |𝐴𝐸|2 = 132\nLUB\n• zapisanie, że długość odcinka 𝐴𝐸 jest równa 5 cm (np. na rysunku) bez przedstawienia\nsposobu jej obliczenia,\nLUB\n• zapisanie zgodnie z oznaczeniami, wzoru na pole trapezu z uwzględnieniem długości\npodstawy 𝐶𝐷 trapezu, wysokości 𝐷𝐸 oraz zależności między długościami podstaw\ntrapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷, np.\n𝑃=\n(12 + 12 + 2 ⋅ |𝐴𝐸|) ⋅12\n2\nLUB\n• zapisanie zgodnie z oznaczeniami, że pole trapezu jest sumą pola trójkąta prostokątnego\n𝐴𝐸𝐷 o przyprostokątnej 12 cm, pola trójkąta przystającego do niego i pola kwadratu\no boku długości 12 cm, np.\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 2 ⋅1\n2 ⋅|𝐴𝐸| ⋅12 + 122 (lub zapisy równoważne).\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nUwaga\nBrak jednostki lub zapisanie niewłaściwej jednostki w wyniku końcowym traktuje się jako błąd\nrachunkowy.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 3 punkty\nI sposób\nObliczymy długość odcinka 𝐴𝐸 z twierdzenia Pitagorasa:\n|𝐴𝐸|2 + 122 = 132\n|𝐴𝐸|2 = 169 -144 = 25\n|𝐴𝐸| = 5 (cm)\nPonieważ trapez 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równoramienny, to |𝐴𝐸| = |𝐹𝐵| = 5 (cm).\nObliczymy długość podstawy 𝐴𝐵 trapezu:\n|𝐴𝐵| = 12 cm + 2 ⋅5 cm = 22 (cm)\nObliczymy pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷:\n𝑃=\n(12 + 22) ⋅12\n2\n= 204 (cm2)\nOdpowiedź: Pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe 204 cm2.\nII sposób\nObliczymy pole kwadratu 𝐸𝐹𝐶𝐷:\n𝑃𝐸𝐹𝐶𝐷= 122 = 144 (cm2)\nObliczymy długość odcinka 𝐴𝐸\nz twierdzenia Pitagorasa:\n|𝐴𝐸|2 + 122 = 132\n|𝐴𝐸|2 = 169 -144 = 25\n|𝐴𝐸| = 5 (cm)\nTrapez 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równoramienny, zatem |𝐴𝐸| = |𝐹𝐵| = 5 (cm).\nZauważymy, że trójkąty 𝐴𝐸𝐷 i 𝐵𝐹𝐶 są przystające. Obliczymy pole trójkąta 𝐴𝐸𝐷 oraz\npole trójkąta 𝐵𝐹𝐶:\n𝑃𝐴𝐸𝐷= 𝑃𝐵𝐹𝐶= 1\n2 ⋅5 ⋅12 = 30 (cm2)\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n12 cm\n12 cm\n13 cm\n𝐹\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n12 cm\n12 cm\n13 cm\n𝐹\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki. Test diagnostyczny - grudzień 2024 r.\nObliczymy pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jako sumę pól dwóch trójkątów prostokątnych 𝐴𝐸𝐷 i 𝐵𝐹𝐶\noraz pola kwadratu 𝐸𝐹𝐶𝐷:\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 2 ⋅𝑃𝐴𝐸𝐷 + 𝑃𝐸𝐹𝐶𝐷\n𝑃= 2 ⋅30 cm2 + 144 cm2 = 204 cm2\nOdpowiedź: Pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe 204 cm2.\nIII sposób\nObliczymy długość odcinka 𝐴𝐸\nz twierdzenia Pitagorasa:\n|𝐴𝐸|2 + 122 = 132\n|𝐴𝐸|2 = 169 -144 = 25\n|𝐴𝐸| = 5 (cm)\nPonieważ trapez 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równoramienny, to |𝐴𝐸| = |𝐹𝐵| = 5 (cm).\nZauważymy, że trójkąt prostokątny 𝐵𝐹𝐶 jest przystający do trójkąta prostokątnego 𝐴𝐸𝐷.\nZ tych trójkątów i z kwadratu o boku długości 12 cm można zbudować prostokąt o polu\nrównym polu trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷.\nObliczymy pole otrzymanego prostokąta:\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑃𝑝𝑟𝑜𝑠𝑡𝑜𝑘ą𝑡𝑎= 12 ⋅17 = 204 cm2\nOdpowiedź: Pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe 204 cm2.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n12 cm\n12 cm\n𝐹\n5 cm\n5 cm\n12 cm\n12 cm\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"W trójkącie prostokątnym ADE :\n\nAE=√(13^2-12^2)=√(169-144)=5 cm\n\nTrapez jest równoramienny, więc po drugiej stronie otrzymujemy taki sam odcinek długości 5 cm.\n\nAB=12+5+5=22 cm\n\nP=((12+22)·12)/(2)=204 cm^2\n\nOdpowiedź: 204 cm^2 .","image":"img/matematyka-2024-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":"Pola i obwody","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · grudzień 2024","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty","text_html":"<p>Zadanie 18. (0-3)</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 18. (0-3)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Używanie prostych, dobrze znanych</li></ol>\n<p>obiektów matematycznych,<br>interpretowanie pojęć matematycznych<br>i operowanie obiektami matematycznymi.<br>KLASY IV-VI<br>XI. Obliczenia w geometrii. Uczeń:</p>\n<ol><li>oblicza pola: […] trapezu,</li></ol>\n<p>przedstawionych[ego] na rysunku […].<br>KLASY VII i VIII<br>VIII. Własności figur geometrycznych na<br>płaszczyźnie. Uczeń:</p>\n<ol><li>zna i stosuje w sytuacjach praktycznych</li></ol>\n<p>twierdzenie Pitagorasa […].<br>Zasady oceniania<br>3 punkty - pełne rozwiązanie<br>poprawny sposób obliczenia pola trapezu, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik<br>liczbowy zgodny z zastosowaną jednostką (204 cm2).<br>2 punkty<br>• poprawny sposób obliczenia długości odcinka 𝐴𝐸, czyli poprawne zastosowanie<br>twierdzenia Pitagorasa oraz poprawny sposób obliczenia długości podstawy 𝐴𝐵 trapezu,<br>np. zapisanie poprawnego wyrażenia arytmetycznego, oraz poprawny sposób obliczenia<br>pola trapezu (zgodnie z przyjętymi oznaczeniami lub długościami odcinków otrzymanymi<br>w wyniku zastosowania poprawnego sposobu ich obliczenia), np.<br>122 + |𝐴𝐸|2 = 132 oraz 12 cm + 2 ⋅|𝐴𝐸| = |𝐴𝐵| oraz 𝑃=<br>(|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|) ⋅ |𝐷𝐸|<br>2<br>(lub zapisy równoważne)<br>albo<br>122 + |𝐴𝐸|2 = 132 oraz 12 cm + 2 ⋅5 cm = 22 cm oraz 𝑃=<br>(12 + 22) ⋅12<br>2<br>(lub zapisy równoważne)<br>LUB<br>• ustalenie (np. zapisanie na rysunku) długości odcinka 𝐴𝐸 (5 cm) oraz ustalenie (np.<br>zapisanie na rysunku) długości podstawy 𝐴𝐵 trapezu (22 cm) oraz poprawny sposób<br>obliczenia pola trapezu (zgodnie z przyjętymi oznaczeniami lub poprawnymi wartościami<br>liczbowymi), np. zapisanie:<br>|𝐴𝐸| = 5 cm oraz |𝐴𝐵| = 22 cm oraz 𝑃=<br>(|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|) ⋅ |𝐷𝐸|<br>2<br>(lub zapisy równoważne)<br>albo<br>|𝐴𝐸| = 5 cm oraz |𝐴𝐵| = 22 cm oraz 𝑃=<br>(12 + 22) ⋅12<br>2<br>(lub zapisy równoważne),<br>LUB<br>• zapisanie zgodnie z oznaczeniami, że pole trapezu jest sumą pola trójkąta prostokątnego<br>𝐴𝐸𝐷 o przyprostokątnej 12 cm, pola trójkąta przystającego do niego i pola kwadratu<br>Egzamin ósmoklasisty z matematyki. Test diagnostyczny - grudzień 2024 r.<br>o boku długości 12 cm oraz poprawny sposób obliczenia długości odcinka 𝐴𝐸, np.<br>zapisanie:<br>𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 2 ⋅1<br>2 ⋅|𝐴𝐸| ⋅12 + 122 oraz 122 + |𝐴𝐸|2 = 132 (lub zapisy równoważne).<br>1 punkt<br>• poprawny sposób obliczenia długości odcinka 𝐴𝐸, czyli poprawne zastosowanie<br>twierdzenia Pitagorasa, np. zapisanie:<br>122 + |𝐴𝐸|2 = 132<br>LUB<br>• zapisanie, że długość odcinka 𝐴𝐸 jest równa 5 cm (np. na rysunku) bez przedstawienia<br>sposobu jej obliczenia,<br>LUB<br>• zapisanie zgodnie z oznaczeniami, wzoru na pole trapezu z uwzględnieniem długości<br>podstawy 𝐶𝐷 trapezu, wysokości 𝐷𝐸 oraz zależności między długościami podstaw<br>trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷, np.<br>𝑃=<br>(12 + 12 + 2 ⋅ |𝐴𝐸|) ⋅12<br>2<br>LUB<br>• zapisanie zgodnie z oznaczeniami, że pole trapezu jest sumą pola trójkąta prostokątnego<br>𝐴𝐸𝐷 o przyprostokątnej 12 cm, pola trójkąta przystającego do niego i pola kwadratu<br>o boku długości 12 cm, np.<br>𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 2 ⋅1<br>2 ⋅|𝐴𝐸| ⋅12 + 122 (lub zapisy równoważne).<br>0 punktów<br>rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.<br>Uwaga<br>Brak jednostki lub zapisanie niewłaściwej jednostki w wyniku końcowym traktuje się jako błąd<br>rachunkowy.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Przykładowe rozwiązania ocenione na 3 punkty<br>I sposób<br>Obliczymy długość odcinka 𝐴𝐸 z twierdzenia Pitagorasa:<br>|𝐴𝐸|2 + 122 = 132<br>|𝐴𝐸|2 = 169 -144 = 25<br>|𝐴𝐸| = 5 (cm)<br>Ponieważ trapez 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równoramienny, to |𝐴𝐸| = |𝐹𝐵| = 5 (cm).<br>Obliczymy długość podstawy 𝐴𝐵 trapezu:<br>|𝐴𝐵| = 12 cm + 2 ⋅5 cm = 22 (cm)<br>Obliczymy pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷:<br>𝑃=<br>(12 + 22) ⋅12<br>2<br>= 204 (cm2)<br>Odpowiedź: Pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe 204 cm2.<br>II sposób<br>Obliczymy pole kwadratu 𝐸𝐹𝐶𝐷:<br>𝑃𝐸𝐹𝐶𝐷= 122 = 144 (cm2)<br>Obliczymy długość odcinka 𝐴𝐸<br>z twierdzenia Pitagorasa:<br>|𝐴𝐸|2 + 122 = 132<br>|𝐴𝐸|2 = 169 -144 = 25<br>|𝐴𝐸| = 5 (cm)<br>Trapez 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równoramienny, zatem |𝐴𝐸| = |𝐹𝐵| = 5 (cm).<br>Zauważymy, że trójkąty 𝐴𝐸𝐷 i 𝐵𝐹𝐶 są przystające. Obliczymy pole trójkąta 𝐴𝐸𝐷 oraz<br>pole trójkąta 𝐵𝐹𝐶:<br>𝑃𝐴𝐸𝐷= 𝑃𝐵𝐹𝐶= 1<br>2 ⋅5 ⋅12 = 30 (cm2)<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷<br>𝐸<br>12 cm<br>12 cm<br>13 cm<br>𝐹<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷<br>𝐸<br>12 cm<br>12 cm<br>13 cm<br>𝐹<br>Egzamin ósmoklasisty z matematyki. Test diagnostyczny - grudzień 2024 r.<br>Obliczymy pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jako sumę pól dwóch trójkątów prostokątnych 𝐴𝐸𝐷 i 𝐵𝐹𝐶<br>oraz pola kwadratu 𝐸𝐹𝐶𝐷:<br>𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 2 ⋅𝑃𝐴𝐸𝐷 + 𝑃𝐸𝐹𝐶𝐷<br>𝑃= 2 ⋅30 cm2 + 144 cm2 = 204 cm2<br>Odpowiedź: Pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe 204 cm2.<br>III sposób<br>Obliczymy długość odcinka 𝐴𝐸<br>z twierdzenia Pitagorasa:<br>|𝐴𝐸|2 + 122 = 132<br>|𝐴𝐸|2 = 169 -144 = 25<br>|𝐴𝐸| = 5 (cm)<br>Ponieważ trapez 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równoramienny, to |𝐴𝐸| = |𝐹𝐵| = 5 (cm).<br>Zauważymy, że trójkąt prostokątny 𝐵𝐹𝐶 jest przystający do trójkąta prostokątnego 𝐴𝐸𝐷.<br>Z tych trójkątów i z kwadratu o boku długości 12 cm można zbudować prostokąt o polu<br>równym polu trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷.<br>Obliczymy pole otrzymanego prostokąta:<br>𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑃𝑝𝑟𝑜𝑠𝑡𝑜𝑘ą𝑡𝑎= 12 ⋅17 = 204 cm2<br>Odpowiedź: Pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe 204 cm2.<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷<br>𝐸<br>12 cm<br>12 cm<br>𝐹<br>5 cm<br>5 cm<br>12 cm<br>12 cm<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>W trójkącie prostokątnym ADE :</p>\n<p>AE=√(13^2-12^2)=√(169-144)=5 cm</p>\n<p>Trapez jest równoramienny, więc po drugiej stronie otrzymujemy taki sam odcinek długości 5 cm.</p>\n<p>AB=12+5+5=22 cm</p>\n<p>P=((12+22)·12)/(2)=204 cm^2</p>\n<p>Odpowiedź: 204 cm^2 .</p>"}]}