{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-2)\nObjętość stożka o wysokości 2 jest równa 8𝜋.\nOblicz miarę kąta rozwarcia tego stożka. Zapisz obliczenia.\n26.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nObjętość stożka o wysokości $2$ jest równa $8\\pi$. Oblicz miarę kąta rozwarcia tego stożka. Zapisz obliczenia.","answer":"120°","answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nX.4) rozpoznaje […] w stożkach kąt między\nodcinkami oraz kąt między odcinkami\ni płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka,\nkąt między tworzącą a podstawą), oblicza\nmiary tych kątów;\nX.5) oblicza objętości […] stożka […].\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 120°.\n1 pkt - obliczenie kwadratu promienia podstawy stożka: 𝑟2 = 12 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZe wzoru na objętość stożka otrzymujemy:\n𝑉= 1\n3 ⋅𝜋⋅𝑟2 ⋅𝐻\n8𝜋= 1\n3 ⋅𝜋⋅𝑟2 ⋅2\n𝑟2 = 12\n𝑟= √12 = 2√3\nNiech 𝛼 oznacza połowę miary kąta rozwarcia stożka. Wtedy\ntg 𝛼= 2√3\n2\n= √3\nStąd 𝛼= 60°.\nZatem kąt rozwarcia stożka ma miarę 120°.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Objętość stożka obliczamy ze wzoru:\n\nV=(1)/(3)π r^2h.\n\nPodstawiamy V=8π oraz h=2 :\n\n8π=(1)/(3)π r^2·2,\n\nr^2=12,\n\nr=2√(3).\n\nPrzekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Połowę kąta rozwarcia oznaczmy przez β . W powstałym trójkącie prostokątnym:\n\ntanβ=(r)/(h)=(2√(3))/(2)=√(3).\n\nStąd β=60^° . Kąt rozwarcia stożka ma więc miarę:\n\n2β=120^°.\n\nOdpowiedź: 120^° .","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-26.svg","topics":"Bryły obrotowe, stereometria","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"<p>Zadanie 26. (0-2)<br>Objętość stożka o wysokości 2 jest równa 8𝜋.<br>Oblicz miarę kąta rozwarcia tego stożka. Zapisz obliczenia.<br>26.<br>0-1-2</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Objętość stożka o wysokości $2$ jest równa $8\\pi$. Oblicz miarę kąta rozwarcia tego stożka. Zapisz obliczenia.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 26. (0-2)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Stosowanie i tworzenie strategii przy</li></ol>\n<p>rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Zdający:<br>X.4) rozpoznaje […] w stożkach kąt między<br>odcinkami oraz kąt między odcinkami<br>i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka,<br>kąt między tworzącą a podstawą), oblicza<br>miary tych kątów;<br>X.5) oblicza objętości […] stożka […].<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 120°.<br>1 pkt - obliczenie kwadratu promienia podstawy stożka: 𝑟2 = 12 .<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Ze wzoru na objętość stożka otrzymujemy:<br>𝑉= 1<br>3 ⋅𝜋⋅𝑟2 ⋅𝐻<br>8𝜋= 1<br>3 ⋅𝜋⋅𝑟2 ⋅2<br>𝑟2 = 12<br>𝑟= √12 = 2√3<br>Niech 𝛼 oznacza połowę miary kąta rozwarcia stożka. Wtedy<br>tg 𝛼= 2√3<br>2<br>= √3<br>Stąd 𝛼= 60°.<br>Zatem kąt rozwarcia stożka ma miarę 120°.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-26.svg"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Objętość stożka obliczamy ze wzoru:</p>\n<p>V=(1)/(3)π r^2h.</p>\n<p>Podstawiamy V=8π oraz h=2 :</p>\n<p>8π=(1)/(3)π r^2·2,</p>\n<p>r^2=12,</p>\n<p>r=2√(3).</p>\n<p>Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Połowę kąta rozwarcia oznaczmy przez β . W powstałym trójkącie prostokątnym:</p>\n<p>tanβ=(r)/(h)=(2√(3))/(2)=√(3).</p>\n<p>Stąd β=60^° . Kąt rozwarcia stożka ma więc miarę:</p>\n<p>2β=120^°.</p>\n<p>Odpowiedź: 120^° .</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$120^\\circ$</p>"}]}