Zadanie 28. (0-2)
Dane są dwa zbiory: 𝐶= {1, 2, 3, 4, 5, 6} oraz 𝐷= {7, 8, 9, 10}.
Losujemy jedną liczbę ze zbioru 𝐶, a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru 𝐷.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨 polegającego na tym, że wylosujemy liczby,
których iloczyn będzie podzielny przez 𝟒. Zapisz obliczenia.
28.
0-1-2
MMAP-P0_100
Dane są dwa zbiory: C={1,2,3,4,5,6} oraz D={7,8,9,10}. Losujemy jedną liczbę ze zbioru C, a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru D. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że wylosujemy liczby, których iloczyn będzie podzielny przez 4.
Zadanie 28. (0-2)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
Zdający:
XII.1) oblicza prawdopodobieństwo
w modelu klasycznym.
Zasady oceniania
2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑃(𝐴) = 11
24
1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych LUB obliczenie/podanie liczby tych
zdarzeń: |Ω| = 6 ⋅4, LUB sporządzenie tabeli o 24 polach odpowiadających
zdarzeniom elementarnym, LUB sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego
ALBO
sprzyjających zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego,
ALBO
|𝐴| = 11, o ile nie zostały zliczone błędne pary,
ALBO
sprzyjające zdarzeniu 𝐴, oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej
jednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,
ALBO
24
,
ALBO
24
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 11 lub 24 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych
liczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie
𝑥∈{1, 2, 3, 4, 5, 6} oraz 𝑦∈{7, 8, 9, 10}.
Liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych obliczamy z wykorzystaniem reguły mnożenia.
Moc zbioru Ω jest równa 6 ⋅4 = 24.
Zdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:
(1, 8), (2, 8), (2, 10), (3, 8), (4, 7), (4, 8), (4, 9), (4, 10), (5, 8), (6, 8), (6, 10),
więc moc zbioru 𝐴 jest równa 11.
Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 11
24
Sposób II
W tabeli literą 𝒜 zaznaczamy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴 (pary liczb,
których iloczyn jest podzielny przez 4).
1
2
3
4
5
6
7
𝒜
8
𝒜
𝒜
𝒜
𝒜
𝒜
𝒜
9
𝒜
10
𝒜
𝒜
𝒜
Moc zbioru Ω jest równa 24.
Zdarzeń sprzyjających wylosowaniu liczb, których iloczyn jest podzielny przez 4, jest 11.
Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 11
24
𝐶
𝐷
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Sposób III (drzewo stochastyczne)
Rysujemy fragment drzewa stochastycznego rozważanego doświadczenia z uwzględnieniem
wszystkich istotnych gałęzi.
Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe
𝑃(𝐴) = 3
6 ⋅1
4 + 2
6 ⋅2
4 + 1
6 ⋅4
4 = 11
24
Wszystkich możliwych wyników losowania jest:
\n|Ω|=6·4=24.
\nLiczymy wyniki sprzyjające:
\n• dla liczby 8 ze zbioru D każdy iloczyn jest podzielny przez 4 - 6 wyników,
\n• dla liczby 7 tylko liczba 4 ze zbioru C daje odpowiedni iloczyn - 1 wynik,
\n• dla liczby 9 również tylko liczba 4 - 1 wynik,
\n• dla liczby 10 należy wylosować liczbę parzystą: 2 , 4 lub 6 - 3 wyniki.
\nZatem:
\n|A|=6+1+1+3=11.
\nPrawdopodobieństwo wynosi:
\nP(A)=(|A|)/(|Ω|)=(11)/(24).
\nOdpowiedź: (11)/(24) .
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"$\\\\dfrac{11}{24}$
"}]}