{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa","number":"3","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-2)\nWykaż, że liczba 𝟐𝟏𝟎𝟎+ 𝟒𝟒𝟗+ 𝟏𝟔𝟐𝟒 jest podzielna przez 𝟐𝟏.\n3.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nWykaż, że liczba 2^100+4^49+16^24 jest podzielna przez 21.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nI.2) przeprowadza proste dowody dotyczące\npodzielności liczb całkowitych […];\nI.4) stosuje […] prawa działań na potęgach\n[…].\nZasady oceniania\n2 pkt - przekształcenie wyrażenia 2100 + 449 + 1624 do postaci 21 ⋅𝑛, gdzie 𝑛 jest liczbą\nnaturalną, np.: 296 ⋅21, 448 ⋅21.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia 2100 + 449 + 1624 do postaci 2100 + 298 + 296\nALBO\n- przekształcenie wyrażenia 2100 + 449 + 1624 do postaci 450 + 449 + 448,\nALBO\n- przekształcenie wyrażenia 2100 + 449 + 1624 do postaci 1625 + 1624 ⋅4 + 1624.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nKorzystamy z własności działań na potęgach i otrzymujemy:\n2100 + 449 + 1624 = 2100 + (22)49 + (24)24 = 2100 + 298 + 296\nWyłączamy wspólny czynnik przed nawias\n2100 + 298 + 296 = 296 ⋅(24 + 22 + 1) = 296 ⋅21\nLiczba 296 jest liczbą całkowitą, zatem liczba 2100 + 449 + 1624 jest podzielna przez 21.\nSposób II\nKorzystamy z własności działań na potęgach i otrzymujemy:\n2100 + 449 + 1624 = (22)50 + 449 + (42)24 = 450 + 449 + 448\nWyłączamy wspólny czynnik przed nawias\n450 + 449 + 448 = 448 ⋅(42 + 4 + 1) = 448 ⋅21\nLiczba 448 jest liczbą całkowitą, zatem liczba 2100 + 449 + 1624 jest podzielna przez 21.\nSposób III\nKorzystamy z własności działań na potęgach i otrzymujemy:\n2100 + 449 + 1624 = (24)25 + (42)24 ⋅4 + 1624 = 1625 + 1624 ⋅4 + 1624\nWyłączamy wspólny czynnik przed nawias\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n1625 + 1624 ⋅4 + 1624 = 1624 ⋅(16 + 4 + 1) = 1624 ⋅21\nLiczba 1624 jest liczbą całkowitą, zatem liczba 2100 + 449 + 1624 jest podzielna przez 21.","solution":"Sprowadzamy wszystkie składniki do potęg o podstawie 2 :\n\n2^100+4^49+16^24\n=2^100+(2^2)^49+(2^4)^24\n\n=2^100+2^98+2^96.\n\nWyłączamy przed nawias 2^96 :\n\n2^96 (2^4+2^2+1 )\n=2^96(16+4+1)\n=21· 2^96.\n\nOtrzymana liczba ma czynnik 21 , więc jest podzielna przez 21 .","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-3.svg","topics":"Dowody algebraiczne, wykladnicza","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"<p>Zadanie 3. (0-2)<br>Wykaż, że liczba 𝟐𝟏𝟎𝟎+ 𝟒𝟒𝟗+ 𝟏𝟔𝟐𝟒 jest podzielna przez 𝟐𝟏.<br>3.<br>0-1-2</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Wykaż, że liczba 2^100+4^49+16^24 jest podzielna przez 21.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 3. (0-2)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Przeprowadzanie rozumowań, także</li></ol>\n<p>kilkuetapowych, podawanie argumentów<br>uzasadniających poprawność rozumowania,<br>odróżnianie dowodu od przykładu.<br>Zdający:<br>I.2) przeprowadza proste dowody dotyczące<br>podzielności liczb całkowitych […];<br>I.4) stosuje […] prawa działań na potęgach<br>[…].<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - przekształcenie wyrażenia 2100 + 449 + 1624 do postaci 21 ⋅𝑛, gdzie 𝑛 jest liczbą<br>naturalną, np.: 296 ⋅21, 448 ⋅21.<br>1 pkt - przekształcenie wyrażenia 2100 + 449 + 1624 do postaci 2100 + 298 + 296<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie wyrażenia 2100 + 449 + 1624 do postaci 450 + 449 + 448,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie wyrażenia 2100 + 449 + 1624 do postaci 1625 + 1624 ⋅4 + 1624.</li></ul>\n<p>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Korzystamy z własności działań na potęgach i otrzymujemy:<br>2100 + 449 + 1624 = 2100 + (22)49 + (24)24 = 2100 + 298 + 296<br>Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias<br>2100 + 298 + 296 = 296 ⋅(24 + 22 + 1) = 296 ⋅21<br>Liczba 296 jest liczbą całkowitą, zatem liczba 2100 + 449 + 1624 jest podzielna przez 21.<br>Sposób II<br>Korzystamy z własności działań na potęgach i otrzymujemy:<br>2100 + 449 + 1624 = (22)50 + 449 + (42)24 = 450 + 449 + 448<br>Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias<br>450 + 449 + 448 = 448 ⋅(42 + 4 + 1) = 448 ⋅21<br>Liczba 448 jest liczbą całkowitą, zatem liczba 2100 + 449 + 1624 jest podzielna przez 21.<br>Sposób III<br>Korzystamy z własności działań na potęgach i otrzymujemy:<br>2100 + 449 + 1624 = (24)25 + (42)24 ⋅4 + 1624 = 1625 + 1624 ⋅4 + 1624<br>Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>1625 + 1624 ⋅4 + 1624 = 1624 ⋅(16 + 4 + 1) = 1624 ⋅21<br>Liczba 1624 jest liczbą całkowitą, zatem liczba 2100 + 449 + 1624 jest podzielna przez 21.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-3.svg"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Sprowadzamy wszystkie składniki do potęg o podstawie 2 :</p>\n<p>2^100+4^49+16^24<br>=2^100+(2^2)^49+(2^4)^24</p>\n<p>=2^100+2^98+2^96.</p>\n<p>Wyłączamy przed nawias 2^96 :</p>\n<p>2^96 (2^4+2^2+1 )<br>=2^96(16+4+1)<br>=21· 2^96.</p>\n<p>Otrzymana liczba ma czynnik 21 , więc jest podzielna przez 21 .</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>Dowód</p>"}]}