{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa","number":"30","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-4)\nRozważamy wszystkie prostopadłościany 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻, w których krawędź 𝐴𝐸 jest 3 razy\ndłuższa od krawędzi 𝐴𝐵, a suma długości wszystkich dwunastu krawędzi\nprostopadłościanu jest równa 48 (zobacz rysunek).\nNiech 𝑃(𝑥) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu\nw zależności od długości 𝑥 krawędzi 𝐴𝐵.\nWyznacz wzór i dziedzinę funkcji 𝑷. Oblicz długość 𝒙 krawędzi 𝑨𝑩 tego\nz rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest\nnajwiększe. Zapisz obliczenia.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐺\n𝐻\n𝐸\n𝐹\n𝑥\n30.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nRozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEFGH, w których krawędź AE jest 3 razy dłuższa od krawędzi AB, a suma długości wszystkich dwunastu krawędzi prostopadłościanu jest równa 48 (zobacz rysunek). Niech P(x) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości x krawędzi AB. [rysunek] Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji P. Oblicz długość x krawędzi AB tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXIII) rozwiązuje zadania optymalizacyjne\nw sytuacjach dających się opisać funkcją\nkwadratową.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawne wyniki, np.:\n𝑃(𝑥) = -26𝑥2 + 96𝑥 oraz 𝐷= (0, 3) oraz 𝑥= 24\n13\n3 pkt - zapisanie poprawnego wzoru na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu\n𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 w zależności od zmiennej 𝑥 oraz wyznaczenie dziedziny 𝐷 tej\nfunkcji, np. 𝑃(𝑥) = -26𝑥2 + 96𝑥 oraz 𝐷= (0, 3)\nALBO\n- zapisanie poprawnego wzoru na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu\n𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 w zależności od zmiennej 𝑥 (bez wyznaczonej dziedziny funkcji 𝑃)\noraz prawidłowe obliczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka wykresu funkcji 𝑃,\nnp. 𝑃(𝑥) = -26𝑥2 + 96𝑥 oraz 𝑥= 24\n13\n2 pkt - zapisanie poprawnego wzoru na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu\n𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 w zależności od zmiennej 𝑥 (bez wyznaczonej dziedziny funkcji 𝑃),\nnp. 𝑃(𝑥) = -26𝑥2 + 96𝑥\nALBO\n- zapisanie zależności między długościami krawędzi 𝐴𝐷 i 𝐴𝐵 prostopadłościanu\noraz wyznaczenie zakresu zmienności 𝑥, np.\n4 ⋅𝑥+ 4 ⋅|𝐴𝐷| + 4 ⋅3𝑥= 48 oraz 𝑥∈(0, 3).\n1 pkt - zapisanie zależności między długościami krawędzi 𝐴𝐷 i 𝐴𝐵 prostopadłościanu,\nnp. 4 ⋅𝑥+ 4 ⋅|𝐴𝐷| + 4 ⋅3𝑥= 48\nALBO\n- wyznaczenie zakresu zmienności 𝑥: 𝑥∈(0, 3).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisze poprawny wzór funkcji 𝑃 zmiennej 𝑥 oraz zapisze poprawną\ndziedzinę funkcji 𝑃, a następnie obliczy 𝑃(24\n13) oraz wartości funkcji 𝑃 dla dwóch\nargumentów leżących symetrycznie względem prostej 𝑥= 24\n13, i nie odwoła się do\nsymetrii wykresu funkcji kwadratowej, to otrzymuje 3 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający nie zapisze pola powierzchni całkowitej prostopadłościanu jako funkcji 𝑃\nzmiennej 𝑥, a jedynie obliczy wartości pola dla wybranych długości krawędzi i na tej\npodstawie wskazuje największą wartość pola, to za całe rozwiązanie otrzymuje\n0 punktów, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\n3. Jeżeli zdający zamiast sumy długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu rozpatruje\nsumę obwodów wszystkich jego ścian i rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, to\nmoże otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (za konsekwentne:\nwyznaczenie wzoru funkcji pola, dziedziny tej funkcji oraz obliczenie wartości 𝑥, dla której\nfunkcja osiąga wartość największą).\n4. Jeżeli zdający w wyniku popełnionych błędów otrzymuje funkcję pola, która jest funkcją\nkwadratową o dodatnim współczynniku przy 𝑥2, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty\nza całe rozwiązanie (za zapisanie zależności między długościami krawędzi 𝐴𝐷 i 𝐴𝐵\nprostopadłościanu oraz za wyznaczenie zakresu zmienności 𝑥).\n5. Jeżeli zdający oblicza największą wartość funkcji 𝑃 z wykorzystaniem rachunku\nróżniczkowego i nie uzasadni, że w punkcie będącym miejscem zerowym pochodnej\nfunkcji 𝑃 jest największa wartość funkcji 𝑃, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za\ncałe rozwiązanie.\nZa poprawne uzasadnienie, że w punkcie będącym miejscem zerowym pochodnej\nfunkcji 𝑃 jest największa wartość funkcji 𝑃, można uznać sytuację, gdy zdający bada\nznak pochodnej (np. szkicuje wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna\nzmienia znak, i zaznacza na rysunku, np. znakami „+” i „-”, znak pochodnej), oraz:\n- opisuje przedziały monotoniczności funkcji 𝑃 (słownie lub graficznie - np. przy użyciu\nstrzałek)\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonego miejsca zerowego pochodnej, funkcja 𝑃 ma maksimum\nlokalne i jest to jednocześnie jej największa wartość,\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonego miejsca zerowego pochodnej, funkcja 𝑃 ma maksimum\nlokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nPonieważ |𝐴𝐵| = 𝑥, więc |𝐴𝐸| = 3𝑥.\nSuma długości wszystkich dwunastu krawędzi prostopadłościanu jest równa 48, zatem\n4 ⋅|𝐴𝐵| + 4 ⋅|𝐴𝐷| + 4 ⋅|𝐴𝐸| = 48\n|𝐴𝐵| + |𝐴𝐷| + |𝐴𝐸| = 12\n𝑥+ |𝐴𝐷| + 3𝑥= 12\n|𝐴𝐷| = 12 -4𝑥\nPole 𝑃 powierzchni całkowitej prostopadłościanu 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 jest równe\n𝑃= 2 ⋅(|𝐴𝐵| ∙|𝐴𝐷| + |𝐴𝐵| ⋅|𝐴𝐸| + |𝐴𝐷| ⋅|𝐴𝐸|)\nPonieważ |𝐴𝐵| = 𝑥, |𝐴𝐷| = 12 -4𝑥, |𝐴𝐸| = 3𝑥, więc wzór funkcji 𝑃 zmiennej 𝑥 ma\npostać\n𝑃(𝑥) = 2 ⋅[𝑥⋅(12 -4𝑥) + 𝑥⋅3𝑥+ (12 -4𝑥) ⋅3𝑥]\n𝑃(𝑥) = 2 ⋅(12𝑥-4𝑥2 + 3𝑥2 + 36𝑥-12𝑥2)\n𝑃(𝑥) = 2 ⋅(-13𝑥2 + 48𝑥)\n𝑃(𝑥) = -26𝑥2 + 96𝑥\nWyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Z warunków zadania wynika, że:\n|𝐴𝐵| = 𝑥> 0 oraz |𝐴𝐷| = 12 -4𝑥> 0 oraz |𝐴𝐸| = 3𝑥> 0\nZatem\n𝑥> 0 oraz 𝑥< 3\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐺\n𝐻\n𝐸\n𝐹\n𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZmienna 𝑥 może przyjmować wartości z przedziału (0, 3).\nWykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do dołu. Obliczamy\npierwszą współrzędną wierzchołka tej paraboli:\n𝑝=\n-96\n2 ⋅(-26) = 24\n13 ∈(0, 3)\nZatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu 24\n13\nSpośród rozważanych prostopadłościanów największe pole powierzchni całkowitej ma ten,\nw którym 𝑥= 24\n13","solution":"Oznaczmy długość krawędzi AD przez y . Mamy:\n\n|AB|=x, |AE|=3x, |AD|=y.\n\nSuma długości wszystkich dwunastu krawędzi prostopadłościanu jest równa:\n\n4(x+3x+y)=48.\n\nStąd:\n\n4x+y=12,\n\ny=12-4x.\n\nDługości krawędzi muszą być dodatnie, więc:\n\nx>0 oraz 12-4x>0.\n\nDziedziną funkcji jest zatem:\n\nD_P=(0,3).\n\nPole powierzchni całkowitej wynosi:\n\nP(x)=2 l(x·3x+x· y+3x· y r).\n\nPodstawiamy y=12-4x :\n\nP(x)=2 l(3x^2+4x(12-4x) r),\n\nP(x)=-26x^2+96x.\n\nJest to funkcja kwadratowa, której wykres jest parabolą skierowaną ramionami w dół. Największą wartość przyjmuje dla argumentu równego współrzędnej x wierzchołka:\n\nx_w=-(b)/(2a)=-(96)/(2·(-26))=(24)/(13).\n\nLiczba (24)/(13) należy do przedziału (0,3) , więc dla tej długości krawędzi AB pole powierzchni całkowitej jest największe.\n\nOdpowiedź:\n\nP(x)=-26x^2+96x, D_P=(0,3), x=(24)/(13).","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-30.svg","topics":"Optymalizacja","page_from":28,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"<p>Zadanie 30. (0-4)<br>Rozważamy wszystkie prostopadłościany 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻, w których krawędź 𝐴𝐸 jest 3 razy<br>dłuższa od krawędzi 𝐴𝐵, a suma długości wszystkich dwunastu krawędzi<br>prostopadłościanu jest równa 48 (zobacz rysunek).<br>Niech 𝑃(𝑥) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu<br>w zależności od długości 𝑥 krawędzi 𝐴𝐵.<br>Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji 𝑷. Oblicz długość 𝒙 krawędzi 𝑨𝑩 tego<br>z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest<br>największe. Zapisz obliczenia.<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷<br>𝐺<br>𝐻<br>𝐸<br>𝐹<br>𝑥<br>30.<br>0-1-<br>2-3-4</p>\n<p>MMAP-P0_100</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>MMAP-P0_100</p>\n<p>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2023<br>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2023<br>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2023<br>Rozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEFGH, w których krawędź AE jest 3 razy dłuższa od krawędzi AB, a suma długości wszystkich dwunastu krawędzi prostopadłościanu jest równa 48 (zobacz rysunek). Niech P(x) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości x krawędzi AB. [rysunek] Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji P. Oblicz długość x krawędzi AB tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 30. (0-4)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Dobieranie i tworzenie modeli</li></ol>\n<p>matematycznych przy rozwiązywaniu<br>problemów praktycznych i teoretycznych.<br>Zdający:<br>XIII) rozwiązuje zadania optymalizacyjne<br>w sytuacjach dających się opisać funkcją<br>kwadratową.<br>Zasady oceniania<br>4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawne wyniki, np.:<br>𝑃(𝑥) = -26𝑥2 + 96𝑥 oraz 𝐷= (0, 3) oraz 𝑥= 24<br>13<br>3 pkt - zapisanie poprawnego wzoru na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu<br>𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 w zależności od zmiennej 𝑥 oraz wyznaczenie dziedziny 𝐷 tej<br>funkcji, np. 𝑃(𝑥) = -26𝑥2 + 96𝑥 oraz 𝐷= (0, 3)<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie poprawnego wzoru na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu</li></ul>\n<p>𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 w zależności od zmiennej 𝑥 (bez wyznaczonej dziedziny funkcji 𝑃)<br>oraz prawidłowe obliczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka wykresu funkcji 𝑃,<br>np. 𝑃(𝑥) = -26𝑥2 + 96𝑥 oraz 𝑥= 24<br>13<br>2 pkt - zapisanie poprawnego wzoru na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu<br>𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 w zależności od zmiennej 𝑥 (bez wyznaczonej dziedziny funkcji 𝑃),<br>np. 𝑃(𝑥) = -26𝑥2 + 96𝑥<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie zależności między długościami krawędzi 𝐴𝐷 i 𝐴𝐵 prostopadłościanu</li></ul>\n<p>oraz wyznaczenie zakresu zmienności 𝑥, np.<br>4 ⋅𝑥+ 4 ⋅|𝐴𝐷| + 4 ⋅3𝑥= 48 oraz 𝑥∈(0, 3).<br>1 pkt - zapisanie zależności między długościami krawędzi 𝐴𝐷 i 𝐴𝐵 prostopadłościanu,<br>np. 4 ⋅𝑥+ 4 ⋅|𝐴𝐷| + 4 ⋅3𝑥= 48<br>ALBO</p>\n<ul><li>wyznaczenie zakresu zmienności 𝑥: 𝑥∈(0, 3).</li></ul>\n<p>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający zapisze poprawny wzór funkcji 𝑃 zmiennej 𝑥 oraz zapisze poprawną</li></ol>\n<p>dziedzinę funkcji 𝑃, a następnie obliczy 𝑃(24</p>\n<ol><li>oraz wartości funkcji 𝑃 dla dwóch</li></ol>\n<p>argumentów leżących symetrycznie względem prostej 𝑥= 24<br>13, i nie odwoła się do<br>symetrii wykresu funkcji kwadratowej, to otrzymuje 3 punkty za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający nie zapisze pola powierzchni całkowitej prostopadłościanu jako funkcji 𝑃</li></ol>\n<p>zmiennej 𝑥, a jedynie obliczy wartości pola dla wybranych długości krawędzi i na tej<br>podstawie wskazuje największą wartość pola, to za całe rozwiązanie otrzymuje<br>0 punktów, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający zamiast sumy długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu rozpatruje</li></ol>\n<p>sumę obwodów wszystkich jego ścian i rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, to<br>może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (za konsekwentne:<br>wyznaczenie wzoru funkcji pola, dziedziny tej funkcji oraz obliczenie wartości 𝑥, dla której<br>funkcja osiąga wartość największą).</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający w wyniku popełnionych błędów otrzymuje funkcję pola, która jest funkcją</li></ol>\n<p>kwadratową o dodatnim współczynniku przy 𝑥2, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty<br>za całe rozwiązanie (za zapisanie zależności między długościami krawędzi 𝐴𝐷 i 𝐴𝐵<br>prostopadłościanu oraz za wyznaczenie zakresu zmienności 𝑥).</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający oblicza największą wartość funkcji 𝑃 z wykorzystaniem rachunku</li></ol>\n<p>różniczkowego i nie uzasadni, że w punkcie będącym miejscem zerowym pochodnej<br>funkcji 𝑃 jest największa wartość funkcji 𝑃, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za<br>całe rozwiązanie.<br>Za poprawne uzasadnienie, że w punkcie będącym miejscem zerowym pochodnej<br>funkcji 𝑃 jest największa wartość funkcji 𝑃, można uznać sytuację, gdy zdający bada<br>znak pochodnej (np. szkicuje wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna<br>zmienia znak, i zaznacza na rysunku, np. znakami „+” i „-”, znak pochodnej), oraz:</p>\n<ul><li>opisuje przedziały monotoniczności funkcji 𝑃 (słownie lub graficznie - np. przy użyciu</li></ul>\n<p>strzałek)<br>LUB</p>\n<ul><li>zapisuje, że dla wyznaczonego miejsca zerowego pochodnej, funkcja 𝑃 ma maksimum</li></ul>\n<p>lokalne i jest to jednocześnie jej największa wartość,<br>LUB</p>\n<ul><li>zapisuje, że dla wyznaczonego miejsca zerowego pochodnej, funkcja 𝑃 ma maksimum</li></ul>\n<p>lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.<br>Ponieważ |𝐴𝐵| = 𝑥, więc |𝐴𝐸| = 3𝑥.<br>Suma długości wszystkich dwunastu krawędzi prostopadłościanu jest równa 48, zatem<br>4 ⋅|𝐴𝐵| + 4 ⋅|𝐴𝐷| + 4 ⋅|𝐴𝐸| = 48<br>|𝐴𝐵| + |𝐴𝐷| + |𝐴𝐸| = 12<br>𝑥+ |𝐴𝐷| + 3𝑥= 12<br>|𝐴𝐷| = 12 -4𝑥<br>Pole 𝑃 powierzchni całkowitej prostopadłościanu 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 jest równe<br>𝑃= 2 ⋅(|𝐴𝐵| ∙|𝐴𝐷| + |𝐴𝐵| ⋅|𝐴𝐸| + |𝐴𝐷| ⋅|𝐴𝐸|)<br>Ponieważ |𝐴𝐵| = 𝑥, |𝐴𝐷| = 12 -4𝑥, |𝐴𝐸| = 3𝑥, więc wzór funkcji 𝑃 zmiennej 𝑥 ma<br>postać<br>𝑃(𝑥) = 2 ⋅[𝑥⋅(12 -4𝑥) + 𝑥⋅3𝑥+ (12 -4𝑥) ⋅3𝑥]<br>𝑃(𝑥) = 2 ⋅(12𝑥-4𝑥2 + 3𝑥2 + 36𝑥-12𝑥2)<br>𝑃(𝑥) = 2 ⋅(-13𝑥2 + 48𝑥)<br>𝑃(𝑥) = -26𝑥2 + 96𝑥<br>Wyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Z warunków zadania wynika, że:<br>|𝐴𝐵| = 𝑥&gt; 0 oraz |𝐴𝐷| = 12 -4𝑥&gt; 0 oraz |𝐴𝐸| = 3𝑥&gt; 0<br>Zatem<br>𝑥&gt; 0 oraz 𝑥&lt; 3<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷<br>𝐺<br>𝐻<br>𝐸<br>𝐹<br>𝑥<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Zmienna 𝑥 może przyjmować wartości z przedziału (0, 3).<br>Wykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do dołu. Obliczamy<br>pierwszą współrzędną wierzchołka tej paraboli:<br>𝑝=<br>-96<br>2 ⋅(-26) = 24<br>13 ∈(0, 3)<br>Zatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu 24<br>13<br>Spośród rozważanych prostopadłościanów największe pole powierzchni całkowitej ma ten,<br>w którym 𝑥= 24<br>13</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-30.svg"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Oznaczmy długość krawędzi AD przez y . Mamy:</p>\n<p>|AB|=x, |AE|=3x, |AD|=y.</p>\n<p>Suma długości wszystkich dwunastu krawędzi prostopadłościanu jest równa:</p>\n<p>4(x+3x+y)=48.</p>\n<p>Stąd:</p>\n<p>4x+y=12,</p>\n<p>y=12-4x.</p>\n<p>Długości krawędzi muszą być dodatnie, więc:</p>\n<p>x&gt;0 oraz 12-4x&gt;0.</p>\n<p>Dziedziną funkcji jest zatem:</p>\n<p>D_P=(0,3).</p>\n<p>Pole powierzchni całkowitej wynosi:</p>\n<p>P(x)=2 l(x·3x+x· y+3x· y r).</p>\n<p>Podstawiamy y=12-4x :</p>\n<p>P(x)=2 l(3x^2+4x(12-4x) r),</p>\n<p>P(x)=-26x^2+96x.</p>\n<p>Jest to funkcja kwadratowa, której wykres jest parabolą skierowaną ramionami w dół. Największą wartość przyjmuje dla argumentu równego współrzędnej x wierzchołka:</p>\n<p>x_w=-(b)/(2a)=-(96)/(2·(-26))=(24)/(13).</p>\n<p>Liczba (24)/(13) należy do przedziału (0,3) , więc dla tej długości krawędzi AB pole powierzchni całkowitej jest największe.</p>\n<p>Odpowiedź:</p>\n<p>P(x)=-26x^2+96x, D_P=(0,3), x=(24)/(13).</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$P(x) = -26x^2 + 96x$ dla $x \\in (0, 3)$, maksimum dla $x = \\dfrac{24}{13}$</p>"}]}