{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa","number":"8","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-3)\nRozwiąż równanie\n𝒙+ 𝟑\n𝒙-𝟏=\n𝒙\n𝟐𝒙-𝟐\nZapisz konieczne założenie i obliczenia.\n8.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-P0_100\nRozwiąż równanie x+3/x-1 = x/2x-2. Zapisz konieczne założenie i obliczenia.","answer":"x = -6","answer_text":"Zadanie 8. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.1) przekształca równania i nierówności\nw sposób równoważny, w tym np.\nprzekształca równoważnie równanie\n5\n𝑥 + 1 = 𝑥 + 3\n2𝑥-1;\nIII.4) rozwiązuje równania […] kwadratowe.\nSP VI. Równania z jedną niewiadomą.\n3) rozwiązuje równania, które po prostych\nprzekształceniach wyrażeń algebraicznych\nsprowadzają się do równań pierwszego\nstopnia z jedną niewiadomą.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody oraz zapisanie założenia: 𝑥≠1, oraz poprawny\nwynik: 𝑥= -6.\n2 pkt - przekształcenie równania 𝑥 + 3\n𝑥 - 1 =\n𝑥\n2𝑥 - 2 do równania liniowego, np.\n2(𝑥+ 3) = 𝑥, oraz rozwiązanie tego równania: 𝑥= -6\nALBO\n- przekształcenie równania 𝑥 + 3\n𝑥 - 1 =\n𝑥\n2𝑥 - 2 do równania kwadratowego, np.\n(𝑥+ 3)(2𝑥-2) = 𝑥(𝑥-1), oraz rozwiązanie tego równania:\n𝑥= -6 oraz 𝑥= 1,\nALBO\n- przekształcenie równania 𝑥 + 3\n𝑥 - 1 =\n𝑥\n2𝑥 - 2 do równania liniowego, np.\n2(𝑥+ 3) = 𝑥, oraz zapisanie założenia: 𝑥≠1,\nALBO\n- przekształcenie równania 𝑥 + 3\n𝑥 - 1 =\n𝑥\n2𝑥 - 2 do równania kwadratowego, np.\n(𝑥+ 3)(2𝑥-2) = 𝑥(𝑥-1), oraz zapisanie założenia: 𝑥≠1.\n1 pkt - przekształcenie równania 𝑥 + 3\n𝑥 - 1 =\n𝑥\n2𝑥 - 2 do równania liniowego, np.\n2(𝑥+ 3) = 𝑥\nALBO\n- przekształcenie równania 𝑥 + 3\n𝑥 - 1 =\n𝑥\n2𝑥 - 2 do równania kwadratowego, np.\n(𝑥+ 3)(2𝑥-2) = 𝑥(𝑥-1),\nALBO\n- zapisanie założenia: 𝑥≠1.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający stosuje metodę analizy starożytnych i nie zapisze założenia, ale uwzględni je\nw końcowej odpowiedzi, to może otrzymać 3 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nKażde z wyrażeń: 𝑥 + 3\n𝑥 - 1 ,\n𝑥\n2𝑥 - 2 ma sens liczbowy dla 𝑥≠1.\nPrzekształcamy równanie równoważnie:\n𝑥+ 3\n𝑥-1 =\n𝑥\n2𝑥-2 /⋅2(𝑥-1), gdzie 𝑥≠1\n2(𝑥+ 3) = 𝑥, gdzie 𝑥≠1\nRozwiązujemy otrzymane równanie liniowe:\n2𝑥+ 6 = 𝑥\n𝑥= -6\nRozwiązaniem równania 𝑥 + 3\n𝑥 - 1 =\n𝑥\n2𝑥 - 2 jest liczba (-6).\nSposób II\nKażde z wyrażeń: 𝑥 + 3\n𝑥 - 1 ,\n𝑥\n2𝑥 - 2 ma sens liczbowy dla 𝑥≠1.\nPrzekształcamy równanie równoważnie:\n𝑥+ 3\n𝑥-1 =\n𝑥\n2𝑥-2\n(𝑥+ 3)(2𝑥-2) = 𝑥(𝑥-1), gdzie 𝑥≠1\nRozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe:\n2𝑥2 -2𝑥+ 6𝑥-6 = 𝑥2 -𝑥\n𝑥2 + 5𝑥-6 = 0\nObliczamy wyróżnik trójmianu 𝑥2 + 5𝑥-6:\nΔ = 52 -4 ⋅1 ⋅(-6) = 49\nStąd\n𝑥1 = -5 -√49\n2 ⋅1\n= -6\n𝑥2 = -5 + √49\n2 ⋅1\n= 1\nWobec założenia 𝑥≠1 jedynym rozwiązaniem równania 𝑥 + 3\n𝑥 - 1 =\n𝑥\n2𝑥 - 2 jest liczba (-6).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Najpierw zapisujemy konieczne założenie:\n\nx-1≠0,\n2x-2≠0,\nx≠1.\n\nMnożymy obie strony równania przez (x-1)(2x-2) :\n\n(x+3)(2x-2)=x(x-1).\n\nRozwijamy nawiasy i przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę:\n\n2x^2+4x-6=x^2-x,\n\nx^2+5x-6=0.\n\nObliczamy deltę:\n\nΔ=5^2-4·1·(-6)=25+24=49.\n\n√(Δ)=7.\n\nWyznaczamy pierwiastki równania:\n\nx_1=(-5-7)/(2)=-6,\n\nx_2=(-5+7)/(2)=1.\n\nSprawdzamy otrzymane wyniki z założeniem x≠1 . Liczba x_2=1 nie należy do dziedziny równania, więc ją odrzucamy. Jedynym rozwiązaniem jest:\n\nx=-6.\n\nOdpowiedź: x=-6 .","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-8.svg","topics":"Funkcja wymierna, rownania_i_nierownosci","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 8. (0-3)
Rozwiąż równanie
𝒙+ 𝟑
𝒙-𝟏=
𝒙
𝟐𝒙-𝟐
Zapisz konieczne założenie i obliczenia.
8.
0-1-
2-3

\n

MMAP-P0_100
Rozwiąż równanie x+3/x-1 = x/2x-2. Zapisz konieczne założenie i obliczenia.

","answer_text_html":"

Zadanie 8. (0-3)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stosowanie obiektów matematycznych
\n

i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
III.1) przekształca równania i nierówności
w sposób równoważny, w tym np.
przekształca równoważnie równanie
5
𝑥 + 1 = 𝑥 + 3
2𝑥-1;
III.4) rozwiązuje równania […] kwadratowe.
SP VI. Równania z jedną niewiadomą.

\n
  1. rozwiązuje równania, które po prostych
\n

przekształceniach wyrażeń algebraicznych
sprowadzają się do równań pierwszego
stopnia z jedną niewiadomą.
Zasady oceniania
3 pkt - zastosowanie poprawnej metody oraz zapisanie założenia: 𝑥≠1, oraz poprawny
wynik: 𝑥= -6.
2 pkt - przekształcenie równania 𝑥 + 3
𝑥 - 1 =
𝑥
2𝑥 - 2 do równania liniowego, np.
2(𝑥+ 3) = 𝑥, oraz rozwiązanie tego równania: 𝑥= -6
ALBO

\n\n

𝑥 - 1 =
𝑥
2𝑥 - 2 do równania kwadratowego, np.
(𝑥+ 3)(2𝑥-2) = 𝑥(𝑥-1), oraz rozwiązanie tego równania:
𝑥= -6 oraz 𝑥= 1,
ALBO

\n\n

𝑥 - 1 =
𝑥
2𝑥 - 2 do równania liniowego, np.
2(𝑥+ 3) = 𝑥, oraz zapisanie założenia: 𝑥≠1,
ALBO

\n\n

𝑥 - 1 =
𝑥
2𝑥 - 2 do równania kwadratowego, np.
(𝑥+ 3)(2𝑥-2) = 𝑥(𝑥-1), oraz zapisanie założenia: 𝑥≠1.
1 pkt - przekształcenie równania 𝑥 + 3
𝑥 - 1 =
𝑥
2𝑥 - 2 do równania liniowego, np.
2(𝑥+ 3) = 𝑥
ALBO

\n\n

𝑥 - 1 =
𝑥
2𝑥 - 2 do równania kwadratowego, np.
(𝑥+ 3)(2𝑥-2) = 𝑥(𝑥-1),
ALBO

\n\n

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeżeli zdający stosuje metodę analizy starożytnych i nie zapisze założenia, ale uwzględni je
w końcowej odpowiedzi, to może otrzymać 3 punkty za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Każde z wyrażeń: 𝑥 + 3
𝑥 - 1 ,
𝑥
2𝑥 - 2 ma sens liczbowy dla 𝑥≠1.
Przekształcamy równanie równoważnie:
𝑥+ 3
𝑥-1 =
𝑥
2𝑥-2 /⋅2(𝑥-1), gdzie 𝑥≠1
2(𝑥+ 3) = 𝑥, gdzie 𝑥≠1
Rozwiązujemy otrzymane równanie liniowe:
2𝑥+ 6 = 𝑥
𝑥= -6
Rozwiązaniem równania 𝑥 + 3
𝑥 - 1 =
𝑥
2𝑥 - 2 jest liczba (-6).
Sposób II
Każde z wyrażeń: 𝑥 + 3
𝑥 - 1 ,
𝑥
2𝑥 - 2 ma sens liczbowy dla 𝑥≠1.
Przekształcamy równanie równoważnie:
𝑥+ 3
𝑥-1 =
𝑥
2𝑥-2
(𝑥+ 3)(2𝑥-2) = 𝑥(𝑥-1), gdzie 𝑥≠1
Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe:
2𝑥2 -2𝑥+ 6𝑥-6 = 𝑥2 -𝑥
𝑥2 + 5𝑥-6 = 0
Obliczamy wyróżnik trójmianu 𝑥2 + 5𝑥-6:
Δ = 52 -4 ⋅1 ⋅(-6) = 49
Stąd
𝑥1 = -5 -√49
2 ⋅1
= -6
𝑥2 = -5 + √49
2 ⋅1
= 1
Wobec założenia 𝑥≠1 jedynym rozwiązaniem równania 𝑥 + 3
𝑥 - 1 =
𝑥
2𝑥 - 2 jest liczba (-6).
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-8.svg"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Najpierw zapisujemy konieczne założenie:

\n

x-1≠0,
2x-2≠0,
x≠1.

\n

Mnożymy obie strony równania przez (x-1)(2x-2) :

\n

(x+3)(2x-2)=x(x-1).

\n

Rozwijamy nawiasy i przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę:

\n

2x^2+4x-6=x^2-x,

\n

x^2+5x-6=0.

\n

Obliczamy deltę:

\n

Δ=5^2-4·1·(-6)=25+24=49.

\n

√(Δ)=7.

\n

Wyznaczamy pierwiastki równania:

\n

x_1=(-5-7)/(2)=-6,

\n

x_2=(-5+7)/(2)=1.

\n

Sprawdzamy otrzymane wyniki z założeniem x≠1 . Liczba x_2=1 nie należy do dziedziny równania, więc ją odrzucamy. Jedynym rozwiązaniem jest:

\n

x=-6.

\n

Odpowiedź: x=-6 .

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x = -6$

"}]}