{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa","number":"9","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n𝒙(𝒙-𝟔) ≤𝟕\nZapisz obliczenia.\n9.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nRozwiąż nierówność x(x-6) ≤ 7.","answer":"x ∈ [-1, 7]","answer_text":"Zadanie 9. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.4) rozwiązuje […] nierówności\nkwadratowe.\nZasady oceniania\n2 pkt - spełnienie warunku określonego w zasadach oceniania za 1 pkt oraz zapisanie\nzbioru rozwiązań nierówności: 𝑥∈[-1, 7]\nALBO\n- spełnienie warunku określonego w zasadach oceniania za 1 pkt oraz\nprzedstawienie zbioru rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie\nzaznaczonymi końcami przedziałów.\n1 pkt - obliczenie lub podanie pierwiastków trójmianu kwadratowego 𝑥2 -6𝑥-7:\n𝑥1 = -1 oraz 𝑥2 = 7.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, obliczając pierwiastki trójmianu 𝑥2 -6𝑥-7, popełni błędy (ale otrzyma\ndwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy błędnie\nobliczony przez zdającego wyróżnik Δ jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający rozpatruje inny niż podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika\nz błędu przekształcenia (np. 𝑥2 -6𝑥), i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność (np.\n𝑥2 -6𝑥≤0), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n4. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎+ 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są\nliczbami wymiernymi.\n5. Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów i jednocześnie zapisze niewłaściwy przedział jako zbiór rozwiązań\n(np. 𝑥∈(-1, 7)), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci [7, -1], to otrzymuje 2 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZapisujemy nierówność w postaci 𝑥2 -6𝑥-7 ≤0 i obliczamy miejsca zerowe funkcji\n𝑦= 𝑥2 -6𝑥-7.\nObliczamy wyróżnik trójmianu 𝑥2 -6𝑥-7:\nΔ = (-6)2 -4 ⋅1 ⋅(-7) = 64\nStąd\n𝑥1 = -(-6) -√64\n2 ⋅1\n= -1\n𝑥2 = -(-6) + √64\n2 ⋅1\n= 7\nSzkicujemy wykres funkcji 𝑦= 𝑥2 -6𝑥-7.\nOdczytujemy argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości niedodatnie.\nZbiorem rozwiązań nierówności jest przedział [-1, 7].\n-1\n7\n𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę:\n\nx(x-6)≤ 7\n\nx^2-6x-7≤0.\n\nRozkładamy trójmian na czynniki:\n\nx^2-6x-7=(x+1)(x-7).\n\nMiejsca zerowe to\n\nx_1=-1, x_2=7.\n\nWspółczynnik przy x^2 jest dodatni, więc parabola ma ramiona skierowane w górę.\n\nWartości funkcji są niedodatnie pomiędzy miejscami zerowymi, wraz z końcami przedziału. Zatem\n\nx∈[-1,7].","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-9.svg","topics":"Nierówności kwadratowe, rownania_i_nierownosci","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"<p>Zadanie 9. (0-2)<br>Rozwiąż nierówność<br>𝒙(𝒙-𝟔) ≤𝟕<br>Zapisz obliczenia.<br>9.<br>0-1-2</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Rozwiąż nierówność x(x-6) ≤ 7.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 9. (0-2)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>III.4) rozwiązuje […] nierówności<br>kwadratowe.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - spełnienie warunku określonego w zasadach oceniania za 1 pkt oraz zapisanie<br>zbioru rozwiązań nierówności: 𝑥∈[-1, 7]<br>ALBO</p>\n<ul><li>spełnienie warunku określonego w zasadach oceniania za 1 pkt oraz</li></ul>\n<p>przedstawienie zbioru rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie<br>zaznaczonymi końcami przedziałów.<br>1 pkt - obliczenie lub podanie pierwiastków trójmianu kwadratowego 𝑥2 -6𝑥-7:<br>𝑥1 = -1 oraz 𝑥2 = 7.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający, obliczając pierwiastki trójmianu 𝑥2 -6𝑥-7, popełni błędy (ale otrzyma</li></ol>\n<p>dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze zbiór rozwiązań<br>nierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy błędnie</li></ol>\n<p>obliczony przez zdającego wyróżnik Δ jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe<br>rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający rozpatruje inny niż podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika</li></ol>\n<p>z błędu przekształcenia (np. 𝑥2 -6𝑥), i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność (np.<br>𝑥2 -6𝑥≤0), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎+ 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są</li></ol>\n<p>liczbami wymiernymi.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi</li></ol>\n<p>końcami przedziałów i jednocześnie zapisze niewłaściwy przedział jako zbiór rozwiązań<br>(np. 𝑥∈(-1, 7)), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.<br>Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki<br>Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności<br>w postaci [7, -1], to otrzymuje 2 punkty.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Zapisujemy nierówność w postaci 𝑥2 -6𝑥-7 ≤0 i obliczamy miejsca zerowe funkcji<br>𝑦= 𝑥2 -6𝑥-7.<br>Obliczamy wyróżnik trójmianu 𝑥2 -6𝑥-7:<br>Δ = (-6)2 -4 ⋅1 ⋅(-7) = 64<br>Stąd<br>𝑥1 = -(-6) -√64<br>2 ⋅1<br>= -1<br>𝑥2 = -(-6) + √64<br>2 ⋅1<br>= 7<br>Szkicujemy wykres funkcji 𝑦= 𝑥2 -6𝑥-7.<br>Odczytujemy argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości niedodatnie.<br>Zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział [-1, 7].<br>-1<br>7<br>𝑥<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-9.svg"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę:</p>\n<p>x(x-6)≤ 7</p>\n<p>x^2-6x-7≤0.</p>\n<p>Rozkładamy trójmian na czynniki:</p>\n<p>x^2-6x-7=(x+1)(x-7).</p>\n<p>Miejsca zerowe to</p>\n<p>x_1=-1, x_2=7.</p>\n<p>Współczynnik przy x^2 jest dodatni, więc parabola ma ramiona skierowane w górę.</p>\n<p>Wartości funkcji są niedodatnie pomiędzy miejscami zerowymi, wraz z końcami przedziału. Zatem</p>\n<p>x∈[-1,7].</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$x \\in [-1, 7]$</p>"}]}