{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona","number":"1","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-2)\nŁadunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze można opisać zależnością\n𝑄(𝑡) = 𝑄0 ⋅𝛽-𝑡 dla 𝑡≥0\ngdzie:\n𝑄0 - ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze w chwili początkowej (𝑡= 0)\nwyrażony w milikulombach\n𝑄 - ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze w chwili 𝑡 (licząc od chwili\npoczątkowej) wyrażony w milikulombach\n𝛽 - stała dodatnia\n𝑡 - czas wyrażony w sekundach.\nWiadomo, że w chwili 𝑡= 4 s w kondensatorze był zgromadzony ładunek 2 milikulombów,\na w chwili 𝑡= 6 s - ładunek 18 milikulombów.\nOblicz, ile milikulombów ładunku było zgromadzone w tym kondensatorze w chwili\n𝒕= 𝟓 s. Zapisz obliczenia.\n1.\n0-1-2\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 1. (0-2)\nWymagania określone w podstawie programowej1\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym […].\nZdający:\nV.14) posługuje się funkcjami wykładniczą\ni logarytmiczną […] do opisu i interpretacji\nzagadnień związanych z zastosowaniami\npraktycznymi.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 6 (milikulombów).\n1 pkt - obliczenie 𝑄0 : 2\n81\nALBO\n- obliczenie 𝛽: 1\n3 ,\nALBO\n- zapisanie związku [𝑄(5)]2 = 𝑄(4) ⋅𝑄(6).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZ warunków 𝑄(4) = 2 oraz 𝑄(6) = 18 otrzymujemy związki 2 = 𝑄0 ⋅𝛽-4 oraz\n18 = 𝑄0 ⋅𝛽-6 . Stąd\n2\n18 = 𝑄0 ⋅𝛽-4\n𝑄0 ⋅𝛽-6\n1\n9 = 𝛽2\n𝛽= 1\n3\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji z dnia 28 czerwca 2024 r. zmieniające rozporządzenie w sprawie podstawy\nprogramowej kształcenia ogólnego dla liceum ogólnokształcącego, technikum oraz branżowej szkoły II stopnia\n(Dz.U. z 2024 r. poz. 1019).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZatem 2 = 𝑄0 ⋅(1\n3)\n-4\n, więc 𝑄0 = 2\n81 .\nObliczamy 𝑄(5):\n𝑄(5) = 2\n81 ⋅(1\n3)\n-5\n= 2\n81 ⋅35 = 6\nSposób II\nZauważamy, że ciąg wartości funkcji 𝑄 dla kolejnych liczb naturalnych, tj. 𝑄(1), 𝑄(2),\n𝑄(3), …, jest geometryczny, ma wszystkie wyrazy dodatnie, pierwszy wyraz równy 𝑄0 oraz\niloraz 1\n𝛽 .\nZ własności ciągu geometrycznego otrzymujemy\n[𝑄(5)]2 = 𝑄(4) ⋅𝑄(6)\n[𝑄(5)]2 = 2 ⋅18\n𝑄(5) = 6\nW chwili 𝑡= 5 s w kondensatorze był zgromadzony ładunek 6 milikulombów.","solution":"$6$ (milikulombów)","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"wykladnicza","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"<p>Zadanie 1. (0-2)<br>Ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze można opisać zależnością<br>𝑄(𝑡) = 𝑄0 ⋅𝛽-𝑡 dla 𝑡≥0<br>gdzie:<br>𝑄0 - ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze w chwili początkowej (𝑡= 0)<br>wyrażony w milikulombach<br>𝑄 - ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze w chwili 𝑡 (licząc od chwili<br>początkowej) wyrażony w milikulombach<br>𝛽 - stała dodatnia<br>𝑡 - czas wyrażony w sekundach.<br>Wiadomo, że w chwili 𝑡= 4 s w kondensatorze był zgromadzony ładunek 2 milikulombów,<br>a w chwili 𝑡= 6 s - ładunek 18 milikulombów.<br>Oblicz, ile milikulombów ładunku było zgromadzone w tym kondensatorze w chwili<br>𝒕= 𝟓 s. Zapisz obliczenia.<br>1.<br>0-1-2</p>\n<p>MMAP-R0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 1. (0-2)<br>Wymagania określone w podstawie programowej1<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.</p>\n<ol><li>Interpretowanie i operowanie</li></ol>\n<p>informacjami przedstawionymi w tekście,<br>zarówno matematycznym, jak<br>i popularnonaukowym […].<br>Zdający:<br>V.14) posługuje się funkcjami wykładniczą<br>i logarytmiczną […] do opisu i interpretacji<br>zagadnień związanych z zastosowaniami<br>praktycznymi.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 6 (milikulombów).<br>1 pkt - obliczenie 𝑄0 : 2<br>81<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie 𝛽: 1</li></ul>\n<p>3 ,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie związku [𝑄(5)]2 = 𝑄(4) ⋅𝑄(6).</li></ul>\n<p>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Z warunków 𝑄(4) = 2 oraz 𝑄(6) = 18 otrzymujemy związki 2 = 𝑄0 ⋅𝛽-4 oraz<br>18 = 𝑄0 ⋅𝛽-6 . Stąd<br>2<br>18 = 𝑄0 ⋅𝛽-4<br>𝑄0 ⋅𝛽-6<br>1<br>9 = 𝛽2<br>𝛽= 1<br>3<br>1 Rozporządzenie Ministra Edukacji z dnia 28 czerwca 2024 r. zmieniające rozporządzenie w sprawie podstawy<br>programowej kształcenia ogólnego dla liceum ogólnokształcącego, technikum oraz branżowej szkoły II stopnia<br>(Dz.U. z 2024 r. poz. 1019).<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Zatem 2 = 𝑄0 ⋅(1<br>3)<br>-4<br>, więc 𝑄0 = 2<br>81 .<br>Obliczamy 𝑄(5):<br>𝑄(5) = 2<br>81 ⋅(1<br>3)<br>-5<br>= 2<br>81 ⋅35 = 6<br>Sposób II<br>Zauważamy, że ciąg wartości funkcji 𝑄 dla kolejnych liczb naturalnych, tj. 𝑄(1), 𝑄(2),<br>𝑄(3), …, jest geometryczny, ma wszystkie wyrazy dodatnie, pierwszy wyraz równy 𝑄0 oraz<br>iloraz 1<br>𝛽 .<br>Z własności ciągu geometrycznego otrzymujemy<br>[𝑄(5)]2 = 𝑄(4) ⋅𝑄(6)<br>[𝑄(5)]2 = 2 ⋅18<br>𝑄(5) = 6<br>W chwili 𝑡= 5 s w kondensatorze był zgromadzony ładunek 6 milikulombów.</p>","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$6$ (milikulombów)</p>"}]}