{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona","number":"10","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-5)\nTrzeci i piąty wyraz malejącego ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛), określonego dla każdej liczby\nnaturalnej 𝑛≥1, spełniają warunek 𝑎3 + 𝑎5 = 10.\nTrzywyrazowy ciąg (2𝑎1 + 4, 𝑎4 -1, -1\n8 𝑎7) jest geometryczny.\nOblicz wyrazy tego ciągu geometrycznego. Zapisz obliczenia.\n10.\n0-1-\n2-3-\n4-5\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nVI.7) wykorzystuje własności ciągów, w tym\narytmetycznych i geometrycznych, do\nrozwiązywania zadań […].\nZasady oceniania\n5 pkt - odrzucenie ciągu odpowiadającego 𝑟= 11\n3 i obliczenie wyrazów ciągu\ngeometrycznego: (32, 4, 1\n2).\n4 pkt - rozwiązanie równania z jedną niewiadomą 𝑟: 𝑟= -3 oraz 𝑟= 11\n3\nALBO\n- rozwiązanie równania z jedną niewiadomą 𝑎1: 𝑎1 = 14 oraz 𝑎1 = -6.\n3 pkt - zapisane równania z jedną niewiadomą (𝑎1 lub 𝑟), np.\n42 = -1\n8 (5 + 3𝑟) ⋅(10 -6𝑟+ 4), 42 = -1\n8 (10 -𝑎1) ⋅(4 + 2𝑎1).\n2 pkt - zapisanie układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi 𝑎1 i 𝑟, np.\n𝑎1 + 2𝑟+ 𝑎1 + 4𝑟= 10 i (𝑎1 + 3𝑟-1)2 = -1\n8 (𝑎1 + 6𝑟)(2𝑎1 + 4)\nALBO\n- zapisanie związku 42 = -1\n8 𝑎7 ⋅(2𝑎1 + 4).\n1 pkt - zastosowanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie związku\n(𝑎4 -1)2 = -1\n8 𝑎7 ⋅(2𝑎1 + 4)\nALBO\n- zastosowanie wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu arytmetycznego i zapisanie równania\nz dwiema niewiadomymi 𝑎1 i 𝑟, np. 𝑎1 + 2𝑟+ 𝑎1 + 4𝑟= 10,\nALBO\n- obliczenie 𝑎4 : 𝑎4 = 5.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający obliczy wyrazy ciągów geometrycznych odpowiadające wartościom 𝑟= -3\noraz 𝑟= 11\n3 i w odpowiedzi końcowej nie odrzuci ciągu (-8, 4, -2), to otrzymuje 4 punkty\nza całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNiech 𝑟 oznacza różnicę ciągu (𝑎𝑛). Z warunków zadania oraz ze wzoru na 𝑛-ty wyraz\nciągu arytmetycznego otrzymujemy\n𝑎3 + 𝑎5 = 10\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑎1 + 2𝑟+ 𝑎1 + 4𝑟= 10\n𝑎1 = 5 -3𝑟\nZ warunków zadania i z własności ciągu geometrycznego otrzymujemy\n(𝑎4 -1)2 = -1\n8 𝑎7 ⋅(2𝑎1 + 4)\n(𝑎1 + 3𝑟-1)2 = -1\n8 (𝑎1 + 6𝑟)(2𝑎1 + 4)\nStąd i ze związku 𝑎1 = 5 -3𝑟 dostajemy kolejno\n(5 -3𝑟+ 3𝑟-1)2 = -1\n8 (5 -3𝑟+ 6𝑟)(10 -6𝑟+ 4)\n16 = -1\n8 (3𝑟+ 5)(14 -6𝑟)\n18𝑟2 -12𝑟-198 = 0\n𝑟= -3 ∨ 𝑟= 11\n3\nDla 𝑟= 11\n3 ciąg (𝑎𝑛) jest rosnący, więc warunki zadania nie są spełnione.\nDla 𝑟= -3 ciąg (𝑎𝑛) jest malejący, 𝑎1 = 14 oraz 𝑎3 + 𝑎5 = 8 + 2 = 10. Wtedy\nrównież (2𝑎1 + 4, 𝑎4 -1, -1\n8 𝑎7) = (32, 4, 1\n2). Ciąg (32, 4, 1\n2) jest geometryczny, więc\njest jedynym rozwiązaniem zadania.","solution":"$\\left(32, 4, \\dfrac{1}{2}\\right)$","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 10. (0-5)
Trzeci i piąty wyraz malejącego ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛), określonego dla każdej liczby
naturalnej 𝑛≥1, spełniają warunek 𝑎3 + 𝑎5 = 10.
Trzywyrazowy ciąg (2𝑎1 + 4, 𝑎4 -1, -1
8 𝑎7) jest geometryczny.
Oblicz wyrazy tego ciągu geometrycznego. Zapisz obliczenia.
10.
0-1-
2-3-
4-5

\n

MMAP-R0_100

\n

MMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 10. (0-5)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Dobieranie i tworzenie modeli
\n

matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
Zdający:
VI.7) wykorzystuje własności ciągów, w tym
arytmetycznych i geometrycznych, do
rozwiązywania zadań […].
Zasady oceniania
5 pkt - odrzucenie ciągu odpowiadającego 𝑟= 11
3 i obliczenie wyrazów ciągu
geometrycznego: (32, 4, 1
2).
4 pkt - rozwiązanie równania z jedną niewiadomą 𝑟: 𝑟= -3 oraz 𝑟= 11
3
ALBO

\n\n

3 pkt - zapisane równania z jedną niewiadomą (𝑎1 lub 𝑟), np.
42 = -1
8 (5 + 3𝑟) ⋅(10 -6𝑟+ 4), 42 = -1
8 (10 -𝑎1) ⋅(4 + 2𝑎1).
2 pkt - zapisanie układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi 𝑎1 i 𝑟, np.
𝑎1 + 2𝑟+ 𝑎1 + 4𝑟= 10 i (𝑎1 + 3𝑟-1)2 = -1
8 (𝑎1 + 6𝑟)(2𝑎1 + 4)
ALBO

\n\n

8 𝑎7 ⋅(2𝑎1 + 4).
1 pkt - zastosowanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie związku
(𝑎4 -1)2 = -1
8 𝑎7 ⋅(2𝑎1 + 4)
ALBO

\n\n

z dwiema niewiadomymi 𝑎1 i 𝑟, np. 𝑎1 + 2𝑟+ 𝑎1 + 4𝑟= 10,
ALBO

\n\n

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeżeli zdający obliczy wyrazy ciągów geometrycznych odpowiadające wartościom 𝑟= -3
oraz 𝑟= 11
3 i w odpowiedzi końcowej nie odrzuci ciągu (-8, 4, -2), to otrzymuje 4 punkty
za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Niech 𝑟 oznacza różnicę ciągu (𝑎𝑛). Z warunków zadania oraz ze wzoru na 𝑛-ty wyraz
ciągu arytmetycznego otrzymujemy
𝑎3 + 𝑎5 = 10
Zasady oceniania rozwiązań zadań
𝑎1 + 2𝑟+ 𝑎1 + 4𝑟= 10
𝑎1 = 5 -3𝑟
Z warunków zadania i z własności ciągu geometrycznego otrzymujemy
(𝑎4 -1)2 = -1
8 𝑎7 ⋅(2𝑎1 + 4)
(𝑎1 + 3𝑟-1)2 = -1
8 (𝑎1 + 6𝑟)(2𝑎1 + 4)
Stąd i ze związku 𝑎1 = 5 -3𝑟 dostajemy kolejno
(5 -3𝑟+ 3𝑟-1)2 = -1
8 (5 -3𝑟+ 6𝑟)(10 -6𝑟+ 4)
16 = -1
8 (3𝑟+ 5)(14 -6𝑟)
18𝑟2 -12𝑟-198 = 0
𝑟= -3 ∨ 𝑟= 11
3
Dla 𝑟= 11
3 ciąg (𝑎𝑛) jest rosnący, więc warunki zadania nie są spełnione.
Dla 𝑟= -3 ciąg (𝑎𝑛) jest malejący, 𝑎1 = 14 oraz 𝑎3 + 𝑎5 = 8 + 2 = 10. Wtedy
również (2𝑎1 + 4, 𝑎4 -1, -1
8 𝑎7) = (32, 4, 1
2). Ciąg (32, 4, 1

\n
  1. jest geometryczny, więc
\n

jest jedynym rozwiązaniem zadania.

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$\\left(32, 4, \\dfrac{1}{2}\\right)$

"}]}