Zadanie 11. (0-5)
Funkcja kwadratowa 𝑓 zmiennej rzeczywistej 𝑥 jest określona wzorem
𝑓(𝑥) = 𝑥2 -3𝑥-𝑚2 + 𝑚+ 3
Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których funkcja 𝒇 ma dwa różne
miejsca zerowe 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 spełniające warunek |𝒙𝟏
𝟐-𝒙𝟐
𝟐| ≤𝟏𝟐. Zapisz obliczenia.
11.
0-1-
2-3-
4-5
MMAP-R0_100
\nMMAP-R0_100
","answer_text_html":"Zadanie 11. (0-5)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
matematycznych na podstawie istniejących,
w celu przeprowadzenia argumentacji lub
rozwiązania problemu.
Zdający:
III.R3) stosuje wzory Viète’a dla równań
kwadratowych;
III.R5) analizuje równania […] kwadratowe
z parametrami […].
Zasady oceniania
Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.
Pierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności ∆> 0. Za poprawne wykonanie tego
etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
1 pkt - poprawne rozwiązanie nierówności ∆> 0: 𝑚∈(-∞, -1
2 , +∞).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆≥0, to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów.
Drugi etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony
warunek |𝑥1
2 -𝑥2
2| ≤12. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 3 punkty.
Podział punktów za drugi etap rozwiązania:
3 pkt - rozwiązanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi
32 -4 ⋅(-𝑚2 + 𝑚+ 3) ≤16: 𝑚∈[1 - 2√5
2
, 1 + 2√5
2
].
2 pkt - zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi
|𝑥1
2 -𝑥2
2| ≤12, np. 32 -4 ⋅(-𝑚2 + 𝑚+ 3) ≤16.
1 pkt - przekształcenie nierówności |𝑥1
2 -𝑥2
2| ≤12 do postaci pozwalającej na
bezpośrednie jednokrotne zastosowanie wzorów Viète’a, np.
|𝑥1 -𝑥2| ⋅|𝑥1 + 𝑥2| ≤12.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Trzeci etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają
jednocześnie dwa warunki: Δ > 0 i |𝑥1
2 -𝑥2
2| ≤12: 𝑚∈[1 - 2√5
2
, -1
2 , 1 + 2√5
2
].
Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
1 pkt - poprawne wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają
jednocześnie warunki Δ > 0 i |𝑥1
2 -𝑥2
2| ≤12:
𝑚∈[1 - 2√5
2
, -1
2 , 1 + 2√5
2
].
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Uwagi:
etap otrzymuje 0 punktów.
\nrozwiązań, które nie są rozłączne i żaden z nich nie jest zbiorem liczb rzeczywistych,
a następnie poprawnie wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań z etapów I i II, to za
III etap może otrzymać 1 punkt.
𝑥1 + 𝑥2 = ±(±𝑚2 + 𝑚+ 3) lub 𝑥1 ⋅𝑥2 = ±3, lub 𝑥1 + 𝑥2 = ± 𝑏
2𝑎 , to za II etap może
otrzymać co najwyżej 2 punkty (1 punkt za przekształcenie nierówności |𝑥1
2 -𝑥2
2| ≤12
do postaci pozwalającej na bezpośrednie jednokrotne zastosowanie wzorów Viète’a oraz
1 punkt za konsekwentne rozwiązanie nierówności do końca), a za III etap otrzymuje
0 punktów.
pominie istotne nawiasy przy przekształcaniu nierówności |𝑥1
2 -𝑥2
2| ≤12 do
postaci pozwalającej na zastosowanie wzorów Viète’a
przyjmie, że 𝑥1
2 -𝑥2
2 = (𝑥1 -𝑥2)2
i konsekwentnie do popełnionego błędu doprowadzi rozwiązanie II etapu zadania do
końca, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za II etap (1 punkt za zastosowanie
wzorów Viète’a oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie nierówności do końca), a za III
etap otrzymuje 0 punktów.
za podanie zbioru rozwiązań nierówności otrzymuje 1 punkt tylko wtedy, gdy wielomian 𝑉
jest stopnia co najmniej drugiego i ma co najmniej dwa różne pierwiastki rzeczywiste.
(np. 𝑥1 + 𝑥2 > 0, 𝑥1 ⋅𝑥2 > 0), to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej
3 punkty (co najwyżej 1 punkt za I etap i co najwyżej 2 punkty za II etap).
Przykładowe pełne rozwiązanie
I etap
Funkcja kwadratowa 𝑓 ma dwa różne miejsca zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik Δ
trójmianu kwadratowego 𝑥2 -3𝑥-𝑚2 + 𝑚+ 3 jest dodatni.
Rozwiązujemy warunek ∆> 0:
(-3)2 -4 ∙1 ⋅(-𝑚2 + 𝑚+ 3) > 0
4𝑚2 -4𝑚-3 > 0
(2𝑚-1)2 -4 > 0
(2𝑚-1 -2) ⋅(2𝑚-1 + 2) > 0
4 (𝑚-3
𝑚∈(-∞, -1
\n2 , +∞)
II etap
Wyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony warunek
|𝑥1
2 -𝑥2
2| ≤12, korzystając ze wzorów Viète’a.
|𝑥1
2 -𝑥2
2| ≤12
|𝑥1 -𝑥2| ⋅|𝑥1 + 𝑥2| ≤12
|𝑥1 -𝑥2| ⋅3 ≤12
|𝑥1 -𝑥2| ≤4
Ponieważ obie strony nierówności |𝑥1 -𝑥2| ≤4 są nieujemne, więc przekształcamy tę
nierówność równoważnie do postaci (𝑥1 -𝑥2)2 ≤16. Stąd otrzymujemy
(𝑥1 + 𝑥2)2 -4 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ≤16
32 -4 ⋅(-𝑚2 + 𝑚+ 3) ≤16
4𝑚2 -4𝑚-19 ≤0
Obliczamy wyróżnik Δ𝑚 trójmianu kwadratowego 4𝑚2 -4𝑚-19 i rozwiązujemy
nierówność 4𝑚2 -4𝑚-19 ≤0:
Δ𝑚= (-4)2 -4 ⋅4 ⋅(-19) = 20 ⋅16
𝑚= 4 -8√5
8
= 1 -2√5
2
∨ 𝑚= 4 + 8√5
8
= 1 + 2√5
2
𝑚∈[1 -2√5
2
, 1 + 2√5
2
]
III etap
Wyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, które jednocześnie spełniają warunki
𝑚∈(-∞, -1
2 , +∞) oraz 𝑚∈[1 - 2√5
2
, 1 + 2√5
2
]:
𝑚∈[1 - 2√5
2
, -1
2 , 1 + 2√5
2
].
Zasady oceniania rozwiązań zadań
$m \\in \\left[\\dfrac{1 - 2\\sqrt{5}}{2}, -\\dfrac{1}{2}\\right) \\cup \\left(\\dfrac{3}{2}, \\dfrac{1 + 2\\sqrt{5}}{2}\\right]$
"}]}