{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona","number":"12","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-5)\nW trójkącie ostrokątnym 𝐴𝐵𝐶 miara kąta 𝐵𝐴𝐶 jest dwa razy większa od miary kąta 𝐴𝐵𝐶.\nPunkt 𝐷 jest środkiem boku 𝐴𝐵. Niech 𝛼 oznacza miarę kąta 𝐴𝐵𝐶, natomiast 𝛽 - miarę\nkąta 𝐴𝐷𝐶 (zobacz rysunek).\nOblicz\n𝐭𝐠𝜷\n𝐬𝐢𝐧(𝟐𝜶) . Zapisz obliczenia.\n12.\n0-1-\n2-3-\n4-5\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝛼\n2𝛼\n𝛽\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVII.1) wykorzystuje definicje funkcji: sinus,\ncosinus i tangens […].\nVII.R5) korzysta z wzorów na sinus, cosinus\ni tangens sumy i różnicy kątów, a także na\nfunkcje trygonometryczne kątów\npodwojonych;\nVII.R7) stosuje twierdzenie sinusów.\nZasady oceniania (dla sposobu I)\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 2.\n4 pkt - zapisanie związków\ntg𝛽\nsin(2𝛼) = |𝐴𝐶|\n|𝐸𝐷| i |𝐸𝐷| = 1\n2 ⋅|𝐶𝐹| oraz uzasadnienie, że\n|𝐶𝐹| = |𝐴𝐶|.\n3 pkt - zapisanie równości\ntg𝛽\nsin(2𝛼) = |𝐴𝐶|\n|𝐸𝐷| oraz uzasadnienie, że |𝐶𝐹| = |𝐴𝐶|.\n2 pkt - uzasadnienie, że |𝐶𝐹| = |𝐴𝐶|\nALBO\n- zdefiniowanie punktu 𝐹 jako obrazu punktu 𝐶 w symetrii osiowej względem\nprostej 𝑘 oraz zapisanie równości\ntg𝛽\nsin(2𝛼) = |𝐴𝐶|\n|𝐸𝐷| .\n1 pkt - zdefiniowanie punktu 𝐹 jako obrazu punktu 𝐶 w symetrii osiowej względem\nprostej 𝑘\nALBO\n- zapisanie równości\ntg𝛽\nsin(2𝛼) = |𝐴𝐶|\n|𝐸𝐷| .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla sposobu II)\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 2.\n4 pkt - zapisanie związku 2sin𝛼\nsin(3𝛼) =\nsin𝛽\nsin(2𝛼+𝛽) i zastosowanie wzoru na sinus sumy kątów\ndo sin(3𝛼) oraz sin(2𝛼+ 𝛽), np.:\n2 sin 𝛼[sin(2𝛼) cos 𝛽+ cos(2𝛼) sin 𝛽] = sin 𝛽[sin(2𝛼) cos 𝛼+ cos(2𝛼) sin 𝛼].\n3 pkt - wyeliminowanie długości odcinków z układu 𝑏\nsin𝛼=\n2𝑐\nsin(180°-3𝛼)\ni 𝑏\nsin𝛽=\n𝑐\nsin[180°-(2𝛼+𝛽)] , np. zapisanie związku 2sin𝛼\nsin(3𝛼) =\nsin𝛽\nsin(2𝛼+𝛽) .\n2 pkt - zapisanie związków 𝑏\nsin𝛼=\n2𝑐\nsin(180°-3𝛼) i 𝑏\nsin𝛽=\n𝑐\nsin[180°-(2𝛼+𝛽)] .\n1 pkt - zapisanie związku 𝑏\nsin𝛼=\n2𝑐\nsin(180°-3𝛼)\nALBO\n- zapisanie związku 𝑏\nsin𝛽=\n𝑐\nsin[180°-(2𝛼+𝛽)] .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla sposobu III)\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 2.\n4 pkt - zapisanie równań:\ntg𝛽\nsin(2𝛼) = 𝑏\n𝑥 oraz 𝑎2 -𝑏2 = 4𝑐𝑥 oraz 𝑎2 = 2𝑏(𝑐+ 𝑥).\n3 pkt - spełnienie wszystkich trzech warunków określonych w zasadach oceniania za\n1 punkt\nALBO\n- zapisanie równań\ntg𝛽\nsin(2𝛼) = 𝑏\n𝑥 oraz 𝑎2 -𝑏2 = 4𝑐𝑥,\nALBO\n- zapisanie równań\ntg𝛽\nsin(2𝛼) = 𝑏\n𝑥 oraz 𝑎2 = 2𝑏(𝑐+ 𝑥),\nALBO\n- zapisanie równań 𝑎2 -𝑏2 = 4𝑐𝑥 oraz 𝑎2 = 2𝑏(𝑐+ 𝑥).\n2 pkt - spełnienie dwóch warunków spośród 1)-3) określonych w zasadach oceniania za\n1 punkt\nALBO\n- zapisanie związku 𝑎2 = 2𝑏(𝑐+ 𝑥),\nALBO\n- zapisanie związku 𝑎2 -𝑏2 = 4𝑐𝑥.\n1 pkt - spełnienie jednego z poniższych trzech warunków:\n1) zapisanie równości\ntg𝛽\nsin(2𝛼) = 𝑏\n𝑥\n2) zapisanie związku 𝑏\nsin𝛼=\n𝑎\nsin(2𝛼)\n3) zapisanie równań 𝑎2 = ℎ2 + (𝑐+ 𝑥)2 oraz 𝑏2 = ℎ2 + (𝑐-𝑥)2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla sposobu IV)\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 2.\n4 pkt - zapisanie związków:\n(𝑎2 -𝑏2) ⋅tg 𝛽= 4𝑏𝑐⋅sin(2𝛼) i\n2𝑐\nsin(180°-3𝛼) =\n𝑏\nsin𝛼 , i 𝑏\nsin𝛼=\n𝑎\nsin(2𝛼) oraz\nzapisanie tożsamości sin(3𝛼) = sin(2𝛼) ⋅cos 𝛼+ cos(2𝛼) ⋅sin 𝛼\n(lub sin(3𝛼) = sin(2𝛼) ⋅cos 𝛼+ (2 cos2 𝛼-1) ⋅sin 𝛼).\n3 pkt - zapisanie związków (𝑎2 -𝑏2) ⋅tg 𝛽= 4𝑏𝑐⋅sin(2𝛼) i\n2𝑐\nsin(180°-3𝛼) =\n𝑏\nsin𝛼 oraz\n𝑏\nsin𝛼=\n𝑎\nsin(2𝛼) .\n2 pkt - zapisanie związku (𝑎2 -𝑏2) ⋅tg 𝛽= 4𝑏𝑐⋅sin(2𝛼).\n1 pkt - zapisanie związku 4𝑐𝑑⋅cos 𝛽= 𝑎2 -𝑏2\nALBO\n- zapisanie związku 𝑑⋅sin 𝛽= 𝑏⋅sin(2𝛼).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝑘 - prosta prostopadła do 𝐴𝐵 i przechodząca przez punkt 𝐷,\n𝐹 - obraz punktu 𝐶 w symetrii osiowej względem prostej 𝑘,\n𝐸 - spodek wysokości trapezu poprowadzonej z wierzchołka 𝐶 na podstawę 𝐴𝐵.\nCzworokąt 𝐴𝐵𝐹𝐶 jest trapezem równoramiennym o podstawach 𝐴𝐵 i 𝐶𝐹 oraz ramionach\n𝐴𝐶 i 𝐵𝐹. Zatem |∡𝐶𝐵𝐹| = |∡𝐶𝐴𝐵| -|∡𝐶𝐵𝐴| = 2𝛼-𝛼= 𝛼 oraz\n|∡𝐵𝐶𝐹| = |∡𝐴𝐵𝐶| = 𝛼, więc trójkąt 𝐵𝐶𝐹 jest równoramienny (zobacz rysunek). Stąd\n|𝐶𝐹| = |𝐹𝐵| = |𝐴𝐶|.\nPonieważ tg 𝛽= |𝐶𝐸|\n|𝐸𝐷| oraz sin(2𝛼) = |𝐶𝐸|\n|𝐴𝐶| , więc\ntg 𝛽\nsin(2𝛼) =\n|𝐶𝐸|\n|𝐸𝐷|\n|𝐶𝐸|\n|𝐴𝐶|\n|𝐴𝐶|\n|𝐸𝐷|\nPonieważ trapez 𝐴𝐵𝐹𝐶 jest równoramienny i 𝐷 jest środkiem podstawy 𝐴𝐵 tego trapezu,\nwięc |𝐸𝐷| = 1\n2 ⋅|𝐶𝐹|.\nZatem\ntg 𝛽\nsin(2𝛼) = |𝐴𝐶|\n|𝐸𝐷| =\n|𝐴𝐶|\n1\n2 ⋅|𝐶𝐹|\n|𝐴𝐶|\n1\n2 ⋅|𝐴𝐶|\n= 2\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝛼\n2𝛼\n𝛽\n𝐸\n𝛼\n𝛼\n𝐹\n𝑘\nSposób II\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia: |𝐴𝐷| = |𝐵𝐷| = 𝑐, |𝐴𝐶| = 𝑏, |𝐵𝐶| = 𝑎, |𝐶𝐷| = 𝑑\n(zobacz rysunek).\nStosujemy do trójkątów 𝐴𝐵𝐶 i 𝐴𝐷𝐶 twierdzenie sinusów i otrzymujemy\n𝑏\nsin 𝛼=\n2𝑐\nsin(180° -3𝛼) ∧\n𝑏\nsin 𝛽=\n𝑐\nsin[180° -(2𝛼+ 𝛽)]\nStąd, po zastosowaniu wzorów redukcyjnych, dostajemy\n𝑏\nsin 𝛼=\n2𝑐\nsin(3𝛼) ∧\n𝑏\nsin 𝛽=\n𝑐\nsin(2𝛼+ 𝛽)\n𝑏\n𝑐= 2 sin 𝛼\nsin(3𝛼) ∧ 𝑏\n𝑐=\nsin 𝛽\nsin(2𝛼+ 𝛽)\n2 sin 𝛼\nsin(3𝛼) =\nsin 𝛽\nsin(2𝛼+ 𝛽)\n2 sin 𝛼⋅sin(2𝛼+ 𝛽) = sin 𝛽⋅sin(3𝛼)\nStosujemy wzór na sinus sumy kątów, otrzymując kolejno:\n2 sin 𝛼sin(2𝛼) cos 𝛽+ 2 sin 𝛼cos(2𝛼) sin 𝛽= sin 𝛽sin(2𝛼) cos 𝛼+ sin 𝛽cos(2𝛼) sin 𝛼\n2 sin 𝛼sin(2𝛼) cos 𝛽= sin 𝛽sin(2𝛼) cos 𝛼-sin 𝛽cos(2𝛼) sin 𝛼\n2 sin 𝛼sin(2𝛼) cos 𝛽= sin 𝛽[sin(2𝛼) cos 𝛼-cos(2𝛼) sin 𝛼]\nStosujemy wzór na sinus różnicy kątów i dostajemy\n2 sin 𝛼sin(2𝛼) cos 𝛽= sin 𝛽sin 𝛼\nStąd\nsin 𝛼= 0 ∨ 2 sin(2𝛼) cos 𝛽= sin 𝛽\nTrójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest ostrokątny, więc sin 𝛼= 0 jest wykluczone przez warunki zadania.\nZatem 2 sin(2𝛼) cos 𝛽= sin 𝛽, czyli\ntg 𝛽\nsin(2𝛼) = 2\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝛼\n2𝛼\n𝛽\n𝑐\n𝑐\n𝑎\n𝑑\n𝑏\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób III\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia: |𝐴𝐷| = |𝐵𝐷| = 𝑐, |𝐴𝐶| = 𝑏, |𝐵𝐶| = 𝑎, |𝐶𝐷| = 𝑑,\n𝐸 - spodek wysokości trójkąta 𝐴𝐷𝐶 poprowadzonej z wierzchołka 𝐶 na bok 𝐴𝐷,\nℎ - wysokość trójkąta 𝐴𝐷𝐶 poprowadzona z wierzchołka 𝐶,\n𝑥 - długość odcinka 𝐷𝐸 (zobacz rysunek).\nPrzy przyjętych oznaczeniach mamy\ntg 𝛽\nsin(2𝛼) =\nℎ\n𝑥\nℎ\n𝑏\n= 𝑏\n𝑥\nPo zastosowaniu do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 twierdzenia sinusów oraz wzoru na sinus podwojonego\nkąta otrzymujemy:\n𝑏\nsin 𝛼=\n𝑎\nsin(2𝛼)\n𝑏\nsin 𝛼=\n𝑎\n2 sin 𝛼cos 𝛼\ncos 𝛼= 𝑎\n2𝑏\nZ definicji cosinusa zastosowanej do trójkąta prostokątnego 𝐸𝐵𝐶 mamy cos 𝛼= 𝑐 + 𝑥\n𝑎\n,\nwięc po uwzględnieniu związku cos 𝛼= 𝑎\n2𝑏 otrzymujemy\n𝑎\n2𝑏= 𝑐+ 𝑥\n𝑎\n𝑎2 = 2𝑏(𝑐+ 𝑥)\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝛼\n2𝛼\n𝛽\n𝑐-𝑥\n𝑐\n𝑎\n𝑑\n𝑏\n𝑥\nℎ\n𝐸\nPo zastosowaniu twierdzenia Pitagorasa do trójkątów 𝐴𝐸𝐶 i 𝐸𝐵𝐶 otrzymujemy\n𝑏2 = ℎ2 + (𝑐-𝑥)2 ∧ 𝑎2 = ℎ2 + (𝑐+ 𝑥)2\nStąd\n𝑎2 -𝑏2 = ℎ2 + (𝑐+ 𝑥)2 -ℎ2 -(𝑐-𝑥)2\nczyli\n𝑎2 -𝑏2 = 4𝑐𝑥\nStąd i z zależności 𝑎2 = 2𝑏(𝑐+ 𝑥) otrzymujemy kolejno\n𝑎2 = 2𝑏(𝑐+ 𝑥) ∧ 𝑎2 -𝑏2 = 4𝑐𝑥\n2𝑏(𝑐+ 𝑥) -𝑏2 = 4𝑐𝑥\n2𝑏𝑐+ 2𝑏𝑥-𝑏2 = 4𝑐𝑥\n2𝑏𝑐-𝑏2 = 4𝑐𝑥-2𝑏𝑥\n𝑏(2𝑐-𝑏) = 2𝑥(2𝑐-𝑏)\n𝑏= 2𝑥 ∨ 𝑏= 2𝑐\nGdy 𝑏= 2𝑐, to trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoramienny i |∡𝐴𝐵𝐶| = |∡𝐵𝐶𝐴|, czyli 𝛼= 180 -3𝛼,\ntj. 𝛼= 45°. Wtedy |∡𝐵𝐴𝐶| = 2𝛼= 90° i trójkąt 𝐴𝐵𝐶 nie jest ostrokątny.\nZatem 𝑏= 2𝑥 i ostatecznie\ntg 𝛽\nsin(2𝛼) = 𝑏\n𝑥= 2𝑥\n𝑥= 2\nSposób IV\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia: |𝐴𝐷| = |𝐵𝐷| = 𝑐, |𝐴𝐶| = 𝑏, |𝐵𝐶| = 𝑎, |𝐶𝐷| = 𝑑\n(zobacz rysunek).\nStosujemy do trójkątów 𝐵𝐶𝐷 i 𝐴𝐷𝐶 twierdzenie cosinusów i otrzymujemy:\n𝑎2 = 𝑐2 + 𝑑2 -2𝑐𝑑⋅cos(180° -𝛽)\n𝑏2 = 𝑐2 + 𝑑2 -2𝑐𝑑⋅cos 𝛽\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝛼\n2𝛼\n𝛽\n𝑐\n𝑐\n𝑎\n𝑑\n𝑏\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nStąd, po zastosowaniu wzorów redukcyjnych, dostajemy\n𝑎2 -𝑏2 = 4𝑐𝑑⋅cos 𝛽\ncos 𝛽= 𝑎2 -𝑏2\n4𝑐𝑑\nStosujemy do trójkąta 𝐴𝐷𝐶 twierdzenie sinusów i otrzymujemy:\n𝑏\nsin 𝛽=\n𝑑\nsin(2𝛼)\nsin 𝛽= 𝑏⋅sin(2𝛼)\n𝑑\nZatem\ntg 𝛽=\n𝑏⋅sin(2𝛼)\n𝑑\n𝑎2 -𝑏2\n4𝑐𝑑\n= 4𝑏𝑐⋅sin(2𝛼)\n𝑎2 -𝑏2\nStosujemy do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 twierdzenie sinusów i otrzymujemy\n2𝑐\nsin(180° -3𝛼) =\n𝑏\nsin 𝛼 ∧\n𝑏\nsin 𝛼=\n𝑎\nsin(2𝛼)\nStąd, po zastosowaniu wzorów redukcyjnych oraz wzoru na sinus podwojonego kąta,\notrzymujemy\nsin(3𝛼) = 2𝑐⋅sin 𝛼\n𝑏\n∧ sin(2𝛼) = 𝑎⋅sin 𝛼\n𝑏\nsin(3𝛼) = 2𝑐⋅sin 𝛼\n𝑏\n∧ cos 𝛼= 𝑎\n2𝑏\nStąd i ze wzoru na sinus sumy kątów oraz cosinus podwojonego kąta uzyskujemy kolejno:\nsin(3𝛼) = sin(2𝛼) ⋅cos 𝛼+ cos(2𝛼) ⋅sin 𝛼\n2𝑐⋅sin 𝛼\n𝑏\n= 𝑎⋅sin 𝛼\n𝑏\n⋅𝑎\n2𝑏+ [2 ⋅( 𝑎\n2𝑏)\n2\n-1] ⋅sin 𝛼\n2𝑐\n𝑏= 𝑎2\n2𝑏2 + 𝑎2\n2𝑏2 -1\n2𝑏𝑐= 𝑎2 -𝑏2\nStąd i z zależności tg 𝛽= 4𝑏𝑐 ⋅ sin(2𝛼)\n𝑎2 - 𝑏2\notrzymujemy\ntg 𝛽\nsin(2𝛼) =\n4𝑏𝑐\n𝑎2 -𝑏2 = 4𝑏𝑐\n2𝑏𝑐= 2","solution":"$2$","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"<p>Zadanie 12. (0-5)<br>W trójkącie ostrokątnym 𝐴𝐵𝐶 miara kąta 𝐵𝐴𝐶 jest dwa razy większa od miary kąta 𝐴𝐵𝐶.<br>Punkt 𝐷 jest środkiem boku 𝐴𝐵. Niech 𝛼 oznacza miarę kąta 𝐴𝐵𝐶, natomiast 𝛽 - miarę<br>kąta 𝐴𝐷𝐶 (zobacz rysunek).<br>Oblicz<br>𝐭𝐠𝜷<br>𝐬𝐢𝐧(𝟐𝜶) . Zapisz obliczenia.<br>12.<br>0-1-<br>2-3-<br>4-5<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷<br>𝛼<br>2𝛼<br>𝛽</p>\n<p>MMAP-R0_100</p>\n<p>MMAP-R0_100</p>\n<p>MMAP-R0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 12. (0-5)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Stosowanie i tworzenie strategii przy</li></ol>\n<p>rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Zdający:<br>VII.1) wykorzystuje definicje funkcji: sinus,<br>cosinus i tangens […].<br>VII.R5) korzysta z wzorów na sinus, cosinus<br>i tangens sumy i różnicy kątów, a także na<br>funkcje trygonometryczne kątów<br>podwojonych;<br>VII.R7) stosuje twierdzenie sinusów.<br>Zasady oceniania (dla sposobu I)<br>5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 2.<br>4 pkt - zapisanie związków<br>tg𝛽<br>sin(2𝛼) = |𝐴𝐶|<br>|𝐸𝐷| i |𝐸𝐷| = 1<br>2 ⋅|𝐶𝐹| oraz uzasadnienie, że<br>|𝐶𝐹| = |𝐴𝐶|.<br>3 pkt - zapisanie równości<br>tg𝛽<br>sin(2𝛼) = |𝐴𝐶|<br>|𝐸𝐷| oraz uzasadnienie, że |𝐶𝐹| = |𝐴𝐶|.<br>2 pkt - uzasadnienie, że |𝐶𝐹| = |𝐴𝐶|<br>ALBO</p>\n<ul><li>zdefiniowanie punktu 𝐹 jako obrazu punktu 𝐶 w symetrii osiowej względem</li></ul>\n<p>prostej 𝑘 oraz zapisanie równości<br>tg𝛽<br>sin(2𝛼) = |𝐴𝐶|<br>|𝐸𝐷| .<br>1 pkt - zdefiniowanie punktu 𝐹 jako obrazu punktu 𝐶 w symetrii osiowej względem<br>prostej 𝑘<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równości</li></ul>\n<p>tg𝛽<br>sin(2𝛼) = |𝐴𝐶|<br>|𝐸𝐷| .<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Zasady oceniania (dla sposobu II)<br>5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 2.<br>4 pkt - zapisanie związku 2sin𝛼<br>sin(3𝛼) =<br>sin𝛽<br>sin(2𝛼+𝛽) i zastosowanie wzoru na sinus sumy kątów<br>do sin(3𝛼) oraz sin(2𝛼+ 𝛽), np.:<br>2 sin 𝛼[sin(2𝛼) cos 𝛽+ cos(2𝛼) sin 𝛽] = sin 𝛽[sin(2𝛼) cos 𝛼+ cos(2𝛼) sin 𝛼].<br>3 pkt - wyeliminowanie długości odcinków z układu 𝑏<br>sin𝛼=<br>2𝑐<br>sin(180°-3𝛼)<br>i 𝑏<br>sin𝛽=<br>𝑐<br>sin[180°-(2𝛼+𝛽)] , np. zapisanie związku 2sin𝛼<br>sin(3𝛼) =<br>sin𝛽<br>sin(2𝛼+𝛽) .<br>2 pkt - zapisanie związków 𝑏<br>sin𝛼=<br>2𝑐<br>sin(180°-3𝛼) i 𝑏<br>sin𝛽=<br>𝑐<br>sin[180°-(2𝛼+𝛽)] .<br>1 pkt - zapisanie związku 𝑏<br>sin𝛼=<br>2𝑐<br>sin(180°-3𝛼)<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie związku 𝑏</li></ul>\n<p>sin𝛽=<br>𝑐<br>sin[180°-(2𝛼+𝛽)] .<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Zasady oceniania (dla sposobu III)<br>5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 2.<br>4 pkt - zapisanie równań:<br>tg𝛽<br>sin(2𝛼) = 𝑏<br>𝑥 oraz 𝑎2 -𝑏2 = 4𝑐𝑥 oraz 𝑎2 = 2𝑏(𝑐+ 𝑥).<br>3 pkt - spełnienie wszystkich trzech warunków określonych w zasadach oceniania za<br>1 punkt<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równań</li></ul>\n<p>tg𝛽<br>sin(2𝛼) = 𝑏<br>𝑥 oraz 𝑎2 -𝑏2 = 4𝑐𝑥,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równań</li></ul>\n<p>tg𝛽<br>sin(2𝛼) = 𝑏<br>𝑥 oraz 𝑎2 = 2𝑏(𝑐+ 𝑥),<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równań 𝑎2 -𝑏2 = 4𝑐𝑥 oraz 𝑎2 = 2𝑏(𝑐+ 𝑥).</li></ul>\n<p>2 pkt - spełnienie dwóch warunków spośród 1)-3) określonych w zasadach oceniania za<br>1 punkt<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie związku 𝑎2 = 2𝑏(𝑐+ 𝑥),</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie związku 𝑎2 -𝑏2 = 4𝑐𝑥.</li></ul>\n<p>1 pkt - spełnienie jednego z poniższych trzech warunków:</p>\n<ol><li>zapisanie równości</li></ol>\n<p>tg𝛽<br>sin(2𝛼) = 𝑏<br>𝑥</p>\n<ol><li>zapisanie związku 𝑏</li></ol>\n<p>sin𝛼=<br>𝑎<br>sin(2𝛼)</p>\n<ol><li>zapisanie równań 𝑎2 = ℎ2 + (𝑐+ 𝑥)2 oraz 𝑏2 = ℎ2 + (𝑐-𝑥)2.</li></ol>\n<p>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Zasady oceniania (dla sposobu IV)<br>5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 2.<br>4 pkt - zapisanie związków:<br>(𝑎2 -𝑏2) ⋅tg 𝛽= 4𝑏𝑐⋅sin(2𝛼) i<br>2𝑐<br>sin(180°-3𝛼) =<br>𝑏<br>sin𝛼 , i 𝑏<br>sin𝛼=<br>𝑎<br>sin(2𝛼) oraz<br>zapisanie tożsamości sin(3𝛼) = sin(2𝛼) ⋅cos 𝛼+ cos(2𝛼) ⋅sin 𝛼<br>(lub sin(3𝛼) = sin(2𝛼) ⋅cos 𝛼+ (2 cos2 𝛼-1) ⋅sin 𝛼).<br>3 pkt - zapisanie związków (𝑎2 -𝑏2) ⋅tg 𝛽= 4𝑏𝑐⋅sin(2𝛼) i<br>2𝑐<br>sin(180°-3𝛼) =<br>𝑏<br>sin𝛼 oraz<br>𝑏<br>sin𝛼=<br>𝑎<br>sin(2𝛼) .<br>2 pkt - zapisanie związku (𝑎2 -𝑏2) ⋅tg 𝛽= 4𝑏𝑐⋅sin(2𝛼).<br>1 pkt - zapisanie związku 4𝑐𝑑⋅cos 𝛽= 𝑎2 -𝑏2<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie związku 𝑑⋅sin 𝛽= 𝑏⋅sin(2𝛼).</li></ul>\n<p>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Przyjmijmy następujące oznaczenia:<br>𝑘 - prosta prostopadła do 𝐴𝐵 i przechodząca przez punkt 𝐷,<br>𝐹 - obraz punktu 𝐶 w symetrii osiowej względem prostej 𝑘,<br>𝐸 - spodek wysokości trapezu poprowadzonej z wierzchołka 𝐶 na podstawę 𝐴𝐵.<br>Czworokąt 𝐴𝐵𝐹𝐶 jest trapezem równoramiennym o podstawach 𝐴𝐵 i 𝐶𝐹 oraz ramionach<br>𝐴𝐶 i 𝐵𝐹. Zatem |∡𝐶𝐵𝐹| = |∡𝐶𝐴𝐵| -|∡𝐶𝐵𝐴| = 2𝛼-𝛼= 𝛼 oraz<br>|∡𝐵𝐶𝐹| = |∡𝐴𝐵𝐶| = 𝛼, więc trójkąt 𝐵𝐶𝐹 jest równoramienny (zobacz rysunek). Stąd<br>|𝐶𝐹| = |𝐹𝐵| = |𝐴𝐶|.<br>Ponieważ tg 𝛽= |𝐶𝐸|<br>|𝐸𝐷| oraz sin(2𝛼) = |𝐶𝐸|<br>|𝐴𝐶| , więc<br>tg 𝛽<br>sin(2𝛼) =<br>|𝐶𝐸|<br>|𝐸𝐷|<br>|𝐶𝐸|<br>|𝐴𝐶|<br>|𝐴𝐶|<br>|𝐸𝐷|<br>Ponieważ trapez 𝐴𝐵𝐹𝐶 jest równoramienny i 𝐷 jest środkiem podstawy 𝐴𝐵 tego trapezu,<br>więc |𝐸𝐷| = 1<br>2 ⋅|𝐶𝐹|.<br>Zatem<br>tg 𝛽<br>sin(2𝛼) = |𝐴𝐶|<br>|𝐸𝐷| =<br>|𝐴𝐶|<br>1<br>2 ⋅|𝐶𝐹|<br>|𝐴𝐶|<br>1<br>2 ⋅|𝐴𝐶|<br>= 2<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷<br>𝛼<br>2𝛼<br>𝛽<br>𝐸<br>𝛼<br>𝛼<br>𝐹<br>𝑘<br>Sposób II<br>Przyjmijmy następujące oznaczenia: |𝐴𝐷| = |𝐵𝐷| = 𝑐, |𝐴𝐶| = 𝑏, |𝐵𝐶| = 𝑎, |𝐶𝐷| = 𝑑<br>(zobacz rysunek).<br>Stosujemy do trójkątów 𝐴𝐵𝐶 i 𝐴𝐷𝐶 twierdzenie sinusów i otrzymujemy<br>𝑏<br>sin 𝛼=<br>2𝑐<br>sin(180° -3𝛼) ∧<br>𝑏<br>sin 𝛽=<br>𝑐<br>sin[180° -(2𝛼+ 𝛽)]<br>Stąd, po zastosowaniu wzorów redukcyjnych, dostajemy<br>𝑏<br>sin 𝛼=<br>2𝑐<br>sin(3𝛼) ∧<br>𝑏<br>sin 𝛽=<br>𝑐<br>sin(2𝛼+ 𝛽)<br>𝑏<br>𝑐= 2 sin 𝛼<br>sin(3𝛼) ∧ 𝑏<br>𝑐=<br>sin 𝛽<br>sin(2𝛼+ 𝛽)<br>2 sin 𝛼<br>sin(3𝛼) =<br>sin 𝛽<br>sin(2𝛼+ 𝛽)<br>2 sin 𝛼⋅sin(2𝛼+ 𝛽) = sin 𝛽⋅sin(3𝛼)<br>Stosujemy wzór na sinus sumy kątów, otrzymując kolejno:<br>2 sin 𝛼sin(2𝛼) cos 𝛽+ 2 sin 𝛼cos(2𝛼) sin 𝛽= sin 𝛽sin(2𝛼) cos 𝛼+ sin 𝛽cos(2𝛼) sin 𝛼<br>2 sin 𝛼sin(2𝛼) cos 𝛽= sin 𝛽sin(2𝛼) cos 𝛼-sin 𝛽cos(2𝛼) sin 𝛼<br>2 sin 𝛼sin(2𝛼) cos 𝛽= sin 𝛽[sin(2𝛼) cos 𝛼-cos(2𝛼) sin 𝛼]<br>Stosujemy wzór na sinus różnicy kątów i dostajemy<br>2 sin 𝛼sin(2𝛼) cos 𝛽= sin 𝛽sin 𝛼<br>Stąd<br>sin 𝛼= 0 ∨ 2 sin(2𝛼) cos 𝛽= sin 𝛽<br>Trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest ostrokątny, więc sin 𝛼= 0 jest wykluczone przez warunki zadania.<br>Zatem 2 sin(2𝛼) cos 𝛽= sin 𝛽, czyli<br>tg 𝛽<br>sin(2𝛼) = 2<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷<br>𝛼<br>2𝛼<br>𝛽<br>𝑐<br>𝑐<br>𝑎<br>𝑑<br>𝑏<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Sposób III<br>Przyjmijmy następujące oznaczenia: |𝐴𝐷| = |𝐵𝐷| = 𝑐, |𝐴𝐶| = 𝑏, |𝐵𝐶| = 𝑎, |𝐶𝐷| = 𝑑,<br>𝐸 - spodek wysokości trójkąta 𝐴𝐷𝐶 poprowadzonej z wierzchołka 𝐶 na bok 𝐴𝐷,<br>ℎ - wysokość trójkąta 𝐴𝐷𝐶 poprowadzona z wierzchołka 𝐶,<br>𝑥 - długość odcinka 𝐷𝐸 (zobacz rysunek).<br>Przy przyjętych oznaczeniach mamy<br>tg 𝛽<br>sin(2𝛼) =<br>ℎ<br>𝑥<br>ℎ<br>𝑏<br>= 𝑏<br>𝑥<br>Po zastosowaniu do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 twierdzenia sinusów oraz wzoru na sinus podwojonego<br>kąta otrzymujemy:<br>𝑏<br>sin 𝛼=<br>𝑎<br>sin(2𝛼)<br>𝑏<br>sin 𝛼=<br>𝑎<br>2 sin 𝛼cos 𝛼<br>cos 𝛼= 𝑎<br>2𝑏<br>Z definicji cosinusa zastosowanej do trójkąta prostokątnego 𝐸𝐵𝐶 mamy cos 𝛼= 𝑐 + 𝑥<br>𝑎<br>,<br>więc po uwzględnieniu związku cos 𝛼= 𝑎<br>2𝑏 otrzymujemy<br>𝑎<br>2𝑏= 𝑐+ 𝑥<br>𝑎<br>𝑎2 = 2𝑏(𝑐+ 𝑥)<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷<br>𝛼<br>2𝛼<br>𝛽<br>𝑐-𝑥<br>𝑐<br>𝑎<br>𝑑<br>𝑏<br>𝑥<br>ℎ<br>𝐸<br>Po zastosowaniu twierdzenia Pitagorasa do trójkątów 𝐴𝐸𝐶 i 𝐸𝐵𝐶 otrzymujemy<br>𝑏2 = ℎ2 + (𝑐-𝑥)2 ∧ 𝑎2 = ℎ2 + (𝑐+ 𝑥)2<br>Stąd<br>𝑎2 -𝑏2 = ℎ2 + (𝑐+ 𝑥)2 -ℎ2 -(𝑐-𝑥)2<br>czyli<br>𝑎2 -𝑏2 = 4𝑐𝑥<br>Stąd i z zależności 𝑎2 = 2𝑏(𝑐+ 𝑥) otrzymujemy kolejno<br>𝑎2 = 2𝑏(𝑐+ 𝑥) ∧ 𝑎2 -𝑏2 = 4𝑐𝑥<br>2𝑏(𝑐+ 𝑥) -𝑏2 = 4𝑐𝑥<br>2𝑏𝑐+ 2𝑏𝑥-𝑏2 = 4𝑐𝑥<br>2𝑏𝑐-𝑏2 = 4𝑐𝑥-2𝑏𝑥<br>𝑏(2𝑐-𝑏) = 2𝑥(2𝑐-𝑏)<br>𝑏= 2𝑥 ∨ 𝑏= 2𝑐<br>Gdy 𝑏= 2𝑐, to trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoramienny i |∡𝐴𝐵𝐶| = |∡𝐵𝐶𝐴|, czyli 𝛼= 180 -3𝛼,<br>tj. 𝛼= 45°. Wtedy |∡𝐵𝐴𝐶| = 2𝛼= 90° i trójkąt 𝐴𝐵𝐶 nie jest ostrokątny.<br>Zatem 𝑏= 2𝑥 i ostatecznie<br>tg 𝛽<br>sin(2𝛼) = 𝑏<br>𝑥= 2𝑥<br>𝑥= 2<br>Sposób IV<br>Przyjmijmy następujące oznaczenia: |𝐴𝐷| = |𝐵𝐷| = 𝑐, |𝐴𝐶| = 𝑏, |𝐵𝐶| = 𝑎, |𝐶𝐷| = 𝑑<br>(zobacz rysunek).<br>Stosujemy do trójkątów 𝐵𝐶𝐷 i 𝐴𝐷𝐶 twierdzenie cosinusów i otrzymujemy:<br>𝑎2 = 𝑐2 + 𝑑2 -2𝑐𝑑⋅cos(180° -𝛽)<br>𝑏2 = 𝑐2 + 𝑑2 -2𝑐𝑑⋅cos 𝛽<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷<br>𝛼<br>2𝛼<br>𝛽<br>𝑐<br>𝑐<br>𝑎<br>𝑑<br>𝑏<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Stąd, po zastosowaniu wzorów redukcyjnych, dostajemy<br>𝑎2 -𝑏2 = 4𝑐𝑑⋅cos 𝛽<br>cos 𝛽= 𝑎2 -𝑏2<br>4𝑐𝑑<br>Stosujemy do trójkąta 𝐴𝐷𝐶 twierdzenie sinusów i otrzymujemy:<br>𝑏<br>sin 𝛽=<br>𝑑<br>sin(2𝛼)<br>sin 𝛽= 𝑏⋅sin(2𝛼)<br>𝑑<br>Zatem<br>tg 𝛽=<br>𝑏⋅sin(2𝛼)<br>𝑑<br>𝑎2 -𝑏2<br>4𝑐𝑑<br>= 4𝑏𝑐⋅sin(2𝛼)<br>𝑎2 -𝑏2<br>Stosujemy do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 twierdzenie sinusów i otrzymujemy<br>2𝑐<br>sin(180° -3𝛼) =<br>𝑏<br>sin 𝛼 ∧<br>𝑏<br>sin 𝛼=<br>𝑎<br>sin(2𝛼)<br>Stąd, po zastosowaniu wzorów redukcyjnych oraz wzoru na sinus podwojonego kąta,<br>otrzymujemy<br>sin(3𝛼) = 2𝑐⋅sin 𝛼<br>𝑏<br>∧ sin(2𝛼) = 𝑎⋅sin 𝛼<br>𝑏<br>sin(3𝛼) = 2𝑐⋅sin 𝛼<br>𝑏<br>∧ cos 𝛼= 𝑎<br>2𝑏<br>Stąd i ze wzoru na sinus sumy kątów oraz cosinus podwojonego kąta uzyskujemy kolejno:<br>sin(3𝛼) = sin(2𝛼) ⋅cos 𝛼+ cos(2𝛼) ⋅sin 𝛼<br>2𝑐⋅sin 𝛼<br>𝑏<br>= 𝑎⋅sin 𝛼<br>𝑏<br>⋅𝑎<br>2𝑏+ [2 ⋅( 𝑎<br>2𝑏)<br>2<br>-1] ⋅sin 𝛼<br>2𝑐<br>𝑏= 𝑎2<br>2𝑏2 + 𝑎2<br>2𝑏2 -1<br>2𝑏𝑐= 𝑎2 -𝑏2<br>Stąd i z zależności tg 𝛽= 4𝑏𝑐 ⋅ sin(2𝛼)<br>𝑎2 - 𝑏2<br>otrzymujemy<br>tg 𝛽<br>sin(2𝛼) =<br>4𝑏𝑐<br>𝑎2 -𝑏2 = 4𝑏𝑐<br>2𝑏𝑐= 2</p>","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$2$</p>"}]}