{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad/13.1","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona","number":"13.1","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13.1. (0-2)\nWykaż, że pole 𝑷 czworokąta 𝑶𝑩𝑪𝑫 w zależności od pierwszej współrzędnej 𝒙\npunktu 𝑪 jest określone wzorem\n𝑷(𝒙) = 𝟐𝟏\n𝟒⋅𝒙𝟐-𝟓𝟔\n𝒙-𝟖\n1\n𝑥\n1\n𝑂\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n𝑦\n𝐵\n𝐷\n𝐶\n13.1.\n0-1-2\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13.1. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nV.3) odczytuje i interpretuje wartości funkcji\nokreślonych za pomocą […] wykresów,\nwzorów itp., również w sytuacjach\nwielokrotnego użycia tego samego źródła\ninformacji lub kilku źródeł jednocześnie.\nZasady oceniania\n2 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n1 pkt - obliczenie współrzędnych punktów 𝐵 i 𝐷 oraz zapisanie drugiej współrzędnej\npunktu 𝐶 w zależności od 𝑥: 𝐵= (7, 0) i 𝐷= (0, 21\n2 ) oraz 𝐶= (𝑥, 12𝑥-84\n𝑥-8 ).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczamy współrzędne punktu 𝐵:\n12𝑥-84\n𝑥-8\n= 0\n12𝑥-84 = 0\n𝑥= 7 ∈(-∞, 8)\nZatem 𝐵= (7, 0).\nObliczamy współrzędne punktu 𝐷: 𝑓(0) = 12⋅0-84\n0-8\n= 21\n2\nZatem 𝐷= (0, 21\n2 ).\nPonieważ 𝐶 leży na wykresie funkcji 𝑓 i ma obie współrzędne dodatnie, więc\n𝐶= (𝑥, 12𝑥-84\n𝑥-8 ), gdzie 0 < 𝑥< 7.\nPole 𝑃 czworokąta 𝑂𝐵𝐶𝐷 jest sumą pól trójkątów 𝑂𝐶𝐷 i 𝑂𝐵𝐶, więc\n𝑃= 𝑃𝑂𝐶𝐷+ 𝑃𝑂𝐵𝐶= 1\n2 ⋅21\n2 ⋅𝑥+ 1\n2 ⋅7 ⋅12𝑥-84\n𝑥-8\n= 21\n4 ⋅𝑥2 -8𝑥+ 8𝑥-56\n𝑥-8\n= 21\n4 ⋅𝑥2 -56\n𝑥-8\ngdzie 𝑥∈(0, 7).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$P = \\dfrac{21}{4} \\cdot \\dfrac{x^2 - 56}{x - 8}$ dla $x \\in (0, 7)$","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad-13.1.webp","solution_image":null,"topics":"optymalizacja","page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 13.1. (0-2)
Wykaż, że pole 𝑷 czworokąta 𝑶𝑩𝑪𝑫 w zależności od pierwszej współrzędnej 𝒙
punktu 𝑪 jest określone wzorem
𝑷(𝒙) = 𝟐𝟏
𝟒⋅𝒙𝟐-𝟓𝟔
𝒙-𝟖
1
𝑥
1
𝑂
𝑦= 𝑓(𝑥)
𝑦
𝐵
𝐷
𝐶
13.1.
0-1-2

\n

MMAP-R0_100

\n

MMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 13.1. (0-2)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Przeprowadzanie rozumowań, także
\n

kilkuetapowych, podawanie argumentów
uzasadniających poprawność rozumowania,
odróżnianie dowodu od przykładu.
Zdający:
V.3) odczytuje i interpretuje wartości funkcji
określonych za pomocą […] wykresów,
wzorów itp., również w sytuacjach
wielokrotnego użycia tego samego źródła
informacji lub kilku źródeł jednocześnie.
Zasady oceniania
2 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania.
1 pkt - obliczenie współrzędnych punktów 𝐵 i 𝐷 oraz zapisanie drugiej współrzędnej
punktu 𝐶 w zależności od 𝑥: 𝐵= (7, 0) i 𝐷= (0, 21
2 ) oraz 𝐶= (𝑥, 12𝑥-84
𝑥-8 ).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Obliczamy współrzędne punktu 𝐵:
12𝑥-84
𝑥-8
= 0
12𝑥-84 = 0
𝑥= 7 ∈(-∞, 8)
Zatem 𝐵= (7, 0).
Obliczamy współrzędne punktu 𝐷: 𝑓(0) = 12⋅0-84
0-8
= 21
2
Zatem 𝐷= (0, 21
2 ).
Ponieważ 𝐶 leży na wykresie funkcji 𝑓 i ma obie współrzędne dodatnie, więc
𝐶= (𝑥, 12𝑥-84
𝑥-8 ), gdzie 0 < 𝑥< 7.
Pole 𝑃 czworokąta 𝑂𝐵𝐶𝐷 jest sumą pól trójkątów 𝑂𝐶𝐷 i 𝑂𝐵𝐶, więc
𝑃= 𝑃𝑂𝐶𝐷+ 𝑃𝑂𝐵𝐶= 1
2 ⋅21
2 ⋅𝑥+ 1
2 ⋅7 ⋅12𝑥-84
𝑥-8
= 21
4 ⋅𝑥2 -8𝑥+ 8𝑥-56
𝑥-8
= 21
4 ⋅𝑥2 -56
𝑥-8
gdzie 𝑥∈(0, 7).
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$P = \\dfrac{21}{4} \\cdot \\dfrac{x^2 - 56}{x - 8}$ dla $x \\in (0, 7)$

"}]}