{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad/13.2","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona","number":"13.2","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13.2. (0-4)\nPole 𝑃 czworokąta 𝑂𝐵𝐶𝐷 w zależności od pierwszej współrzędnej 𝑥 punktu 𝐶 jest\nokreślone wzorem\n𝑃(𝑥) = 21\n4 ⋅𝑥2 -56\n𝑥-8\ndla 𝑥∈(0, 7).\nOblicz współrzędne wierzchołka 𝑪, dla których pole czworokąta 𝑶𝑩𝑪𝑫 jest\nnajwiększe. Zapisz obliczenia.\n13.2.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-R0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13.2. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nXIII.R4) oblicza pochodną funkcji potęgowej\no wykładniku rzeczywistym oraz oblicza\npochodną, korzystając z twierdzeń\no pochodnej sumy, różnicy, iloczynu\ni ilorazu;\nXIII.R5) stosuje pochodną do badania\nmonotoniczności funkcji;\nXIII.R6) rozwiązuje zadania optymalizacyjne\nz zastosowaniem pochodnej.\nZasady oceniania\n4 pkt - uzasadnienie, że funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla 𝑥= 8 -2√2\ni obliczenie współrzędnych punktu 𝐶, dla których pole czworokąta 𝑂𝐵𝐶𝐷 jest\nnajwiększe: 𝐶= (8 -2√2, 12 -3√2).\n3 pkt - uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja 𝑃 przyjmuje\nwartość największą dla 𝑥= 8 -2√2.\n2 pkt - obliczenie miejsc zerowych pochodnej funkcji 𝑃: 𝑥= 8 -2√2.\n1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑃, np. 𝑃′(𝑥) = 21\n4 ⋅2𝑥(𝑥 - 8) - (𝑥2 - 56) ⋅ 1\n(𝑥 - 8)2\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja posiada wartość największą dla\nwyznaczonej wartości 𝑥, przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy\nzdający bada znak pochodnej oraz:\n- opisuje (słownie lub graficznie - np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝑃\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑥 funkcja 𝑃 ma maksimum lokalne i jest to\njednocześnie jej największa wartość\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑥 funkcja 𝑃 ma maksimum lokalne i jest to\njedyne ekstremum tej funkcji.\nJeżeli zdający nie przedstawi poprawnego uzasadnienia, to może otrzymać co najwyżej\n3 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres\nfunkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku, np.\nznakami „+” i „-” znak pochodnej.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑃:\n𝑃′(𝑥) = 21\n4 ⋅2𝑥(𝑥 - 8) - (𝑥2 - 56) ⋅1\n(𝑥 - 8)2\n= 21\n4 ⋅𝑥2 - 16𝑥+ 56\n(𝑥 - 8)2\ndla 𝑥∈(0, 7).\nObliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑃:\n𝑃′(𝑥) = 0\n21\n4 ⋅𝑥2 - 16𝑥+ 56\n(𝑥 - 8)2\n= 0\n𝑥2 - 16𝑥+ 56 = 0\n𝑥= 16 -√32\n2\n= 8 -2√2 ∈(0, 7) ∨ 𝑥= 16 + √32\n2\n∉(0, 7)\nBadamy znak pochodnej:\n𝑃′(𝑥) > 0\n21\n4 ⋅𝑥2 - 16𝑥+ 56\n(𝑥 - 8)2\n> 0\n𝑥2 - 16𝑥+ 56 > 0\n𝑥∈(0, 8 -2√2)\nZatem funkcja 𝑃 jest rosnąca w przedziale (0, 8 -2√2 ] i funkcja 𝑃 jest malejąca\nw przedziale [8 -2√2, 7).\nStąd dla 𝑥= 8 -2√2 funkcja 𝑃 osiąga wartość największą.\nGdy pierwsza współrzędna punktu 𝐶 jest równa 𝑥𝐶= 8 -2√2 , to wtedy druga\nwspółrzędna 𝑦𝐶 tego punktu jest równa:\n𝑦𝐶= 12 ⋅(8 -2√2) -84\n8 -2√2 -8\n= 12 -24√2\n-2√2\n12\n-2√2\n+ 12 = 12 -3√2\nPole czworokąta 𝑂𝐵𝐶𝐷 jest największe, gdy 𝐶= (8 -2√2, 12 -3√2).","solution":"$C = \\left(8 - 2\\sqrt{2}, 12 - 3\\sqrt{2}\\right)$","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad-13.2.webp","solution_image":null,"topics":"optymalizacja","page_from":27,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"<p>Zadanie 13.2. (0-4)<br>Pole 𝑃 czworokąta 𝑂𝐵𝐶𝐷 w zależności od pierwszej współrzędnej 𝑥 punktu 𝐶 jest<br>określone wzorem<br>𝑃(𝑥) = 21<br>4 ⋅𝑥2 -56<br>𝑥-8<br>dla 𝑥∈(0, 7).<br>Oblicz współrzędne wierzchołka 𝑪, dla których pole czworokąta 𝑶𝑩𝑪𝑫 jest<br>największe. Zapisz obliczenia.<br>13.2.<br>0-1-<br>2-3-4</p>\n<p>MMAP-R0_100</p>\n<p>MMAP-R0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>MMAP-R0_100</p>\n<p>MATEMATYKA<br>Poziom rozszerzony<br>Formuła 2023<br>MATEMATYKA<br>Poziom rozszerzony<br>Formuła 2023<br>MATEMATYKA<br>Poziom rozszerzony<br>Formuła 2023</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 13.2. (0-4)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Stosowanie i tworzenie strategii przy</li></ol>\n<p>rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Zdający:<br>XIII.R4) oblicza pochodną funkcji potęgowej<br>o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza<br>pochodną, korzystając z twierdzeń<br>o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu<br>i ilorazu;<br>XIII.R5) stosuje pochodną do badania<br>monotoniczności funkcji;<br>XIII.R6) rozwiązuje zadania optymalizacyjne<br>z zastosowaniem pochodnej.<br>Zasady oceniania<br>4 pkt - uzasadnienie, że funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla 𝑥= 8 -2√2<br>i obliczenie współrzędnych punktu 𝐶, dla których pole czworokąta 𝑂𝐵𝐶𝐷 jest<br>największe: 𝐶= (8 -2√2, 12 -3√2).<br>3 pkt - uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja 𝑃 przyjmuje<br>wartość największą dla 𝑥= 8 -2√2.<br>2 pkt - obliczenie miejsc zerowych pochodnej funkcji 𝑃: 𝑥= 8 -2√2.<br>1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑃, np. 𝑃′(𝑥) = 21<br>4 ⋅2𝑥(𝑥 - 8) - (𝑥2 - 56) ⋅ 1<br>(𝑥 - 8)2<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja posiada wartość największą dla</li></ol>\n<p>wyznaczonej wartości 𝑥, przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy<br>zdający bada znak pochodnej oraz:</p>\n<ul><li>opisuje (słownie lub graficznie - np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝑃</li></ul>\n<p>LUB</p>\n<ul><li>zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑥 funkcja 𝑃 ma maksimum lokalne i jest to</li></ul>\n<p>jednocześnie jej największa wartość<br>LUB</p>\n<ul><li>zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑥 funkcja 𝑃 ma maksimum lokalne i jest to</li></ul>\n<p>jedyne ekstremum tej funkcji.<br>Jeżeli zdający nie przedstawi poprawnego uzasadnienia, to może otrzymać co najwyżej<br>3 punkty za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres</li></ol>\n<p>funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku, np.<br>znakami „+” i „-” znak pochodnej.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Wyznaczamy pochodną funkcji 𝑃:<br>𝑃′(𝑥) = 21<br>4 ⋅2𝑥(𝑥 - 8) - (𝑥2 - 56) ⋅1<br>(𝑥 - 8)2<br>= 21<br>4 ⋅𝑥2 - 16𝑥+ 56<br>(𝑥 - 8)2<br>dla 𝑥∈(0, 7).<br>Obliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑃:<br>𝑃′(𝑥) = 0<br>21<br>4 ⋅𝑥2 - 16𝑥+ 56<br>(𝑥 - 8)2<br>= 0<br>𝑥2 - 16𝑥+ 56 = 0<br>𝑥= 16 -√32<br>2<br>= 8 -2√2 ∈(0, 7) ∨ 𝑥= 16 + √32<br>2<br>∉(0, 7)<br>Badamy znak pochodnej:<br>𝑃′(𝑥) &gt; 0<br>21<br>4 ⋅𝑥2 - 16𝑥+ 56<br>(𝑥 - 8)2</p>\n<blockquote>0</blockquote>\n<p>𝑥2 - 16𝑥+ 56 &gt; 0<br>𝑥∈(0, 8 -2√2)<br>Zatem funkcja 𝑃 jest rosnąca w przedziale (0, 8 -2√2 ] i funkcja 𝑃 jest malejąca<br>w przedziale [8 -2√2, 7).<br>Stąd dla 𝑥= 8 -2√2 funkcja 𝑃 osiąga wartość największą.<br>Gdy pierwsza współrzędna punktu 𝐶 jest równa 𝑥𝐶= 8 -2√2 , to wtedy druga<br>współrzędna 𝑦𝐶 tego punktu jest równa:<br>𝑦𝐶= 12 ⋅(8 -2√2) -84<br>8 -2√2 -8<br>= 12 -24√2<br>-2√2<br>12<br>-2√2</p>\n<ul><li>12 = 12 -3√2</li></ul>\n<p>Pole czworokąta 𝑂𝐵𝐶𝐷 jest największe, gdy 𝐶= (8 -2√2, 12 -3√2).</p>","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$C = \\left(8 - 2\\sqrt{2}, 12 - 3\\sqrt{2}\\right)$</p>"}]}