{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona","number":"3","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-3)\nIloczyn długości średnicy podstawy walca i wysokości walca jest równy 12√3.\nPole powierzchni całkowitej tego walca jest równe 12𝜋(√3 + 1).\nOblicz objętość tego walca. Zapisz obliczenia.\n3.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nX.5) oblicza objętości i pola powierzchni […]\nwalca […].\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 18𝜋√2.\n2 pkt - obliczenie promienia walca i wysokości walca: 𝑟= √6 i ℎ= 3√2.\n1 pkt - zapisanie dwóch równań: 2𝑟⋅ℎ= 12√3 i 2𝜋𝑟2 + 2𝜋𝑟ℎ= 12𝜋(√3 + 1).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNiech 𝑟 będzie promieniem podstawy walca, natomiast ℎ - wysokością walca.\nZ warunków zadania otrzymujemy 2𝑟⋅ℎ= 12√3 oraz 2𝜋𝑟2 + 2𝜋𝑟ℎ= 12𝜋(√3 + 1).\nZ pierwszego z tych równań wyznaczamy ℎ= 6√3\n𝑟 i podstawiamy w miejsce ℎ do\ndrugiego z równań, otrzymując\n2𝜋𝑟2 + 2𝜋𝑟⋅6√3\n𝑟\n= 12𝜋(√3 + 1)\n2𝜋𝑟2 + 12√3𝜋= 12𝜋(√3 + 1)\n𝑟2 = 6\nZatem 𝑟= √6 oraz ℎ= 6√3\n√6 = 3√2.\nObliczamy objętość 𝑉 walca:\n𝑉= 𝜋𝑟2ℎ= 𝜋⋅6 ⋅3√2 = 18𝜋√2\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$18\\pi\\sqrt{2}$","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 3. (0-3)
Iloczyn długości średnicy podstawy walca i wysokości walca jest równy 12√3.
Pole powierzchni całkowitej tego walca jest równe 12𝜋(√3 + 1).
Oblicz objętość tego walca. Zapisz obliczenia.
3.
0-1-
2-3

\n

MMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 3. (0-3)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Stosowanie i tworzenie strategii przy
\n

rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Zdający:
X.5) oblicza objętości i pola powierzchni […]
walca […].
Zasady oceniania
3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 18𝜋√2.
2 pkt - obliczenie promienia walca i wysokości walca: 𝑟= √6 i ℎ= 3√2.
1 pkt - zapisanie dwóch równań: 2𝑟⋅ℎ= 12√3 i 2𝜋𝑟2 + 2𝜋𝑟ℎ= 12𝜋(√3 + 1).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Niech 𝑟 będzie promieniem podstawy walca, natomiast ℎ - wysokością walca.
Z warunków zadania otrzymujemy 2𝑟⋅ℎ= 12√3 oraz 2𝜋𝑟2 + 2𝜋𝑟ℎ= 12𝜋(√3 + 1).
Z pierwszego z tych równań wyznaczamy ℎ= 6√3
𝑟 i podstawiamy w miejsce ℎ do
drugiego z równań, otrzymując
2𝜋𝑟2 + 2𝜋𝑟⋅6√3
𝑟
= 12𝜋(√3 + 1)
2𝜋𝑟2 + 12√3𝜋= 12𝜋(√3 + 1)
𝑟2 = 6
Zatem 𝑟= √6 oraz ℎ= 6√3
√6 = 3√2.
Obliczamy objętość 𝑉 walca:
𝑉= 𝜋𝑟2ℎ= 𝜋⋅6 ⋅3√2 = 18𝜋√2
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$18\\pi\\sqrt{2}$

"}]}