{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona","number":"6","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-4)\nRozwiąż równanie\n|𝟒𝒙-𝟖| + |𝒙-𝟐| = |𝟐-𝒙| + |𝒙+ 𝟐| + 𝟒\nZapisz obliczenia.\n6.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.R4) rozwiązuje równania […] z wartością\nbezwzględną.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 2\n5 oraz 14\n3 .\n3 pkt - rozwiązanie równania w dwóch spośród rozważanych przedziałów/przypadków (o ile\nzdający rozpatruje równanie w przedziałach/przypadkach, których suma jest równa\nℝ/wyczerpujących zbiór ℝ)\nALBO\n- rozwiązanie równania 4𝑥-8 = |𝑥+ 2| + 4 (dla sposobu II),\nALBO\n- rozwiązanie równania 4𝑥-8 = -|𝑥+ 2| -4 (dla sposobu II).\n2 pkt - zastosowanie definicji wartości bezwzględnej lub własności wartości bezwzględnej\ni zapisanie danego równania odpowiednio w trzech przedziałach: (-∞, -2), [-2, 2),\n[2, +∞), lub w czterech przypadkach: 𝑥+ 2 < 0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 2 < 0\ni 𝑥-2 ≥0, 𝑥+ 2 ≥0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 2 ≥0 i 𝑥-2 ≥0\nALBO\n- zapisanie równania w postaci równoważnej alternatywy dwóch równań:\n4𝑥-8 = |𝑥+ 2| + 4 lub 4𝑥-8 = -|𝑥+ 2| -4 (dla sposobu II).\n1 pkt - przekształcenie danego równania do postaci 4 ⋅|𝑥-2| = |𝑥+ 2| + 4\nALBO\n- przekształcenie danego równania do postaci |4𝑥-8| = |𝑥+ 2| + 4,\nALBO\n- zapisanie przedziałów: (-∞, -2), [-2, 2), [2, +∞), oraz zapisanie danego\nrównania w jednym z tych przedziałów bez użycia symbolu wartości bezwzględnej\nALBO\n- zapisanie jednego z przedziałów: (-∞, -2), [-2, 2), [2, +∞), oraz rozwiązanie\ndanego równania w tym przedziale.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPonieważ |4𝑥-8| = 4 ⋅|𝑥-2| oraz |2 -𝑥| = |𝑥-2| dla każdego 𝑥∈ℝ, więc\nrównanie |4𝑥-8| + |𝑥-2| = |2 -𝑥| + |𝑥+ 2| + 4 można przekształcić równoważnie do\npostaci\n4 ⋅|𝑥-2| = |𝑥+ 2| + 4\nRozważamy trzy przypadki.\nPrzypadek 1. (gdy 𝑥∈(-∞, -2))\nW tym przypadku równanie ma postać -4𝑥+ 8 = -𝑥-2 + 4, czyli 𝑥= 2.\nPonieważ 2 ∉(-∞, -2), więc liczba 2 nie jest rozwiązaniem równania.\nPrzypadek 2. (gdy 𝑥∈[-2, 2))\nW tym przypadku równanie ma postać -4𝑥+ 8 = 𝑥+ 2 + 4, czyli 𝑥= 2\n5 .\nPonieważ 2\n5 ∈[-2, 2), więc liczba 2\n5 jest rozwiązaniem równania.\nPrzypadek 3. (gdy 𝑥∈[2, +∞))\nW tym przypadku równanie ma postać 4𝑥-8 = 𝑥+ 2 + 4, czyli 𝑥= 14\n3 .\nPonieważ 14\n3 ∈[2, +∞), więc liczba 14\n3 jest rozwiązaniem równania.\nOstatecznie rozwiązaniami danego równania są liczby 2\n5 oraz 14\n3 .\nSposób II\nPonieważ |2 -𝑥| = |𝑥-2| dla każdego 𝑥∈ℝ, więc równanie\n|4𝑥-8| + |𝑥-2| = |2 -𝑥| + |𝑥+ 2| + 4 można przekształcić równoważnie do postaci\n|4𝑥-8| = |𝑥+ 2| + 4\nPonieważ wyrażenie |𝑥+ 2| + 4 jest dodatnie dla każdego 𝑥∈ℝ, więc równanie\n|4𝑥-8| = |𝑥+ 2| + 4 można zapisać równoważnie jako alternatywę równań:\n4𝑥-8 = |𝑥+ 2| + 4 ∨ 4𝑥-8 = -|𝑥+ 2| -4\nStąd\n|𝑥+ 2| = 4𝑥-12 ∨ |𝑥+ 2| = 4 -4𝑥\nRozwiązujemy równanie |𝑥+ 2| = 4𝑥-12:\n4𝑥-12 ≥0 ∧ (𝑥+ 2 = 4𝑥-12 ∨ 𝑥+ 2 = -4𝑥+ 12)\n𝑥≥3 ∧ (𝑥= 14\n3 ∨ 𝑥= 2)\nPonieważ 14\n3 ∈[3, +∞) i 2 ∉[3, +∞), więc rozwiązaniem równania\n|𝑥+ 2| = 4𝑥-12 jest liczba 14\n3 .\nRozwiązujemy równanie |𝑥+ 2| = 4 -4𝑥:\n4 -4𝑥≥0 ∧ (𝑥+ 2 = 4 -4𝑥 ∨ 𝑥+ 2 = -4 + 4𝑥)\n𝑥≤1 ∧ (𝑥= 2\n5 ∨ 𝑥= 2)\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPonieważ 2\n5 ∈(-∞, 1] i 2 ∉(-∞, 1], więc rozwiązaniem równania\n|𝑥+ 2| = 4 -4𝑥 jest liczba 2\n5 .\nRozwiązaniami równania |4𝑥-8| + |𝑥-2| = |2 -𝑥| + |𝑥+ 2| + 4 są liczby 2\n5 oraz 14\n3 .","solution":"$x \\in \\left\\{\\dfrac{2}{5}, \\dfrac{14}{3}\\right\\}$","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"bezwgledna","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"<p>Zadanie 6. (0-4)<br>Rozwiąż równanie<br>|𝟒𝒙-𝟖| + |𝒙-𝟐| = |𝟐-𝒙| + |𝒙+ 𝟐| + 𝟒<br>Zapisz obliczenia.<br>6.<br>0-1-<br>2-3-4</p>\n<p>MMAP-R0_100</p>\n<p>MMAP-R0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 6. (0-4)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>III.R4) rozwiązuje równania […] z wartością<br>bezwzględną.<br>Zasady oceniania<br>4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 2<br>5 oraz 14<br>3 .<br>3 pkt - rozwiązanie równania w dwóch spośród rozważanych przedziałów/przypadków (o ile<br>zdający rozpatruje równanie w przedziałach/przypadkach, których suma jest równa<br>ℝ/wyczerpujących zbiór ℝ)<br>ALBO</p>\n<ul><li>rozwiązanie równania 4𝑥-8 = |𝑥+ 2| + 4 (dla sposobu II),</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>rozwiązanie równania 4𝑥-8 = -|𝑥+ 2| -4 (dla sposobu II).</li></ul>\n<p>2 pkt - zastosowanie definicji wartości bezwzględnej lub własności wartości bezwzględnej<br>i zapisanie danego równania odpowiednio w trzech przedziałach: (-∞, -2), [-2, 2),<br>[2, +∞), lub w czterech przypadkach: 𝑥+ 2 &lt; 0 i 𝑥-2 &lt; 0, 𝑥+ 2 &lt; 0<br>i 𝑥-2 ≥0, 𝑥+ 2 ≥0 i 𝑥-2 &lt; 0, 𝑥+ 2 ≥0 i 𝑥-2 ≥0<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania w postaci równoważnej alternatywy dwóch równań:</li></ul>\n<p>4𝑥-8 = |𝑥+ 2| + 4 lub 4𝑥-8 = -|𝑥+ 2| -4 (dla sposobu II).<br>1 pkt - przekształcenie danego równania do postaci 4 ⋅|𝑥-2| = |𝑥+ 2| + 4<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie danego równania do postaci |4𝑥-8| = |𝑥+ 2| + 4,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie przedziałów: (-∞, -2), [-2, 2), [2, +∞), oraz zapisanie danego</li></ul>\n<p>równania w jednym z tych przedziałów bez użycia symbolu wartości bezwzględnej<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie jednego z przedziałów: (-∞, -2), [-2, 2), [2, +∞), oraz rozwiązanie</li></ul>\n<p>danego równania w tym przedziale.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Ponieważ |4𝑥-8| = 4 ⋅|𝑥-2| oraz |2 -𝑥| = |𝑥-2| dla każdego 𝑥∈ℝ, więc<br>równanie |4𝑥-8| + |𝑥-2| = |2 -𝑥| + |𝑥+ 2| + 4 można przekształcić równoważnie do<br>postaci<br>4 ⋅|𝑥-2| = |𝑥+ 2| + 4<br>Rozważamy trzy przypadki.<br>Przypadek 1. (gdy 𝑥∈(-∞, -2))<br>W tym przypadku równanie ma postać -4𝑥+ 8 = -𝑥-2 + 4, czyli 𝑥= 2.<br>Ponieważ 2 ∉(-∞, -2), więc liczba 2 nie jest rozwiązaniem równania.<br>Przypadek 2. (gdy 𝑥∈[-2, 2))<br>W tym przypadku równanie ma postać -4𝑥+ 8 = 𝑥+ 2 + 4, czyli 𝑥= 2<br>5 .<br>Ponieważ 2<br>5 ∈[-2, 2), więc liczba 2<br>5 jest rozwiązaniem równania.<br>Przypadek 3. (gdy 𝑥∈[2, +∞))<br>W tym przypadku równanie ma postać 4𝑥-8 = 𝑥+ 2 + 4, czyli 𝑥= 14<br>3 .<br>Ponieważ 14<br>3 ∈[2, +∞), więc liczba 14<br>3 jest rozwiązaniem równania.<br>Ostatecznie rozwiązaniami danego równania są liczby 2<br>5 oraz 14<br>3 .<br>Sposób II<br>Ponieważ |2 -𝑥| = |𝑥-2| dla każdego 𝑥∈ℝ, więc równanie<br>|4𝑥-8| + |𝑥-2| = |2 -𝑥| + |𝑥+ 2| + 4 można przekształcić równoważnie do postaci<br>|4𝑥-8| = |𝑥+ 2| + 4<br>Ponieważ wyrażenie |𝑥+ 2| + 4 jest dodatnie dla każdego 𝑥∈ℝ, więc równanie<br>|4𝑥-8| = |𝑥+ 2| + 4 można zapisać równoważnie jako alternatywę równań:<br>4𝑥-8 = |𝑥+ 2| + 4 ∨ 4𝑥-8 = -|𝑥+ 2| -4<br>Stąd<br>|𝑥+ 2| = 4𝑥-12 ∨ |𝑥+ 2| = 4 -4𝑥<br>Rozwiązujemy równanie |𝑥+ 2| = 4𝑥-12:<br>4𝑥-12 ≥0 ∧ (𝑥+ 2 = 4𝑥-12 ∨ 𝑥+ 2 = -4𝑥+ 12)<br>𝑥≥3 ∧ (𝑥= 14<br>3 ∨ 𝑥= 2)<br>Ponieważ 14<br>3 ∈[3, +∞) i 2 ∉[3, +∞), więc rozwiązaniem równania<br>|𝑥+ 2| = 4𝑥-12 jest liczba 14<br>3 .<br>Rozwiązujemy równanie |𝑥+ 2| = 4 -4𝑥:<br>4 -4𝑥≥0 ∧ (𝑥+ 2 = 4 -4𝑥 ∨ 𝑥+ 2 = -4 + 4𝑥)<br>𝑥≤1 ∧ (𝑥= 2<br>5 ∨ 𝑥= 2)<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Ponieważ 2<br>5 ∈(-∞, 1] i 2 ∉(-∞, 1], więc rozwiązaniem równania<br>|𝑥+ 2| = 4 -4𝑥 jest liczba 2<br>5 .<br>Rozwiązaniami równania |4𝑥-8| + |𝑥-2| = |2 -𝑥| + |𝑥+ 2| + 4 są liczby 2<br>5 oraz 14<br>3 .</p>","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$x \\in \\left\\{\\dfrac{2}{5}, \\dfrac{14}{3}\\right\\}$</p>"}]}