Zadanie 7. (0-4)
W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dane są:
okrąg o równaniu (𝑥+ 1)2 + (𝑦-3)2 = 50 i punkty 𝐴= (6, 4) oraz 𝐵= (-6, 8).
Punkt 𝐶 leży na tym okręgu i |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|.
Oblicz współrzędne punktu 𝑪. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.
7.
0-1-
2-3-4
MMAP-R0_100
\nMMAP-R0_100
","answer_text_html":"Zadanie 7. (0-4)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.
rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Zdający:
IX.R1) znajduje punkty wspólne prostej
i okręgu;
IX.R4) wyznacza równanie prostej
prostopadłej do zadanej prostej […].
Zasady oceniania
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝐶= (√5 -1, 3√5 + 3) lub
𝐶= (-√5 -1, -3√5 + 3).
3 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą (pierwszą lub drugą współrzędną punktu 𝐶),
np. (𝑥+ 1)2 + (3𝑥+ 6 -3)2 = 50.
2 pkt - wyznaczenie równania symetralnej odcinka 𝐴𝐵: 𝑦= 3𝑥+ 6.
1 pkt - obliczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐵: (-1
3)
ALBO
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Z warunku |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶| wynika, że punkt 𝐶 leży na symetralnej odcinka 𝐴𝐵.
Współczynnik kierunkowy 𝑎𝐴𝐵 prostej 𝐴𝐵 jest równy 𝑎𝐴𝐵= 8-4
-6-6 = -1
3 , więc
współczynnik kierunkowy prostej, która jest symetralną odcinka 𝐴𝐵, jest równy 𝑎= 3.
Obliczamy współrzędne środka 𝑀 odcinka 𝐴𝐵:
𝑀= (6 + (-6)
2
, 4 + 8
2
) = (0, 6)
Ponieważ ta symetralna przechodzi przez punkt 𝑀, więc ma ona równanie
𝑦= 3(𝑥-0) + 6, czyli 𝑦= 3𝑥+ 6.
Obliczamy współrzędne punktu 𝐶, który jest punktem przecięcia symetralnej odcinka 𝐴𝐵
z danym okręgiem:
(𝑥+ 1)2 + (3𝑥+ 6 -3)2 = 50
(𝑥+ 1)2 + 9(𝑥+ 1)2 = 50
(𝑥+ 1)2 = 5
|𝑥+ 1| = √5
𝑥= √5 -1 ∨ 𝑥= -√5 -1
Gdy 𝑥= √5 -1, to 𝑦= 3(√5 -1) + 6 = 3√5 + 3, więc wtedy 𝐶= (√5 -1, 3√5 + 3).
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Gdy 𝑥= -√5 -1, to 𝑦= 3(-√5 -1) + 6 = -3√5 + 3, więc wtedy
𝐶= (-√5 -1, -3√5 + 3).
Odp. 𝐶= (√5 -1, 3√5 + 3) lub 𝐶= (-√5 -1, -3√5 + 3).
$C = (\\sqrt{5} - 1, 3\\sqrt{5} + 3)$ lub $C = (-\\sqrt{5} - 1, -3\\sqrt{5} + 3)$
"}]}