{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona","number":"8","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-4)\nOblicz granicę\n𝐥𝐢𝐦\n𝒏→+∞\n1 + 3 + 5 + 7 + … + (2𝑛+ 1)\n(𝑛\n2)\ngdzie 𝟏+ 𝟑+ 𝟓+ 𝟕+ … + (𝟐𝒏+ 𝟏) jest sumą kolejnych liczb naturalnych\nnieparzystych. Zapisz obliczenia.\n8.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVI.R1) oblicza granice ciągów […].\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 2.\n3 pkt - wyznaczenie sumy 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2𝑛+ 1): (𝑛+ 1)2 oraz zapisanie\nsymbolu Newtona (𝑛\n2) w postaci 𝑛(𝑛 - 1)\n2\n2 pkt - wyznaczenie liczby składników sumy 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2𝑛+ 1): (𝑛+ 1)\noraz zapisanie symbolu Newtona (𝑛\n2) w postaci 𝑛(𝑛 - 1)\n2\nALBO\n- wyznaczenie sumy 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2𝑛+ 1): (𝑛+ 1)2.\n1 pkt - wyznaczenie liczby składników sumy 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2𝑛+ 1): (𝑛+ 1)\nALBO\n- zapisanie symbolu Newtona (𝑛\n2) w postaci 𝑛(𝑛 - 1)\n2\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający przyjmie, że liczba składników sumy 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2𝑛+ 1) jest\nrówna 𝑛 i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca to otrzymuje\n2 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nKolejne składniki sumy 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2𝑛+ 1) są kolejnymi wyrazami ciągu\narytmetycznego o pierwszym wyrazie 𝑎1 = 1 oraz różnicy 𝑟= 2.\nNiech 𝑘 oznacza liczbę składników tej sumy. Wyznaczamy 𝑘:\n𝑎𝑘= 𝑎1 + (𝑘-1) ⋅𝑟\n2𝑛+ 1 = 1 + (𝑘-1) ⋅2\n𝑘= 𝑛+ 1\nZatem suma składa się z (𝑛+ 1) składników.\nStosując wzór na sumę (𝑛+ 1) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego,\notrzymujemy\n1 + 3 + 5 + 7 + … + (2𝑛+ 1) = [1 + (2𝑛+ 1)]\n2\n⋅(𝑛+ 1) = (𝑛+ 1)2\nWyznaczamy współczynnik dwumianowy:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n(𝑛\n2) = 𝑛(𝑛-1)\n2\nObliczamy granicę\nlim\n𝑛→+∞\n1 + 3 + 5 + 7 + … + (2𝑛+ 1)\n(𝑛\n2)\n= lim\n𝑛→+∞\n(𝑛+ 1)2\n𝑛(𝑛-1)\n2\n= lim\n𝑛→+∞\n2𝑛2 + 4𝑛+ 2\n𝑛2 -𝑛\n= lim\n𝑛→+∞\n2 + 4\n𝑛+ 2\n𝑛2\n1 -1\n𝑛\n= 2","solution":"$2$","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"granice","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"<p>Zadanie 8. (0-4)<br>Oblicz granicę<br>𝐥𝐢𝐦<br>𝒏→+∞<br>1 + 3 + 5 + 7 + … + (2𝑛+ 1)<br>(𝑛<br>2)<br>gdzie 𝟏+ 𝟑+ 𝟓+ 𝟕+ … + (𝟐𝒏+ 𝟏) jest sumą kolejnych liczb naturalnych<br>nieparzystych. Zapisz obliczenia.<br>8.<br>0-1-<br>2-3-4</p>\n<p>MMAP-R0_100</p>\n<p>MMAP-R0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 8. (0-4)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie i tworzenie strategii przy</li></ol>\n<p>rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Zdający:<br>VI.R1) oblicza granice ciągów […].<br>Zasady oceniania<br>4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 2.<br>3 pkt - wyznaczenie sumy 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2𝑛+ 1): (𝑛+ 1)2 oraz zapisanie<br>symbolu Newtona (𝑛</p>\n<ol><li>w postaci 𝑛(𝑛 - 1)</li></ol>\n<p>2<br>2 pkt - wyznaczenie liczby składników sumy 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2𝑛+ 1): (𝑛+ 1)<br>oraz zapisanie symbolu Newtona (𝑛</p>\n<ol><li>w postaci 𝑛(𝑛 - 1)</li></ol>\n<p>2<br>ALBO</p>\n<ul><li>wyznaczenie sumy 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2𝑛+ 1): (𝑛+ 1)2.</li></ul>\n<p>1 pkt - wyznaczenie liczby składników sumy 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2𝑛+ 1): (𝑛+ 1)<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie symbolu Newtona (𝑛</li></ul>\n<ol><li>w postaci 𝑛(𝑛 - 1)</li></ol>\n<p>2<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwaga:<br>Jeżeli zdający przyjmie, że liczba składników sumy 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2𝑛+ 1) jest<br>równa 𝑛 i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca to otrzymuje<br>2 punkty za całe rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Kolejne składniki sumy 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2𝑛+ 1) są kolejnymi wyrazami ciągu<br>arytmetycznego o pierwszym wyrazie 𝑎1 = 1 oraz różnicy 𝑟= 2.<br>Niech 𝑘 oznacza liczbę składników tej sumy. Wyznaczamy 𝑘:<br>𝑎𝑘= 𝑎1 + (𝑘-1) ⋅𝑟<br>2𝑛+ 1 = 1 + (𝑘-1) ⋅2<br>𝑘= 𝑛+ 1<br>Zatem suma składa się z (𝑛+ 1) składników.<br>Stosując wzór na sumę (𝑛+ 1) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego,<br>otrzymujemy<br>1 + 3 + 5 + 7 + … + (2𝑛+ 1) = [1 + (2𝑛+ 1)]<br>2<br>⋅(𝑛+ 1) = (𝑛+ 1)2<br>Wyznaczamy współczynnik dwumianowy:<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>(𝑛</p>\n<ol><li>= 𝑛(𝑛-1)</li></ol>\n<p>2<br>Obliczamy granicę<br>lim<br>𝑛→+∞<br>1 + 3 + 5 + 7 + … + (2𝑛+ 1)<br>(𝑛<br>2)<br>= lim<br>𝑛→+∞<br>(𝑛+ 1)2<br>𝑛(𝑛-1)<br>2<br>= lim<br>𝑛→+∞<br>2𝑛2 + 4𝑛+ 2<br>𝑛2 -𝑛<br>= lim<br>𝑛→+∞<br>2 + 4<br>𝑛+ 2<br>𝑛2<br>1 -1<br>𝑛<br>= 2</p>","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$2$</p>"}]}