Zadanie 9. (0-4)
Rozwiąż równanie
𝐬𝐢𝐧𝟒𝒙= 𝐬𝐢𝐧𝒙⋅𝐜𝐨𝐬𝒙-𝐜𝐨𝐬𝟒𝒙
w zbiorze [-𝝅, 𝟐𝝅]. Zapisz obliczenia.
9.
0-1-
2-3-4
MMAP-R0_100
\nMMAP-R0_100
","answer_text_html":"Zadanie 9. (0-4)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.
rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Zdający:
VII.R6) rozwiązuje równania
trygonometryczne.
Zasady oceniania (dla sposobu I)
4 pkt - zapisanie, że równanie sin(2𝑥) = -2 nie ma rozwiązań oraz rozwiązanie równania
sin(2𝑥) = 1 w zbiorze [-𝜋, 2𝜋]: (-3
4 𝜋), 1
4 𝜋 oraz 5
4 𝜋.
3 pkt - rozwiązanie równania sin(2𝑥) = 1 w zbiorze liczb rzeczywistych: 𝑥= 1
4 𝜋+ 𝜋⋅𝑘,
gdzie 𝑘∈ℤ
ALBO
4 𝜋), 1
4 𝜋 oraz 5
4 𝜋.
2 pkt - przekształcenie równania do alternatywy równań sin(2𝑥) = -2 lub
sin(2𝑥) = 1.
1 pkt - przekształcenie równania do postaci
(sin2 𝑥+ cos2 𝑥)2 -2 sin2 𝑥cos2 𝑥= sin 𝑥⋅cos 𝑥
ALBO
ALBO
\n2 sin2(2𝑥).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zasady oceniania (dla sposobu II)
4 pkt - spełnienie kryterium za 3 punkty oraz sprawdzenie rachunkiem, że liczby (-3
4 𝜋),
1
4 𝜋 oraz 5
4 𝜋 spełniają równanie sin4 𝑥= sin 𝑥⋅cos 𝑥-cos4 𝑥.
3 pkt - rozwiązanie równania sin(2𝑥) = 1 w zbiorze liczb rzeczywistych: 𝑥= 1
4 𝜋+ 𝜋⋅𝑘,
gdzie 𝑘∈ℤ
ALBO
4 𝜋), 1
4 𝜋 oraz 5
4 𝜋.
2 pkt - wykorzystanie równości sin4 𝑥= sin 𝑥⋅cos 𝑥-cos4 𝑥 i przekształcenie
nierówności √sin4𝑥 + cos4𝑥
2
≥sin2𝑥 + cos2𝑥
2
do postaci sin(2𝑥) ≥1.
1 pkt - zastosowanie nierówności między średnią kwadratową a arytmetyczną i zapisanie
nierówności √sin4𝑥 + cos4𝑥
2
≥sin2𝑥 + cos2𝑥
2
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Zasady oceniania (dla sposobu III)
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (-3
4 𝜋), 1
4 𝜋 oraz 5
4 𝜋.
3 pkt - równoważne przekształcenie równania do alternatywy równań sin3 𝑥-cos3 𝑥= 0
lub sin 𝑥-cos 𝑥= 0 i rozwiązanie równań tej alternatywy w zbiorze liczb
rzeczywistych: 𝑥= 1
4 𝜋+ 𝜋⋅𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ.
2 pkt - przekształcenie równania do postaci (sin3 𝑥-cos3 𝑥)(sin 𝑥-cos 𝑥) = 0.
1 pkt - przekształcenie równania do postaci
sin4 𝑥+ cos4 𝑥= sin 𝑥⋅cos 𝑥⋅(sin2 𝑥+ cos2 𝑥).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga.
Jeżeli zdający przekształci równanie do postaci (sin3 𝑥-cos3 𝑥)(sin 𝑥-cos 𝑥) = 0,
a następnie rozwiąże poprawnie równania sin3 𝑥-cos3 𝑥= 0 oraz sin 𝑥-cos 𝑥= 0
w zbiorze [-𝜋, 2𝜋], to otrzymuje 4 punkty za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Przekształcamy równanie równoważnie, korzystając ze wzoru na kwadrat sumy oraz
z jedynki trygonometrycznej:
sin4 𝑥= sin 𝑥⋅cos 𝑥-cos4 𝑥
sin4 𝑥+ cos4 𝑥= sin 𝑥⋅cos 𝑥
(sin2 𝑥+ cos2 𝑥)2 -2 sin2 𝑥⋅cos2 𝑥= sin 𝑥⋅cos 𝑥
1 -2(sin 𝑥⋅cos 𝑥)2 = sin 𝑥⋅cos 𝑥
Korzystamy ze wzoru na sinus podwojonego kąta i otrzymujemy dalej
1 -1
2 sin2(2𝑥) = 1
2 sin(2𝑥)
sin2(2𝑥) + sin(2𝑥) -2 = 0
sin(2𝑥) = 1 ∨ sin(2𝑥) = -2
Rozwiązujemy równanie sin(2𝑥) = 1 w zbiorze ℝ:
2𝑥= 𝜋
2 + 2𝜋⋅𝑘 ∧ 𝑘∈ℤ
𝑥= 𝜋
4 + 𝜋⋅𝑘 ∧ 𝑘∈ℤ
Rozwiązaniami równania sin(2𝑥) = 1 w zbiorze [-𝜋, 2𝜋] są liczby: (-3
4 𝜋), 1
4 𝜋 oraz
5
4 𝜋.
Równanie sin(2𝑥) = -2 nie ma rozwiązań w zbiorze ℝ.
Zatem rozwiązaniami równania sin4 𝑥= sin 𝑥⋅cos 𝑥-cos4 𝑥 w zbiorze [-𝜋, 2𝜋] są
liczby: (-3
4 𝜋), 1
4 𝜋 oraz 5
4 𝜋.
Sposób II
Korzystamy z nierówności między średnią kwadratową a arytmetyczną i otrzymujemy
√sin4 𝑥+ cos4 𝑥
2
≥sin2 𝑥+ cos2 𝑥
2
Stąd, po zastosowaniu tożsamości sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1 i wzoru na sinus podwojonego kąta
oraz związku sin4 𝑥= sin 𝑥⋅cos 𝑥-cos4 𝑥, dostajemy kolejno:
√sin 𝑥⋅cos 𝑥
2
≥1
2
sin 𝑥⋅cos 𝑥≥1
2
sin(2𝑥) ≥1
Stąd i z własności funkcji sinus wynika, że sin(2𝑥) = 1.
Zatem
2𝑥= 𝜋
2 + 2𝜋⋅𝑘 ∧ 𝑘∈ℤ
𝑥= 𝜋
4 + 𝜋⋅𝑘 ∧ 𝑘∈ℤ
Gdy 𝑥= -3
4 𝜋, to wtedy
sin4 (-3
4 𝜋) = (-√2
2 )
4
= 1
4
sin (-3
4 𝜋) ⋅cos (-3
4 𝜋) -cos4 (-3
4 𝜋) = -√2
2 ⋅(-√2
2 ) -(-√2
2 )
4
= 1
4
więc liczba (-3
4 𝜋) jest rozwiązaniem równania sin4 𝑥= sin 𝑥⋅cos 𝑥-cos4 𝑥.
Gdy 𝑥= 1
4 𝜋, to wtedy
sin4 (1
4 𝜋) = (√2
2 )
4
= 1
4
sin (1
4 𝜋) ⋅cos (1
4 𝜋) -cos4 (1
4 𝜋) = √2
2 ⋅√2
2 -(√2
2 )
4
= 1
4
Zasady oceniania rozwiązań zadań
więc liczba 1
4 𝜋 jest rozwiązaniem równania sin4 𝑥= sin 𝑥⋅cos 𝑥-cos4 𝑥.
Gdy 𝑥= 5
4 𝜋, to wtedy
sin4 (5
4 𝜋) = (-√2
2 )
4
= 1
4
sin (5
4 𝜋) ⋅cos (5
4 𝜋) -cos4 (5
4 𝜋) = -√2
2 ⋅(-√2
2 ) -(-√2
2 )
4
= 1
4
więc liczba 5
4 𝜋 jest rozwiązaniem równania sin4 𝑥= sin 𝑥⋅cos 𝑥-cos4 𝑥.
Zatem rozwiązaniami równania sin4 𝑥= sin 𝑥⋅cos 𝑥-cos4 𝑥 w zbiorze [-𝜋, 2𝜋] są
liczby: (-3
4 𝜋), 1
4 𝜋 oraz 5
4 𝜋.
Sposób III
Przekształcamy równanie równoważnie:
sin4 𝑥= sin 𝑥⋅cos 𝑥-cos4 𝑥
sin4 𝑥+ cos4 𝑥= sin 𝑥⋅cos 𝑥
sin4 𝑥+ cos4 𝑥= sin 𝑥⋅cos 𝑥⋅(sin2 𝑥+ cos2 𝑥)
sin4 𝑥-sin3 𝑥⋅cos 𝑥+ cos4 𝑥-cos3 𝑥⋅sin 𝑥= 0
sin3 𝑥(sin 𝑥-cos 𝑥) + cos3 𝑥(cos 𝑥-sin 𝑥) = 0
(sin3 𝑥-cos3 𝑥)(sin 𝑥-cos 𝑥) = 0
sin3 𝑥= cos3 𝑥 ∨ sin 𝑥= cos 𝑥
sin 𝑥= cos 𝑥 ∨ sin 𝑥= cos 𝑥
sin 𝑥= cos 𝑥
Gdyby cos 𝑥= 0, to wtedy sin 𝑥= cos 𝑥= 0, więc wstawiając te wartości do tożsamości
trygonometrycznej sin2 𝑥+ cos2 𝑥= 1, otrzymalibyśmy 0 + 0 = 1. To oznacza, że
cos 𝑥≠0, więc możemy obie strony równania sin 𝑥= cos 𝑥 podzielić obustronnie przez
cos 𝑥 i otrzymujemy tg 𝑥= 1. To równanie w zbiorze [-𝜋, 2𝜋] ma trzy rozwiązania:
(-3
4 𝜋), 1
4 𝜋 oraz 5
4 𝜋.
Zatem rozwiązaniami równania sin4 𝑥= sin 𝑥⋅cos 𝑥-cos4 𝑥 w zbiorze [-𝜋, 2𝜋] są
liczby: (-3
4 𝜋), 1
4 𝜋 oraz 5
4 𝜋.
$-\\dfrac{3}{4}\\pi$, $\\dfrac{1}{4}\\pi$, $\\dfrac{5}{4}\\pi$
"}]}