Zadanie 1. (0-1)
Dana jest nierówność
|𝑥-1| ≥3
Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb
rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź
spośród podanych.
A.
B.
C.
D.
Dana jest nierówność |x-1|≥3 Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. A. [rysunek] B. [rysunek] C. [rysunek] D. [rysunek]
Zadanie 1. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 20241
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.
informacjami przedstawionymi w tekście,
zarówno matematycznym, jak
i popularnonaukowym, a także w formie
wykresów, diagramów, tabel.
Zdający:
I.7) stosuje interpretację geometryczną
i algebraiczną wartości bezwzględnej,
rozwiązuje równania i nierówności typu: […]
|𝑥+ 3| ≥4.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
B
B
1 Rozporządzenie Ministra Edukacji i Nauki z dnia 10 czerwca 2022 r. w sprawie wymagań egzaminacyjnych dla
egzaminu maturalnego przeprowadzanego w roku szkolnym 2022/2023 i 2023/2024 (Dz.U. 2022, poz.1246).
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Odpowiedź: B
\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem
\nCo zrobić?
\nMamy nierówność z wartością bezwzględną:
\n$$|x - 1| \\geq 3$$
\nTrzeba znaleźć zbiór wszystkich $x \\in \\mathbb{R}$, które ją spełniają, i wskazać odpowiadający mu rysunek na osi liczbowej.
\nZrozum, co znaczy moduł. Wyrażenie $|x - 1|$ to odległość liczby $x$ od liczby $1$ na osi liczbowej. Nierówność $|x - 1| \\geq 3$ czytamy więc: „odległość $x$ od $1$ jest co najmniej $3$".
\nZamień moduł na alternatywę. Dla każdej liczby $a \\geq 0$ zachodzi równoważność:
\n$$|x - 1| \\geq a \\iff x - 1 \\geq a \\quad \\text{lub} \\quad x - 1 \\leq -a$$
\nW naszym przypadku $a = 3$, więc:
\n$$x - 1 \\geq 3 \\quad \\text{lub} \\quad x - 1 \\leq -3$$
\nRozwiąż każdą z nierówności osobno:
\n$$x - 1 \\geq 3 \\iff x \\geq 4$$
\n$$x - 1 \\leq -3 \\iff x \\leq -2$$
\nZapisz zbiór rozwiązań. Łączymy oba warunki spójnikiem „lub":
\n$$x \\in (-\\infty,\\, -2\\rangle \\cup \\langle 4,\\, +\\infty)$$
\nTo są dwie półproste domknięte — wszystkie liczby na lewo od $-2$ (z $-2$ włącznie) oraz wszystkie liczby na prawo od $4$ (z $4$ włącznie).
\nPo co to umieć
\nWartość bezwzględna pojawia się na maturze średnio raz na każdej sesji. Zadanie sprawdza, czy rozumiesz geometryczne znaczenie modułu — i czy nie pomylisz kierunku nierówności. To podstawa do trudniejszych zadań z modułów na poziomie rozszerzonym.
\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to zaznaczenie przedziału między -2 a 4 zamiast jego dopełnienia — moduł ≥ 3 oznacza „odległość od 1 co najmniej 3", a nie „odległość mniejsza".
"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Od czego zaczynamy: mamy wzór ogólny i znamy wartości \\(T_p = 80\\), \\(T_z = 20\\). Podstawiamy i korzystamy z warunku \\(T(10) = 65\\).
\nKrok 1 - uproszczenie wzoru ogólnego
\n\\[T(t) = (80 - 20) \\cdot k^{-t} + 20 = 60 \\cdot k^{-t} + 20\\]
\nKrok 2 - wyznaczenie \\(k^{-10}\\) z warunku po 10 minutach
\n\\[T(10) = 60 \\cdot k^{-10} + 20 = 65\\]
\\[60 \\cdot k^{-10} = 45\\]
\\[k^{-10} = \\frac{45}{60} = \\frac{3}{4}\\]
Krok 3 - obliczenie \\(T(15)\\)
\nKluczowy krok: zamiast wyznaczać \\(k\\), rozkładamy \\(k^{-15}\\) jako potęgę \\(k^{-10}\\):
\n\\[k^{-15} = k^{-10 \\cdot \\frac{3}{2}} = \\left(k^{-10}\\right)^{\\frac{3}{2}} = \\left(\\frac{3}{4}\\right)^{\\frac{3}{2}}\\]
\nObliczamy \\(\\left(\\frac{3}{4}\\right)^{\\frac{3}{2}}\\):
\n\\[\\left(\\frac{3}{4}\\right)^{\\frac{3}{2}} = \\left(\\frac{3}{4}\\right)^1 \\cdot \\left(\\frac{3}{4}\\right)^{\\frac{1}{2}} = \\frac{3}{4} \\cdot \\sqrt{\\frac{3}{4}} = \\frac{3}{4} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{3\\sqrt{3}}{8}\\]
\nKrok 4 - wynik końcowy
\n\\[T(15) = 60 \\cdot \\frac{3\\sqrt{3}}{8} + 20 = \\frac{180\\sqrt{3}}{8} + 20 = \\frac{45\\sqrt{3}}{2} + 20\\]
\nNumerycznie (\\(\\sqrt{3} \\approx 1{,}7321\\)):
\n\\[T(15) = \\frac{45 \\cdot 1{,}7321}{2} + 20 = \\frac{77{,}944}{2} + 20 \\approx 38{,}97 + 20 \\approx 58{,}97\\]
\n\\[\\boxed{T(15) \\approx 59\\,^{\\circ}\\mathrm{C}}\\]
\nZamiast sprytnie skalować wykładnik, wyznaczamy wprost wartość \\(k\\) z warunku \\(T(10) = 65\\).
\nKrok 1 - jak wyżej, dostajemy \\(k^{-10} = \\frac{3}{4}\\)
\n\\[k^{10} = \\frac{4}{3}\\]
\nKrok 2 - logarytmowanie obu stron
\n\\[10 \\ln k = \\ln\\frac{4}{3}\\]
\\[\\ln k = \\frac{1}{10}\\ln\\frac{4}{3} \\approx \\frac{0{,}2877}{10} = 0{,}02877\\]
\\[k \\approx e^{0{,}02877} \\approx 1{,}02919\\]
Krok 3 - obliczenie \\(k^{-15}\\)
\n\\[k^{-15} = (1{,}02919)^{-15}\\]
\nLiczymy: \\(-15 \\cdot \\ln k = -15 \\cdot 0{,}02877 = -0{,}43155\\)
\n\\[k^{-15} = e^{-0{,}43155} \\approx 0{,}6495\\]
\nKrok 4 - wynik
\n\\[T(15) = 60 \\cdot 0{,}6495 + 20 \\approx 38{,}97 + 20 \\approx 58{,}97 \\approx 59\\,^{\\circ}\\mathrm{C}\\]
\nWynik ten samym co w Sposobie 1 - weryfikacja zakończona. Sposób 1 jest wygodniejszy, bo unika przybliżeń pośrednich i daje wynik dokładny \\(\\frac{45\\sqrt{3}}{2} + 20\\).
\nDział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5) - wykładnik wymierny i działania na potęgach:
\n\\[a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m}, \\qquad (a^r)^s = a^{r \\cdot s}, \\qquad a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]
\nUżyliśmy w Sposobie 1 przy rozkładzie \\(k^{-15} = (k^{-10})^{3/2}\\) oraz przy obliczaniu \\(\\left(\\frac{3}{4}\\right)^{3/2} = \\frac{3}{4} \\cdot \\sqrt{\\frac{3}{4}}\\).
\nDział 3 (Logarytmy, s. 5-6) - definicja i własności logarytmów:
\n\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b, \\qquad \\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]
\nUżyliśmy w Sposobie 2 przy przejściu z \\(k^{10} = \\frac{4}{3}\\) do \\(10 \\ln k = \\ln\\frac{4}{3}\\).
\n⚠️ Uwaga: Nie wyznaczaj \\(k\\) na początku! Kuszące jest od razu liczenie \\(k = \\left(\\frac{4}{3}\\right)^{1/10}\\), ale to prowadzi do przybliżeń. Sprytniej - i bez błędów zaokrągleń - jest zapisać \\(k^{-15} = (k^{-10})^{3/2}\\) i podstawić gotową wartość \\(k^{-10} = \\frac{3}{4}\\).\n
⚠️ Uwaga: Różnica temperatur \\(T_p - T_z = 80 - 20 = 60\\), nie \\(80\\)! Wielu uczniów podstawia samą temperaturę początkową, zapominając o odjęciu temperatury otoczenia.\n
⚠️ Uwaga: Zaokrąglaj na samym końcu - nie po wyznaczeniu \\(k^{-10}\\). Jeśli zapiszesz \\(k^{-10} \\approx 0{,}75\\) i potem szacujesz \\(k^{-15} \\approx 0{,}75^{1{,}5}\\) przez kalkulator, to jest OK - ale zaokrąglanie do 2 miejsc po drodze może dać błąd w ostatniej cyfrze wyniku.\n
Poprawna odpowiedź: \\(T(15)\\approx 59\\,^{\\circ}\\mathrm{C}\\)
\nZ warunku \\(T(10)=65\\) mamy \\(65=(80-20)\\cdot k^{-10}+20\\), stąd \\(60\\cdot k^{-10}=45\\), czyli \\(k^{-10}=\\dfrac{45}{60}=\\dfrac{3}{4}\\).
Obliczamy \\(T(15)\\):
\\[T(15)=60\\cdot k^{-15}+20=60\\cdot (k^{-10})^{3/2}+20=60\\cdot\\left(\\dfrac{3}{4}\\right)^{3/2}+20.\\]
\\[\\left(\\dfrac{3}{4}\\right)^{3/2}=\\dfrac{3\\sqrt{3}}{8},\\quad 60\\cdot\\dfrac{3\\sqrt{3}}{8}=\\dfrac{45\\sqrt{3}}{2}.\\]
\\[T(15)=\\dfrac{45\\sqrt{3}}{2}+20\\approx 38{,}97+20\\approx 59.\\]
Po 10 minutach nowe warunki: \\(T_{p}=65\\), \\(T_{z}=20\\). Kolejne 5 minut to \\(T(5)=45\\cdot k^{-5}+20=45\\cdot (k^{-10})^{1/2}+20=45\\cdot\\sqrt{\\dfrac{3}{4}}+20=\\dfrac{45\\sqrt{3}}{2}+20\\approx 59\\).
\nTrik: Nie trzeba wyznaczać \\(k\\) - wystarczy potęga \\(k^{-10}\\), bo \\(k^{-15}=(k^{-10})^{3/2}\\).
"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"Szukamy takich $x$, których odległość od $1$ na osi jest większa lub równa $3$. Zaznaczony zbiór spełnia te warunki.
"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"|x-1|≥ 3
\noznacza
\nx-1≤ -3 lub x-1≥ 3.
\nZatem
\nx≤ -2 lub x≥ 4.
\nKońce przedziałów należą do rozwiązania, dlatego poprawny jest rysunek B.
"}]}